2019高考數學二輪復習 專題七 系列4選講 第一講 坐標系與參數方程教案 理.doc

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第一講　坐標系與參數方程 年份 卷別 考查角度及命題位置 命題分析 2018 Ⅰ卷 極坐標方程與直角坐標方程的互化、直線和圓的位置關系T22 1.坐標系與參數方程是高考的選考內容之一，高考考查的重點主要有兩個方面：一是簡單曲線的極坐標方程；二是參數方程、極坐標方程與曲線的綜合應用． 2.全國課標卷對此部分內容的考查以解答題形式出現(xiàn)，難度中等，備考此部分內容時應注意轉化思想的應用. Ⅱ卷 曲線的參數方程與直角坐標方程的互化、直線參數方程的幾何意義T22 Ⅲ卷 參數方程與直角坐標方程的互化T22 2017 Ⅰ卷 參數方程與普通方程的互化、點到直線的距離T22 Ⅱ卷 直角坐標與極坐標的互化、動點軌跡方程的求法、三角形面積的最值問題T22 Ⅲ卷 直線的參數方程與極坐標方程、動點軌跡方程的求法T22 2016 Ⅰ卷 參數方程與普通方程的互化、極坐標方程與直角坐標方程的互化及應用T23 Ⅱ卷 極坐標方程與直角坐標方程的互化及應用、直線與圓的位置關系T23 Ⅲ卷 參數方程、極坐標方程及點到直線的距離、三角函數的最值T23 極坐標方程及應用 授課提示：對應學生用書第75頁 [悟通——方法結論] 1．圓的極坐標方程 若圓心為M(ρ0，θ0)，半徑為r，則圓的方程為：ρ2－2ρ0ρcos(θ－θ0)＋ρ－r2＝0. 幾個特殊位置的圓的極坐標方程： (1)當圓心位于極點，半徑為r：ρ＝r； (2)當圓心位于M(a,0)，半徑為a：ρ＝2acos θ； (3)當圓心位于M，半徑為a：ρ＝2asin θ. 2．直線的極坐標方程 若直線過點M(ρ0，θ0)，且極軸與此直線所成的角為α，則它的方程為：ρsin(θ－α)＝ρ0sin(θ0－α)． 幾個特殊位置的直線的極坐標方程： (1)直線過極點：θ＝θ0和θ＝π＋θ0； (2)直線過點M(a,0)且垂直于極軸：ρcos θ＝a； (3)直線過M且平行于極軸：ρsin θ＝b. [全練——快速解答] 1．(2018高考全國卷Ⅰ)在直角坐標系xOy中，曲線C1的方程為y＝k|x|＋2.以坐標原點為極點，x軸正半軸為極軸建立極坐標系，曲線C2的極坐標方程為ρ2＋2ρcos θ－3＝0. (1)求C2的直角坐標方程； (2)若C1與C2有且僅有三個公共點，求C1的方程． 解析：(1)由x＝ρcos θ，y＝ρsin θ得C2的直角坐標方程為(x＋1)2＋y2＝4. (2)由(1)知C2是圓心為A(－1,0)，半徑為2的圓． 由題設知，C1是過點B(0,2)且關于y軸對稱的兩條射線．記y軸右邊的射線為l1，y軸左邊的射線為l2. 由于點B在圓C2的外面，故C1與C2有且僅有三個公共點等價于l1與C2只有一個公共點且l2與C2有兩個公共點，或l2與C2只有一個公共點且l1與C2有兩個公共點． 當l1與C2只有一個公共點時，點A到l1所在直線的距離為2，所以＝2，故k＝－或k＝0. 經檢驗，當k＝0時，l1與C2沒有公共點； 當k＝－時，l1與C2只有一個公共點，l2與C2有兩個公共點． 當l2與C2只有一個公共點時，點A到l2所在直線的距離為2，所以＝2，故k＝0或k＝. 經檢驗，當k＝0時，l1與C2沒有公共點； 當k＝時，l2與C2沒有公共點． 綜上，所求C1的方程為y＝－|x|＋2. 2．(2017高考全國卷Ⅱ)在直角坐標系xOy中，以坐標原點為極點，x軸正半軸為極軸建立極坐標系，曲線C1的極坐標方程為ρcos θ＝4. (1)M為曲線C1上的動點，點P在線段OM上，且滿足|OM||OP|＝16，求點P的軌跡C2的直角坐標方程； (2)設點A的極坐標為，點B在曲線C2上，求△OAB面積的最大值． 解析：(1)設P的極坐標為(ρ，θ)(ρ>0)，M的極坐標為(ρ1，θ)(ρ1>0)． 由題設知|OP|＝ρ，|OM|＝ρ1＝. 由|OM||OP|＝16得C2的極坐標方程ρ＝4cos θ(ρ>0)． 