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第二章 推理與證明
注意事項：
1．答題前，先將自己的姓名、準考證號填寫在試題卷和答題卡上，并將準考證號條形碼粘貼在答題卡上的指定位置。
2．選擇題的作答：每小題選出答案后，用2B鉛筆把答題卡上對應題目的答案標號涂黑，寫在試題卷、草稿紙和答題卡上的非答題區(qū)域均無效。
3．非選擇題的作答：用簽字筆直接答在答題卡上對應的答題區(qū)域內。寫在試題卷、草稿紙和答題卡上的非答題區(qū)域均無效。
4．考試結束后，請將本試題卷和答題卡一并上交。
一、選擇題(本大題共12個小題，每小題5分，共60分，在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的)
1．實數(shù)、b、c不全為0等價于（ ）
A．、b、c均不為0
B．、b、c中至多有一個為0
C．、b、c中至少有一個為0
D．、b、c中至少有一個不為0
2．用火柴棒擺“金魚”，如圖所示：
按照上面的規(guī)律，第n個“金魚”圖形需要火柴棒的根數(shù)為（ ）
A．6n－2 B．8n－2 C．6n＋2 D．8n＋2
3．已知數(shù)列的前n項和，而，通過計算、、，猜想（ ）
A． B． C． D．
4．觀察數(shù)列1，2，2，3，3，3，4，4，4，4，…的特點，則第100項為（ ）
A．10 B．14 C．13 D．100
5．用分析法證明：欲使①A>B，只需②C
f(x2)”的是（ ）
A．f(x)＝ B．f(x)＝(x－1)2
C．f(x)＝ex D．f(x)＝ln(x＋1)
7．已知對一切n∈N*都成立，那么、b、c的值為（ ）
A．＝，b＝c＝ B．＝b＝c＝
C．＝0，b＝c＝ D．不存在這樣的、b、c
8．已知，，，，，，則等于（ ）
A． B． C． D．
9．已知各項均不為零的數(shù)列，定義向量，，．下列命題中真命題是（ ）
A．若總有成立，則數(shù)列是等差數(shù)列
B．若總有成立，則數(shù)列是等比數(shù)列
C．若總有成立，則數(shù)列是等差數(shù)列
D．若總有成立，則數(shù)列是等比數(shù)列
10．用反證法證明命題“若整數(shù)系數(shù)一元二次方程x2＋bx＋c＝0(a≠0)有有理根，那么、b、c中至少有一個是偶數(shù)”，下列各假設中正確的是（ ）
A．假設、b、c都是偶數(shù)
B．假設、b、c都不是偶數(shù)
C．假設、b、c中至多有一個是偶數(shù)
D．假設、b、c中至多有兩個偶數(shù)
11．已知函數(shù)f(x)＝lg，若，則等于（ ）
A．b B．－b C． D．－
12．已知f(x)＝x3＋x，、b、c∈R，且，，b＋c>0，則的值（ ）
A．一定大于零 B．一定等于零
C．一定小于零 D．正負都有可能
二、填空題（本大題共4個小題，每小題5分，共20分，把正確答案填在題中橫線上）
13．“∵AC、BD是菱形ABCD的對角線，∴AC、BD互相垂直且平分．”以上推理的大前提是________．
14．設函數(shù)(x>0)，觀察：
，
，
，
，
…
根據以上事實，由歸納推理可得：
當n∈N*且n≥2時，________．
15．由代數(shù)式的乘法法則類比推導向量的數(shù)量積的運算法則：
①“mn＝nm”類比得到“”；
②“(m＋n)t＝mt＋nt”類比得到“”；
③“t≠0，mt＝nt?m＝n”類比得到“，”；
④“|mn|＝|m||n|”類比得到“”；
⑤“(mn)t＝m(nt)”類比得到“”；
⑥“”類比得到“”．
