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第7課 兩類動力學問題 超重與失重
1.兩類動力學問題
a.運用牛頓運動定律解決已知受力情況求運動情況的問題
(1)(多選)(2016全國Ⅱ,6分)兩實心小球甲和乙由同一種材料制成,甲球質(zhì)量大于乙球質(zhì)量。兩球在空氣中由靜止下落,假設它們運動時受到的阻力與球的半徑成正比,與球的速率無關。若它們下落相同的距離,則( )
A.甲球用的時間比乙球長
B.甲球末速度的大小大于乙球末速度的大小
C.甲球加速度的大小小于乙球加速度的大小
D.甲球克服阻力做的功大于乙球克服阻力做的功
答案:BD
解析:設小球受到的阻力為f,則f=kR,k是常數(shù),則由牛頓第二定律得mg-f=ma,而
m=ρπR3,故a=g-,由R甲>R乙、ρ甲=ρ乙可知a甲>a乙,故C項錯誤。因甲、乙位移相同,由v2=2ax可知,v甲>v乙,故B項正確。由x=at2可知,t甲
f乙,則W甲克服>W乙克服,故D項正確。
(2)(2016四川理綜,17分)避險車道是避免惡性交通事故的重要設施,由制動坡床和防撞設施等組成,如圖所示豎直平面內(nèi),制動坡床視為與水平面夾角為θ的斜面。一輛長12 m的載有貨物的貨車因剎車失靈從干道駛入制動坡床,當車速為23 m/s時,車尾位于制動坡床的底端,貨物開始在車廂內(nèi)向車頭滑動,當貨物在車廂內(nèi)滑動了4 m時,車頭距制動坡床頂端38 m,再過一段時間,貨車停止。已知貨車質(zhì)量是貨物質(zhì)量的4倍,貨物與車廂間的動摩擦因數(shù)為0.4;貨車在制動坡床上運動受到的坡床阻力大小為貨車和貨物總重的0.44倍。貨物與貨車分別視為小滑塊和平板,取cos θ=1,sin θ=0.1,g=10 m/s2。求:
①貨物在車廂內(nèi)滑動時加速度的大小和方向;
②制動坡床的長度。
答案:①5 m/s2,方向沿制動坡床向下(4分)
②98 m(13分)
解析:①設貨物的質(zhì)量為m,貨物在車廂內(nèi)滑動過程中,貨物與車廂間的動摩擦因數(shù)μ=0.4,受摩擦力大小為f,加速度大小為a1,則
f+mgsin θ=ma1①(2分)
f=μmgcos θ②(1分)
聯(lián)立①②解得a1=5 m/s2,方向沿制動坡床向下。(1分)
②設貨車的質(zhì)量為4m,車尾位于制動坡床底端時的車速為v=23 m/s,貨物在車廂內(nèi)開始滑動到車頭距制動坡床頂端s0=38 m的過程中,用時為t,貨物相對制動坡床的運動距離為s1,貨車運動距離為s2,貨物相對貨車運動的距離為s=4 m,貨車受到制動坡床的阻力大小為F,加速度大小為a2,貨車長度為l0=12 m,制動坡床的長度為l,則
4mgsin θ+F-f=4ma2③(2分)
F=0.44(m+4m)g④(2分)
s1=vt-a1t2⑤(2分)
s2=vt-a2t2⑥(2分)
s=s1-s2⑦(2分)
l=l0+s0+s2⑧(2分)
聯(lián)立①~⑧解得
l=98 m(1分)
b.運用牛頓運動定律解決已知物體的運動情況求受力情況的問題
(3)(經(jīng)典題,8分)一質(zhì)量為m的消防隊員從一平臺上無初速度跳下,豎直落向水平地面,下落2 m后雙腳觸地,接著他用雙腿彎曲的方法緩沖,使重心又下降了0.5 m,在著地過程中(重力加速度為g),求雙腳對地面的平均作用力。
答案:5mg,方向向下(8分)
解析:落地時的速度為v=①(2分)
緩沖過程中a===4g,方向豎直向上。②(2分)
由牛頓第二定律得FN-mg=ma③(2分)
聯(lián)立①②③解得
FN=mg+ma=5mg,方向豎直向上。(1分)
