2019高考數學三輪沖刺 大題提分 大題精做7 立體幾何：建系困難問題 理.docx

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大題精做7 立體幾何：建系困難問題 [2019長沙統(tǒng)測]已知三棱錐（如圖一）的平面展開圖（如圖二）中，四邊形為邊長等于的正方形，和均為正三角形，在三棱錐中： （1）證明：平面平面； （2）若點在棱上運動，當直線與平面所成的角最大時，求二面角的余弦值． 圖一 圖二 【答案】（1）見解析；（2）． 【解析】（1）設的中點為，連接，． 由題意，得，，． ∵在中，，為的中點，∴， ∵在中，，，，，∴． ∵，，平面，∴平面， ∵平面，∴平面平面． （2）由（1）知，，，平面， ∴是直線與平面所成的角，且， ∴當最短時，即是的中點時，最大． 由平面，，∴，， 于是以，，所在直線分別為軸，軸，軸建立如圖示空間直角坐標系， 則，，，，，， ，，． 設平面的法向量為， 則由得：．令，得，，即． 設平面的法向量為， 由得：，令，得，，即． ．由圖可知，二面角的余弦值為． 1．[2019安慶期末]矩形中，，，點為中點，沿將折起至，如圖所示，點在面的射影落在上． （1）求證：面面； （2）求平面與平面所成銳二面角的余弦值． 2．[2019南陽期末]如圖1，在矩形中，，，點在線段上，且，現將沿折到的位置，連結，，如圖2． （1）若點在線段上，且，證明：； （2）記平面與平面的交線為．若二面角為，求與平面所成角的正弦值． 3．[2019蘇州調研]如圖，在四棱錐中，已知底面是邊長為1的正方形，側面平面，，與平面所成角的正弦值為． （1）求側棱的長； （2）設為中點，若，求二面角的余弦值． 1．【答案】（1）詳見解析；（2）． 【解析】（1）在四棱錐中，，，從而有， 又∵面，而面，∴，而、面，且， 由線面垂直定理可證面，又面，由面面垂直判斷定定理即證面面． （2）由條件知面，過點做的平行線， 又由（1）知面，以、、分別為、、軸建立空間直角坐標系， 如圖所示： ，，，，， 面的一個法向量為， 設面的法向量為，則有， 從而可得面的一個法向量為，， 設平面與平面所成銳二面角為，與互補，則， 故平面與平面所成二面角的余弦值為． 2．【答案】（1）詳見解析；（2）． 【解析】證明：（1）先在圖1中連結，在中，由，， 得，在中，由，， 得，∴，則， ∴，從而有，，即在圖2中有，， ∴平面，則； 解：（2）延長，交于點，連接，根據公理3得到直線即為， 再根據二面角定義得到．在平面內過點作底面垂線， 以為原點，分別為，，及所作垂線為軸、軸、軸建立空間直角坐標系， 則，，，， ，，， 設平面的一個法向量為，由，取，得． ∴與平面所成角的正弦值為． 3．【答案】（1）或；（2）． 【解析】（1）取中點，中點，連結，，∵，∴， 又∵平面平面，平面，平面平面， ∴平面，∴，， 又∵是正方形，∴， 以為原點，，為，，軸建立空間直角坐標系（如圖）， 則，，，， 設，則，， 設平面的一個法向量為，則有， 取，則，從而， 設與平面所成角為，∵， ∴，解得或， ∴或． （2）由（1）知，，∴，， 由（1）知，平面的一個法向量為， 設平面的一個法向量為，而，， ∴取，則，，即， 設二面角的平面角為，∴， 根據圖形得為銳角，∴二面角的余弦值為．