以上類比得到的結論正確的是________．
16．觀察下列等式：
1＝1 13＝1
1＋2＝3 13＋23＝9
1＋2＋3＝6 13＋23＋33＝36
1＋2＋3＋4＝10 13＋23＋33＋43＝100
1＋2＋3＋4＋5＝15 13＋23＋33＋43＋53＝225
… …
可以推測：13＋23＋33＋…＋n3＝________．(n∈N*，用含有n的代數(shù)式表示)
三、解答題(本大題共6個小題，共70分，解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟)
17．（10分）觀察下面所示的“三角數(shù)陣”
記第n行的第2個數(shù)為(n≥2，n∈N*)，請仔細觀察上述“三角數(shù)陣”的特征，完成下列各題：
（1）第6行的6個數(shù)依次為________、________、________、________、________、________；
（2）依次寫出、、、；
（3）歸納出與的關系式．
18．（12分）已知函數(shù)，求證：函數(shù)在上為增函數(shù)．
19．（12分）已知橢圓具有以下性質：若M、N是橢圓C上關于原點對稱的兩個點，點P是橢圓上任意一點，若直線PM、PN的斜率都存在，并記為、，那么與之積是與點P的位置無關的定值．試對雙曲線，寫出具有類似的性質，并加以證明．
20．（12分）已知△ABC的三個內角A，B，C為等差數(shù)列，且，b，c分別為角A，B，C的對邊．求證：(＋b)－1＋(b＋c)－1＝3(＋b＋c)－1．
21．（12分）等差數(shù)列的前n項和為Sn，＝1＋，S3＝9＋3．
（1）求數(shù)列的通項與前n項和Sn；
（2）設bn＝(n∈N＋)，求證：數(shù)列中任意不同的三項都不可能成等比數(shù)列．
22．（12分）已知函數(shù)f(x)＝(x－2)ex－x2＋x＋2．
（1）求函數(shù)f(x)的單調區(qū)間和極值；
（2）證明：當x≥1時，f(x)>x3－x．
2018-2019學年選修1-2第二章訓練卷
推理與證明（一）
答 案
一、選擇題
1．【答案】D
【解析】“不全為0”的含義是至少有一個不為0，其否定應為“全為0”．故選D．
2．【答案】C
【解析】歸納“金魚”圖形的構成規(guī)律知，后面“金魚”都比它前面的“金魚”多了去掉尾巴后6根火柴組成的魚頭部分，故各“金魚”圖形所用火柴棒的根數(shù)構成一首項為8，公差是6的等差數(shù)列，通項公式為．故選C．
3．【答案】B
【解析】，∴，，
∴．，
∴．由此猜想．故選B．
4．【答案】B
【解析】設n∈N*，則數(shù)字n共有n個，∴即n(n＋1)≤200，
又∵n∈N*，∴n＝13，到第13個13時共有＝91項，從第92項開始為14，
故第100項為14．故選B．
5．【答案】B
【解析】∵②?①，∴①是②的必要條件．故選B．
6．【答案】A
【解析】若滿足題目中的條件，則f(x)在(0，＋∞)上為減函數(shù)，在A、B、C、D四選項中，由基本函數(shù)性質知，A是減函數(shù)，故選A．
7．【答案】A
【解析】令n＝1，2，3，得，
∴＝，b＝c＝．故選A．
8．【答案】A
【解析】由已知，有，，，，，，可以歸納出：
，，，．
∴．故選A．
9．【答案】A
【解析】∵對總有，則存在實數(shù)，使，
∴，∴是等差數(shù)列．故選A．
10．【答案】B
【解析】對命題的結論“、b、c中至少有一個是偶數(shù)”進行否定假設應是“假設、b、c都不是偶數(shù)”．∵“至少有一個”即有一個、兩個或三個，因此它的否定應是“都不是”．故選B．
11．【答案】B