由牛頓第三定律得,雙腳對地面的平均作用力的大小F′N=FN=5mg,方向豎直向下。(1分)
(4)(多選)(2013浙江理綜,6分)如圖所示,總質(zhì)量為460 kg的熱氣球,從地面剛開始豎直上升時的加速度為0.5 m/s2,當熱氣球上升到180 m時,以5 m/s的速度向上勻速運動。若離開地面后熱氣球所受浮力保持不變,上升過程中熱氣球總質(zhì)量不變,重力加速度g=10 m/s2。關于熱氣球,下列說法正確的是( )
A.所受浮力大小為4 830 N
B.加速上升過程中所受空氣阻力保持不變
C.從地面開始上升10 s后的速度大小為5 m/s
D.以5 m/s勻速上升時所受空氣阻力大小為230 N
答案:AD
解析:從地面剛開始豎直上升時,速度為零,故阻力為零,氣球受重力和浮力,根據(jù)牛頓第二定律得F?。璵g=ma,解得F?。絤(g+a)=4830 N,故A項正確。氣球受重力、浮力和空氣阻力,若阻力不變,合力不變,氣球勻加速上升,與題目中物體上升至180 m時勻速運動矛盾,則加速上升過程中所受空氣阻力逐漸增大,故B項錯誤。剛開始豎直上升時的加速度為0.5 m/s2,氣球是變加速運動,加速度逐漸減小,故10 s后的速度大小小于5 m/s,故C項錯誤。以5 m/s勻速上升時,根據(jù)平衡條件得F?。絤g+f,解得f=230 N,故D項正確。
(5)(2014全國Ⅰ,12分)公路上行駛的兩汽車之間應保持一定的安全距離。當前車突然停止時,后車司機可以采取剎車措施,使汽車在安全距離內(nèi)停下而不會與前車相碰。通常情況下,人的反應時間和汽車系統(tǒng)的反應時間之和為1 s,當汽車在晴天干燥瀝青路面上以108 km/h的速度勻速行駛時,安全距離為120 m。設雨天時汽車輪胎與瀝青路面間的動摩擦因數(shù)為晴天時的,若要求安全距離仍為120 m,求汽車在雨天安全行駛的最大速度。
答案:20 m/s(72 km/h)(12分)
解析:設路面干燥時,汽車與路面間的動摩擦因數(shù)為μ0,剎車時汽車的加速度大小為a0,安全距離為s,反應時間為t0,由牛頓第二定律和運動學公式得
μ0mg=ma0①(2分)
s=v0t0+②(2分)
式中m和v0分別為汽車的質(zhì)量和剎車前的速度。
設在雨天行駛時,汽車與路面間的動摩擦因數(shù)為μ,依題意有μ=μ0③(2分)
設在雨天行駛時汽車剎車的加速度大小為a,安全行駛的最大速度為v,由牛頓第二定律和運動學公式得
μmg=ma④(2分)
s=vt0+⑤(2分)
聯(lián)立①②③④⑤解得v=20 m/s(72 km/h)(2分)
2.運用牛頓運動定律解決動力學的圖像問題
a.運用v-t圖像解決動力學問題
(6)(2018改編,12分)如圖所示,t=0時刻質(zhì)量分別為m、2m的A、B兩物體(均可視為質(zhì)點)放在同一水平面上,兩物體與地面間的動摩擦因數(shù)都為μ,現(xiàn)A物體受到大小為3μmg,B物體受到大小為4μmg,方向均水平向右的恒力作用,兩物體同時出發(fā)向右做勻加速直線運動。經(jīng)過t0時間兩物體同時撤去水平向右的恒力,此過程兩物體并未相撞,之后繼續(xù)運動直至停止,A物體停止時恰好追上B,求t=0時刻兩物體之間的距離s。
答案:2μgt(12分)
解析:法一(解析法)
受到水平恒力作用時,由牛頓第二定律得
A物體的加速度aA=①(2分)
B物體的加速度aB=②(1分)
故A物體的位移xA=aAt③(1分)
vA=aAt0④(1分)
B物體的位移xB=aBt⑤(1分)
vB=aBt0⑥(1分)
由牛頓第二定律得兩物體勻減速時的加速度
aA′=aB′=μg⑦(1分)
2aA′xA′=v⑧(1分)
2aB′xB′=v⑨(1分)
s=(xA+xA′)-(xB+xB′)⑩(1分)