因此C2的直角坐標方程為(x－2)2＋y2＝4(x≠0)． (2)設點B的極坐標為(ρB，α)(ρB>0)， 由題設知|OA|＝2，ρB＝4cos α，于是△OAB面積 S＝|OA|ρBsin∠AOB ＝4cos α|sin| ＝2|sin－| ≤2＋. 當α＝－時，S取得最大值2＋. 所以△OAB面積的最大值為2＋. 3．(2018長春二模)在直角坐標系xOy中，以O為極點，x軸正半軸為極軸建立極坐標系，曲線C的極坐標方程為ρcos＝1，M，N分別為曲線C與x軸，y軸的交點． (1)寫出曲線C的直角坐標方程，并求M，N的極坐標； (2)設M，N的中點為P，求直線OP的極坐標方程． 解析：(1)∵ρcos＝1， ∴ρcos θcos ＋ρsin θsin＝1. 又∴x＋y＝1， 即曲線C的直角坐標方程為x＋y－2＝0， 令y＝0，則x＝2；令x＝0，則y＝. ∴M(2,0)，N. ∴M的極坐標為(2,0)，N的極坐標為. (2)∵M，N連線的中點P的直角坐標為， ∴P的極角為θ＝， ∴直線OP的極坐標方程為θ＝(ρ∈R)． 1.極坐標方程與普通方程互化技巧 (1)巧用極坐標方程兩邊同乘以ρ或同時平方技巧，將極坐標方程構造成含有ρcos θ，ρsin θ，ρ2的形式，然后利用公式代入化簡得到普通方程． (2)巧借兩角和差公式，轉化ρsin(θα)或ρcos(θα)的結構形式，進而利用互化公式得到普通方程． (3)將直角坐標方程中的x轉化為ρcos θ，將y換成ρsin θ，即可得到其極坐標方程． 2．求解與極坐標有關的問題的主要方法 (1)直接利用極坐標系求解，可與數形結合思想配合使用． (2)轉化為直角坐標系，用直角坐標求解．若結果要求的是極坐標，還應將直角坐標化為極坐標． 參數方程 授課提示：對應學生用書第76頁 [悟通——方法結論] 幾種常見曲線的參數方程 (1)圓 以O′(a，b)為圓心，r為半徑的圓的參數方程是其中α是參數． 當圓心在(0,0)時，方程為其中α是參數． (2)橢圓 橢圓＋＝1(a＞b＞0)的參數方程是其中φ是參數． 橢圓＋＝1(a＞b＞0)的參數方程是其中φ是參數． (3)直線 經過點P0(x0，y0)，傾斜角為α的直線的參數方程是其中t是參數． [全練——快速解答] 1．(2018高考全國卷Ⅱ)在直角坐標系xOy中，曲線C的參數方程為(θ為參數)，直線l的參數方程為(t為參數)． (1)求C和l的直角坐標方程； (2)若曲線C截直線l所得線段的中點坐標為(1,2)，求l的斜率． 解析：(1)曲線C的直角坐標方程為＋＝1. 當cos α≠0時，l的直角坐標方程為y＝tan αx＋2－tan α， 當cos α＝0時，l的直角坐標方程為x＝1. (2)將l的參數方程代入C的直角坐標方程，整理得關于t的方程(1＋3cos2α)t2＋4(2cos α＋sin α)t－8＝0.① 因為曲線C截直線l所得線段的中點(1,2)在C內，所以①有兩個解，設為t1，t2，則t1＋t2＝0. 又由①得t1＋t2＝－，故2cos α＋sin α＝0，于是直線l的斜率k＝tan α＝－2. 2．(2017高考全國卷Ⅰ)在直角坐標系xOy中，曲線C的參數方程為(θ為參數)，直線l的參數方程為(t為參數)． (1)若a＝－1，求C與l的交點坐標； (2)若C上的點到l距離的最大值為，求a. 解析：(1)曲線C的普通方程為＋y2＝1. 當a＝－1時，直線l的普通方程為x＋4y－3＝0. 由 解得或 從而C與l的交點坐標為(3,0)，. (2)直線l的普通方程為x＋4y－a－4＝0，故C上的點(3cos θ，sin θ)到l的距離為 d＝. 當a≥－4時，d的最大值為. 由題設得＝，解得a＝8； 當a＜－4時，d的最大值為. 由題設得＝， 解得a＝－16. 綜上，a＝8或a＝－16. 3．(2018惠州模擬)已知曲線C的極坐標方程是ρ＝4cos θ.以極點為平面直角坐標系的原點，極軸為x軸的正半軸，建立平面直角坐標系，直線l的參數方程是(t為參數)． (1)將曲線C的極坐標方程化為直角坐標方程； (2)若直線l與曲線C相交于A，B兩點，且|AB|＝，求直線l的傾斜角α的值． 