2019版高中數(shù)學(xué) 第一章 立體幾何初步 1.2 點(diǎn)、線、面之間的位置關(guān)系 1.2.1 平面的基本性質(zhì)與推論練習(xí) 新人教B版必修2.doc

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1.2.1　平面的基本性質(zhì)與推論 1.若點(diǎn)A在平面α內(nèi),直線a在平面α內(nèi),點(diǎn)A不在直線a上,用符號(hào)語言可表示為(　A　) (A)A∈α,a?α,A?a (B)A∈α,a∈α,A?a (C)A?α,a?α,A?a (D)A∈α,a?α,A?a 解析:點(diǎn)與線、面的關(guān)系用∈、?;線與面的關(guān)系用?、?.B項(xiàng)中, “a∈α”錯(cuò);C項(xiàng)中“A?α”錯(cuò);D項(xiàng)中“A?a”錯(cuò). 故選A. 2.如圖,正方體ABCDA1B1C1D1,E,F分別為棱A1B1,BB1的中點(diǎn),則D1E與CF的延長線交于一點(diǎn),此點(diǎn)在直線(　B　) (A)AD上 (B)B1C1上 (C)A1D1上 (D)BC上 解析:由平面基本性質(zhì)知:D1E與CF的交點(diǎn)在平面A1B1C1D1上,也在平面BB1C1C上,故交點(diǎn)在兩平面的交線B1C1上. 3.下列推斷中,錯(cuò)誤的是(　C　) (A)A∈l,A∈α,B∈l,B∈α?l?α (B)A∈α,A∈β,B∈α,B∈β?α∩β=AB (C)l?α,A∈l?A?α (D)A,B,C∈α,A,B,C∈β,且A,B,C不共線?α,β重合 解析:選項(xiàng)A即為直線l上有兩點(diǎn)在平面內(nèi),則直線在平面內(nèi);選項(xiàng)B即為兩平面的公共點(diǎn)在公共直線上;選項(xiàng)D為不共線的三點(diǎn)確定一個(gè)平面,故D也對(duì).選C. 4.在空間四邊形ABCD的邊AB,BC,CD,DA上分別取E,F,G,H四點(diǎn),如果EF與HG交于點(diǎn)M,那么(　A　) (A)M一定在直線AC上 (B)M一定在直線BD上 (C)M可能在直線AC上,也可能在直線BD上 (D)M既不在直線AC上,也不在直線BD上 解析:點(diǎn)M一定在平面ABC與平面CDA的交線AC上.選A. 5.不共線三點(diǎn)A,B,P且P?平面α,AP∩α=A1,BP∩α=B1,AB∩α=O,當(dāng)點(diǎn)P在空間中變動(dòng)時(shí),定點(diǎn)O與動(dòng)直線A1B1的位置關(guān)系是　　　　. 解析:由題意知平面ABP∩α=A1B1,AB∩α=O, 所以O(shè)∈平面ABP,且O∈α,所以O(shè)∈A1B1. 答案:O∈A1B1 6.根據(jù)下列符號(hào)表示的語句,說明點(diǎn)、線、面之間的位置關(guān)系,并畫出相應(yīng)的圖形:(1)A∈α,B?α;(2)l?α,m∩α=A,A?l;(3)P∈l,P?α, Q∈l,Q∈α. 解:(1)點(diǎn)A在平面α內(nèi),點(diǎn)B不在平面α內(nèi),如圖(1); (2)直線l在平面α內(nèi),直線m與平面α相交于點(diǎn)A,且點(diǎn)A不在直線l上,如圖(2); (3)直線l經(jīng)過平面α外一點(diǎn)P和平面α內(nèi)一點(diǎn)Q,如圖(3). 7.如圖,已知直線AB和AC都在平面α內(nèi),直線BC與直線AB,AC分別相交于B,C兩點(diǎn),試判斷直線BC與平面α的位置關(guān)系. 