聯(lián)立上式得s=2μgt(1分)
法二(圖像法)
由牛頓第二定律得受力時A的加速度
aA==2μg(3分)
B物體加速度aB==μg (3分)
撤去力時兩物體的加速度aA′=aB′=μg,故減速時A、B的v-t圖線平行。
據(jù)此畫出A、B兩物體的v-t圖像如圖所示。物體A、物體B的v-t圖線與t軸圍成的面積大小之差就是s,由圖像得s=2μgt(6分)
(7)(2018改編,10分)如圖(a)所示,一物塊在t=0時刻滑上一固定斜面,其運動的v-t圖線如圖(b)所示。若重力加速度及圖中的v0、v1、t1均為已知量,求物塊與斜面間的動摩擦因數(shù)和物塊沿斜面向上滑行的最大高度。
答案: (10分)
解析:由v-t圖像可得物塊沿斜面向上滑行時的加速度大小為a=①(2分)
設斜面傾角為θ,根據(jù)牛頓第二定律得
mgsin θ+μmgcos θ=ma②(2分)
同理,向下滑行時有
mgsin θ-μmgcos θ=m③(2分)
由題圖知物塊向上滑行的最大位移x=t1④(2分)
聯(lián)立①②③④解得物塊向上滑行的最大高度為
xsin θ=(1分)
物塊與斜面之間的動摩擦因數(shù)
μ=(1分)
b.動力學問題中選擇正確的a-t圖像或F-a圖像可采用解析法或排除法
(8)(2013全國Ⅱ,6分)一物塊靜止在粗糙的水平桌面上。從某時刻開始,物塊受到一方向不變的水平拉力作用,假設物塊與桌面間的最大靜摩擦力等于滑動摩擦力。以a表示物塊的加速度大小,F(xiàn)表示水平拉力的大小。能正確描述F與a之間關系的圖像是( )
答案:C
解析:法一(解析法)
設物塊所受滑動摩擦力為f,在水平拉力F作用下,物塊做勻加速直線運動,由牛頓第二定律得F=ma+f,所以能正確描述F與a之間關系的圖像是C,故C項正確,A項、B項、D項均錯誤。
法二(排除法)
因物體還受到摩擦力,故力F達不到最大靜摩擦力時,物體靜止,加速度為0,故圖線的縱軸截距大于0,當F大于最大靜摩擦力時,a隨F增大而增大,故C項正確,A項、B項、D項均錯誤。
(9)(經(jīng)典題,6分)在光滑水平面上有一質(zhì)量為m1的足夠長的木板,其上疊放一質(zhì)量為m2的木塊。假定木塊和木板之間的最大靜摩擦力和滑動摩擦力相等。現(xiàn)給木塊施加一隨時間t增大的水平力F=kt(k是常數(shù)),木板和木塊加速度的大小分別為a1和a2。下列反映a1和a2變化的圖線中正確的是( )
答案:A
解析:本題中開始階段兩物體一起做加速運動,有F=(m1+m2)a,即a=,兩物體加速度相同且與時間成正比。當兩物體間的摩擦力達到μm2g后兩者發(fā)生相對滑動。對m2有
F-f=m2a2,在相對滑動之前f逐漸增大,相對滑動后f=μm2g不再變化,a2=,故其圖像斜率增大。而對m1,在發(fā)生相對滑動后,有μm2g=m1a1,可見a1=為定值,故A項正確。
3.求解超重與失重問題的關鍵是加速度的分析
(10)(多選)(2015江蘇單科,4分)一人乘電梯上樓,在豎直上升過程中加速度a隨時間t變化的圖線如圖所示,以豎直向上為a的正方向,則人對地板的壓力( )
A.t=2 s時最大 B.t=2 s時最小
C.t=8.5 s時最大 D.t=8.5 s時最小
答案:AD
解析:人受重力mg和支持力FN的作用,由牛頓第二定律得FN-mg=ma。由牛頓第三定律得人對地板的壓力FN′=FN=mg+ma。當t=2 s時a為正且有最大值,F(xiàn)′N最大,故A項正確,B項錯誤。當t=8.5 s時,a為負且有最大值,F(xiàn)′N最小,故D項正確,C項錯誤。
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