【解析】f(x)定義域為(－1，1)，
．
故選B．
12．【答案】A
【解析】f(x)＝x3＋x是奇函數(shù)，且在R上是增函數(shù)，
由得，
∴，即，同理，，
∴．故選A．
二、填空題
13．【答案】菱形對角線互相垂直且平分
14．【答案】
【解析】由已知可歸納如下：，
，，
，…，．
15．【答案】①②
【解析】①②都正確；③⑥錯誤，∵向量不能相除；
④可由數(shù)量積定義判斷，∴錯誤；
⑤向量中結合律不成立，∴錯誤．
16．【答案】
【解析】由條件可知：，，
，
，不難得出．
三、解答題
17．【答案】（1）6，16，25，25，16，6；（2）2，4，7，11；（3）．
【解析】由數(shù)陣可看出，除首末兩數(shù)外，每行中的數(shù)都等于它上一行的肩膀上的兩數(shù)之和，且每一行的首末兩數(shù)都等于行數(shù)．
（1）6，16，25，25，16，6．
（2），，，．
（3）∵，，，
由此歸納：．
18．【答案】見解析．
【解析】設，是上的任意兩實數(shù)，且，
則
．
∵，且，∴，．
又∵，，
∴．
∴，∴．
∴函數(shù)在上為增函數(shù)．
19．【答案】見解析．
【解析】類似的性質為：若M、N是雙曲線上關于原點對稱的兩個點，點P是雙曲線上任意一點，若直線PM、PN的斜率都存在，并記為、，那么與之積是與點P的位置無關的定值．
證明如下：設點M、P的坐標為、，則．
∵點M(m，n)在已知雙曲線上，
∴n2＝m2－b2．同理y2＝x2－b2．
則kPMkPN＝＝＝＝ (定值)．
20．【答案】見解析．
【解析】要證(＋b)－1＋(b＋c)－1＝3(＋b＋c)－1，
即證，
只需證．
化簡得，
即c(b＋c)＋(＋b)＝(＋b)(b＋c)，
∴只需證c2＋2＝b2＋c．
∵△ABC的三個內角A，B，C成等差數(shù)列，
∴B＝60，
∴cosB＝＝，
即2＋c2－b2＝c成立．
∴(＋b)－1＋(b＋c)－1＝3(＋b＋c)－1成立．
21．【答案】（1）＝2n＋－1，Sn＝n(n＋)；（2）見解析．
【解析】（1）設等差數(shù)列公差為d，
則3＋d＝9＋3，
解得d＝2，∴＝1＋＋(n－1)2＝2n＋－1，
Sn＝n＝n(n＋)．
（2）bn＝＝n＋．用反證法證明．
設bn，bm，bk成等比數(shù)列(m，n，k互不相等)，
則bnbk＝b，即(n＋)(k＋)＝(m＋)2，
整理得：nk－m2＝(2m－n－k)，左邊為有理數(shù)，右邊是無理數(shù)，矛盾，
故任何不同三項都不可能成等比數(shù)列．
22．【答案】（1）見解析；（2）見解析．
【解析】（1）f ′(x)＝(x－1)(ex－1)，
當x＜0或x＞1時，f ′(x)＞0，當0＜x＜1時，f ′(x)＜0，
∴f(x)在(－∞，0)，(1，＋∞)上單調遞增，在(0，1)上單調遞減，
當x＝0時，f(x)有極大值f(0)＝0，當x＝1時，f(x)有極小值f(1)＝－e．
（2）設g(x)＝f(x)－x3＋x，則g′(x)＝(x－1)(ex－－)，
令u(x)＝ex－－，則u′(x)＝ex－，
當x≥1時，u′(x)＝ex－>0，u(x)在[1,＋∞)上單調遞增，u(x)≥u(1)＝e－2>0，
∴g′(x)＝(x－1)(ex－－)≥0，g(x)＝f(x)－x3＋x在[1,＋∞)上單調遞增．
g(x)＝f(x)－x3＋x≥g(1)＝－e>0，
∴f(x)>x3－x．
2019高中數(shù)學 第二章 推理與證明單元測試（一）新人教A版選修1 -2.doc
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