解:因?yàn)锳B∩BC=B,所以B∈AB?α,即B∈α; 同理,AC∩BC=C, 所以C∈AC?α,即C∈α, 即直線BC上有兩點(diǎn)B,C在平面α內(nèi), 由基本性質(zhì)1,得直線BC?平面α. 8.已知m,n為異面直線,m?平面α,n?平面β,α∩β=l,則l(　B　) (A)與m、n都相交 (B)與m、n中至少一條相交 (C)與m、n都不相交 (D)與m、n中的一條相交 解析:假設(shè)m,n都不與l相交,由m?α,n?β得:m∥l,n∥l,所以 m∥n∥l.這與m,n為異面直線矛盾,因此結(jié)合圖形可得l與m,n至少一條相交,故選B. 9.如圖是正方體的平面展開圖,在這個(gè)正方體中,①BM與ED平行;②CN與BM是異面直線;③CN與BE是異面直線;④DN與BM是異面直線.以上四個(gè)命題中,正確命題的序號(hào)是　　　　. 解析:把平面圖形還原為正方體如圖所示.觀察圖形,可知:BM與ED是異面直線,CN與BE是平行直線,故①③錯(cuò)誤. 答案:②④ 10.正方體ABCDA1B1C1D1中,P、Q、R分別是AB、AD、B1C1的中點(diǎn),那么過P、Q、R的截面圖形是　　　　. 解析:如圖所示,取C1D1中點(diǎn)E,連接RE,則REPQ, 所以P、Q、E、R共面. 記這個(gè)平面為α, 延長QP與CB,延長線交于M, 連接MR,交B1B于F,則F∈α. 由平面幾何知識(shí)得F是B1B的中點(diǎn), 同理D1D的中點(diǎn)G∈α, 連接PF,QG,GE, 則正六邊形EGQPFR就是截面圖形,如圖所示. 答案:正六邊形 11.已知正方體ABCDA1B1C1D1中,E,F分別為D1C1,C1B1的中點(diǎn),AC∩BD= P,A1C1∩EF=Q. 求證:(1)D,B,F,E四點(diǎn)共面; (2)若A1C交平面DBFE于R點(diǎn),則P,Q,R三點(diǎn)共線. 證明:(1)如圖.連接B1D1.因?yàn)镋F是△D1B1C1的中位線,所以EF∥B1D1.在正方體AC1中,B1D1∥BD,所以EF∥BD.所以EF,BD確定一個(gè)平面,即D,B,F,E四點(diǎn)共面. (2)正方體AC1中,設(shè)平面A1ACC1確定的平面為α,又設(shè)平面BDEF為β. 因?yàn)镼∈A1C1,所以Q∈α.又Q∈EF,所以Q∈β. 則Q是α與β的公共點(diǎn),同理P是α與β的公共點(diǎn), 所以α∩β=PQ. 又A1C∩β=R,所以R∈A1C. 所以R∈α,且R∈β,則R∈PQ. 故P,Q,R三點(diǎn)共線. 12.如圖所示,正方體ABCDA1B1C1D1的棱長為8 cm,M,N,P三點(diǎn)分別是AB,A1D1,BB1的中點(diǎn). (1)畫出過M,N,P三點(diǎn)的平面與平面A1B1C1D1的交線,以及與平面BB1C1C的交線; (2)設(shè)過M,N,P三點(diǎn)的平面與B1C1交于點(diǎn)Q,求PQ的長. 解:(1)設(shè)M、N、P三點(diǎn)確定的平面為α,則α與平面AB1交于MP. 設(shè)MP∩A1B1=R. 則RN是α與平面A1B1C1D1的交線. 設(shè)RN∩B1C1=Q, 則PQ是α與平面BB1C1C的交線. (2)由正方體的棱長為8 cm, M、P分別為AB、BB1的中點(diǎn), 得B1R=BM=4 cm. 在△RA1N中,=, 所以B1Q=4=. 在Rt△PB1Q中, 因?yàn)镻B1=4,B1Q=, 所以PQ==(cm). 所以PQ的長為 cm.