高中數(shù)學(xué) 第二章 統(tǒng)計(jì) 2.3 變量間的相關(guān)關(guān)系 2.3.2 兩個(gè)變量的線性相關(guān)檢測(cè) 新人教A版必修3

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1、 2.3.2 兩個(gè)變量的線性相關(guān) A級(jí)　基礎(chǔ)鞏固 一、選擇題 1．設(shè)有一個(gè)回歸方程為＝2－1.5x，則變量x增加1個(gè)單位時(shí)，y平均(　　) A．增加1.5個(gè)單位　　 B．增加2個(gè)單位 C．減少1.5個(gè)單位 D．減少2個(gè)單位 解析：由于＝－1.5<0，故選C. 答案：C 2.已知變量x，y之間具有線性相關(guān)關(guān)系，其散點(diǎn)圖如圖所示，則其回歸方程可能為(　　) A.＝1.5x＋2 B.＝－1.5x＋2 C.＝1.5x－2 D.＝－1.5x－2 解析：設(shè)回歸方程為＝x＋，由散點(diǎn)圖可知變量x，y之間負(fù)相關(guān)，回歸直線在y軸上的截距為正數(shù)，所以<0，>0，因此方程可能

2、為＝－1.5x＋2. 答案：B 3．對(duì)有線性相關(guān)關(guān)系的兩個(gè)變量建立的回歸直線方程＝＋x中，回歸系數(shù)(　　) A．不能小于0 B．不能大于0 C．不能等于0 D．只能小于0 解析：當(dāng)＝0時(shí)，r＝0，這時(shí)不具有線性相關(guān)關(guān)系，但能大于0，也能小于0. 答案：C 4．已知變量x與y正相關(guān)，且由觀測(cè)數(shù)據(jù)算得樣本平均數(shù)＝3，＝3.5，則由該觀測(cè)數(shù)據(jù)算得的線性回歸方程可能是(　　) A.＝0.4x＋2.3　　　 B.＝2x－2.4 C.＝－2x＋9.5 D.＝－0.3x＋4.4 解析：因?yàn)樽兞縳和y正相關(guān)，則回歸直線的斜率為正，故可以排除選項(xiàng)C和D.因?yàn)闃颖军c(diǎn)的中心在回歸直

3、線上，把點(diǎn)(3，3.5)的坐標(biāo)分別代入選項(xiàng)A和B中的直線方程進(jìn)行檢驗(yàn)，可以排除B，故選A. 答案：A 5．(2015湖北卷)已知變量x和y滿(mǎn)足相關(guān)關(guān)系y＝－0.1x＋1，變量y與z正相關(guān)．下列結(jié)論中正確的是(　　) A．x與y正相關(guān)，x與z負(fù)相關(guān) B．x與y正相關(guān)，x與z正相關(guān) C．x與y負(fù)相關(guān)，x與z負(fù)相關(guān) D．x與y負(fù)相關(guān)，x與z正相關(guān) 解析：因?yàn)閥＝－0.1x＋1的斜率小于0，故x與y負(fù)相關(guān)．因?yàn)閥與z正相關(guān)，可設(shè)z＝y(tǒng)＋，>0，則z＝y(tǒng)＋＝－0.1x＋＋，故x與z負(fù)相關(guān)． 答案：C 二、填空題 6．已知一個(gè)回歸直線方程為＝1.5x＋45，x∈{1，7，5，13，19

4、}，則＝__________________． 解析：因?yàn)椋?1＋7＋5＋13＋19)＝9，且回歸直線過(guò)樣本中心點(diǎn)(，)，所以＝1.59＋45＝58.5. 答案：58.5 7．對(duì)具有線性相關(guān)關(guān)系的變量x和y，測(cè)得一組數(shù)據(jù)如下表所示．若已求得它們回歸直線的斜率為6.5，則這條回歸直線的方程為_(kāi)_________________． x 2 4 5 6 8 y 30 40 60 50 70 解析：設(shè)回歸直線方程為＝x＋，則＝6.5.易知＝50，＝5，所以＝－＝50－32.5＝17.5，即回歸直線方程為＝6.5x＋17.5. 答案：＝6.5x＋17.5 8．某市居民

5、2007～2011年家庭年平均收入x(單位：萬(wàn)元)與年平均支出Y(單位：萬(wàn)元)的統(tǒng)計(jì)資料如下表所示： 年份 2007 2008 2009 2010 2011 收入x 11.5 12.1 13 13.3 15 支出Y 6.8 8.8 9.8 10 12 根據(jù)統(tǒng)計(jì)資料，居民家庭年平均收入的中位數(shù)是________，家庭年平均收入與年平均支出有________關(guān)系． 解析：收入數(shù)據(jù)按大小排列為11.5，12.1，13，13.3，15，所以中位數(shù)為13.從數(shù)據(jù)變化情況看出，兩個(gè)變量是正相關(guān)的． 答案：13　正相關(guān) 三、解答題 9．隨著人們經(jīng)濟(jì)收入的不斷

6、增長(zhǎng)，個(gè)人購(gòu)買(mǎi)家庭轎車(chē)已不再是一種時(shí)尚．車(chē)的使用費(fèi)用，尤其是隨著使用年限的增多，所支出的費(fèi)用到底會(huì)增長(zhǎng)多少，一直是購(gòu)車(chē)一族非常關(guān)心的問(wèn)題．某汽車(chē)銷(xiāo)售公司做了一次抽樣調(diào)查，并統(tǒng)計(jì)得出某款車(chē)的使用年限x(單位：年)與所支出的總費(fèi)用y(單位：萬(wàn)元)有如下的數(shù)據(jù)資料： 使用年限x 2 3 4 5 6 總費(fèi)用y 2.2 3.8 5.5 6.5 7.0 若由資料知y對(duì)x呈線性相關(guān)關(guān)系． (1)試求線性回歸方程＝x＋的回歸系數(shù)，； (2)當(dāng)使用年限為10年時(shí)，估計(jì)車(chē)的使用總費(fèi)用． 解：(1)列表： i 1 2 3 4 5 xi 2 3 4 5

7、6 yi 2.2 3.8 5.5 6.5 7.0 xiyi 4.4 11.4 22.0 32.5 42.0 x 4 9 16 25 36 ＝4，＝5，＝112.3 于是＝＝＝1.23； ＝－＝5－1.234＝0.08. (2)線性回歸直線方程是＝1.23x＋0.08，當(dāng)x＝10年時(shí)，＝1.2310＋0.08＝12.38(萬(wàn)元)，即當(dāng)使用10年時(shí)，估計(jì)支出總費(fèi)用是12.38萬(wàn)元． 10．以下是某地搜集到的新房屋的銷(xiāo)售價(jià)格y和房屋的面積x的數(shù)據(jù)： 房屋面積x/m2 80 105 110 115 135 銷(xiāo)售價(jià)格y/萬(wàn)元 18.4

8、22 21.6 24.8 29.2 (1)畫(huà)出數(shù)據(jù)對(duì)應(yīng)的散點(diǎn)圖； (2)求回歸方程，并在散點(diǎn)圖中加上回歸直線； (3)試預(yù)測(cè)90 m2的房屋，銷(xiāo)售價(jià)格約為多少？(精確到0.01) 解：(1)根據(jù)表中所列數(shù)據(jù)可得散點(diǎn)圖如下： 由圖可見(jiàn)兩者之間是線性相關(guān)的． i 1 2 3 4 5 xi 80 105 110 115 135 yi 18.4 22 21.6 24.8 29.2 xiyi 1 472 2 310 2 376 2 852 3 942 x 6 400 11 025 12 100 13 225 18 225

9、 故可求得：＝ ＝≈0.196 2， ＝－＝23.2－0.196 2109＝1.814 2. 所以，回歸方程為＝0.196 2x＋1.814 2， 回歸直線如(1)中圖． (3)把x＝90代入上述回歸方程＝0.196 2x＋1.814 2，即y＝0.196 290＋1.814 2≈19.47(萬(wàn)元)，即這種90 m2的房屋，銷(xiāo)售價(jià)格約19.47萬(wàn)元． B級(jí)　能力提升 1．(2014湖北卷)根據(jù)如下樣本數(shù)據(jù)： x 3 4 5 6 7 8 y 4.0 2.5 －0.5 0.5 －2.0 －3.0 得到的回歸方程為＝bx＋a，則(　　) A．a(chǎn)

10、>0，b>0 B．a(chǎn)>0，b<0 C．a(chǎn)<0，b>0 D．a(chǎn)<0，b<0 解析：作出散點(diǎn)圖如下圖所示： 觀察圖象可知，回歸直線＝bx＋a的斜率b<0，當(dāng)x＝0時(shí)，＝a>0.故a>0，b<0. 答案：B 2．期中考試后，某校高三(9)班對(duì)全班65名學(xué)生的成績(jī)進(jìn)行分析，得到數(shù)學(xué)成績(jī)y對(duì)總成績(jī)x的回歸直線方程為＝6＋0.4x.由此可以估計(jì)：若兩個(gè)同學(xué)的總成績(jī)相差50分，則他們的數(shù)學(xué)成績(jī)大約相差________分． 解析：令兩人的總成績(jī)分別為x1，x2. 則對(duì)應(yīng)的數(shù)學(xué)成績(jī)估計(jì)為 1＝6＋0.4x1，2＝6＋0.4x2， 所以|1－2|＝|0.4(x1－x2)|＝0.450

11、＝20. 答案：20 3．有一個(gè)同學(xué)家開(kāi)了一個(gè)小賣(mài)部，他為了研究氣溫對(duì)熱飲銷(xiāo)售的影響，經(jīng)過(guò)統(tǒng)計(jì)，得到一個(gè)賣(mài)出的熱飲杯數(shù)與當(dāng)天氣溫的對(duì)比表： 攝氏溫度/℃ －5 0 4 7 12 15 19 23 27 31 36 熱飲杯數(shù) 156 150 132 128 130 116 104 89 93 76 54 (1)畫(huà)出散點(diǎn)圖； (2)從散點(diǎn)圖中發(fā)現(xiàn)氣溫與熱飲銷(xiāo)售杯數(shù)之間關(guān)系的一般規(guī)律； (3)求回歸方程； (4)如果某天的氣溫是2 ℃，預(yù)測(cè)這天賣(mài)出的熱飲杯數(shù)． 解：(1)散點(diǎn)圖如圖所示： (2)從上圖看到，各點(diǎn)散布在從左上角到右下角

12、的區(qū)域里，因此，氣溫與熱飲銷(xiāo)售杯數(shù)之間呈負(fù)相關(guān)，即氣溫越高，賣(mài)出去的熱飲杯數(shù)越少． (3)從散點(diǎn)圖可以看出，這些點(diǎn)大致分布在一條直線的附近，因此，可用公式求出回歸方程的系數(shù)．利用計(jì)算器容易求得回歸方程＝－2.352x＋147.767. (4)當(dāng)x＝2時(shí)，＝143.063.因此，某天的氣溫為2 ℃時(shí)，這天大約可以賣(mài)出143杯熱飲． 6EDBC3191F2351DD815FF33D4435F3756EDBC3191F2351DD815FF33D4435F3756EDBC3191F2351DD815FF33D4435F3756EDBC3191F2351DD815FF33D4435F3756EDBC3191F2351DD815FF33D4435F3756EDBC3191F2351DD815FF33D4435F375