解析：(1)由ρ＝4cos θ得ρ2＝4ρcos θ. ∵x2＋y2＝ρ2，x＝ρcos θ，y＝ρsin θ， ∴曲線C的直角坐標方程為x2＋y2－4x＝0，即(x－2)2＋y2＝4. (2)將代入曲線C的方程得(tcos α－1)2＋(tsin α)2＝4，化簡得t2－2tcos α－3＝0. 設A，B兩點對應的參數分別為t1，t2，則. ∴|AB|＝|t1－t2|＝＝＝， ∴4cos2α＝2，cos α＝，α＝或. 1．有關參數方程問題的2個關鍵點 (1)參數方程化為普通方程的關鍵是消參數，要根據參數的特點進行轉化． (2)利用參數方程解決問題，關鍵是選準參數，理解參數的幾何意義． 2．利用直線的參數方程中參數的幾何意義求解問題 經過點P(x0，y0)，傾斜角為α的直線l的參數方程為(t為參數)．若A，B為直線l上兩點，其對應的參數分別為t1，t2，線段AB的中點為M，點M所對應的參數為t0，則以下結論在解題中經常用到： (1)t0＝； (2)|PM|＝|t0|＝； (3)|AB|＝|t2－t1|； (4)|PA||PB|＝|t1t2|. 極坐標方程與參數方程的綜合應用 授課提示：對應學生用書第77頁 　(2017高考全國卷Ⅲ)(10分)在直角坐標系xOy中，直線l1的參數方程為(t為參數)，直線l2的參數方程為(m為參數)．設l1與l2的交點為P，當k變化時，P的軌跡為曲線C. (1)寫出C的普通方程； (2)以坐標原點為極點，x軸正半軸為極軸建立極坐標系，設l3：ρ(cos θ＋sin θ)－＝0，M為l3與C的交點，求M的極徑． [規(guī)范解答]　(1)消去參數t得l1的普通方程l1：y＝k(x－2)； 消去參數m得l2的普通方程l2：y＝(x＋2)． (2分) 設P(x，y)，由題設得消去k得x2－y2＝4(y≠0)． 所以C的普通方程為x2－y2＝4(y≠0)． (4分) (2)C的極坐標方程為ρ2(cos2θ－sin2θ)＝4(0<θ<2π，θ≠π)． 聯(lián)立 (6分) 得cos θ－sin θ＝2(cos θ＋sin θ)． 故tan θ＝－， 從而cos2θ＝，sin2θ＝. (8分) 代入ρ2(cos2θ－sin2θ)＝4得ρ2＝5， 所以交點M的極徑為. (10分) 解決極坐標方程與參數方程綜合問題的方法 (1)對于參數方程或極坐標方程應用不夠熟練的情況下，我們可以先化成直角坐標的普通方程，這樣思路可能更加清晰. (2)對于一些運算比較復雜的問題，用參數方程計算會比較簡捷． (3)利用極坐標方程解決問題時，要注意題目所給的限制條件及隱含條件． [練通——即學即用] 1．(2018惠州模擬)已知曲線C：(α為參數)和定點A(0，)，F(xiàn)1，F(xiàn)2是此曲線的左、右焦點，以原點O為極點，以x軸的正半軸為極軸建立極坐標系． (1)求直線AF2的極坐標方程； (2)經過點F1且與直線AF2垂直的直線l交曲線C于M，N兩點，求||MF1|－|NF1||的值． 解析：(1)曲線C：可化為＋＝1，故曲線C為橢圓， 則焦點F1(－1,0)，F(xiàn)2(1,0)． 所以經過點A(0，)和F2(1,0)的直線AF2的方程為x＋＝1，即x＋y－＝0， 所以直線AF2的極坐標方程為ρcos θ＋ρsin θ＝. (2)由(1)知，直線AF2的斜率為－，因為l⊥AF2，所以直線l的斜率為，即傾斜角為30?，所以直線l的參數方程為(t為參數)， 代入橢圓C的方程中，得13t2－12t－36＝0. 因為點M，N在點F1的兩側，所以||MF1|－|NF1||＝|t1＋t2|＝. 2．(2018長郡中學模擬)在直角坐標系中，已知曲線M的參數方程為(β為參數)，在極坐標系中，直線l1的方程為α1＝θ，直線l2的方程為α2＝θ＋. (1)寫出曲線M的普通方程，并指出它是什么曲線； (2)設l1與曲線M交于A，C兩點，l2與曲線M交于B，D兩點，求四邊形ABCD面積的取值范圍． 解析：(1)由(β為參數)，消去參數β，得曲線M的普通方程為(x－1)2＋(y－1)2＝8， ∴曲線M是以(1,1)為圓心，2為半徑的圓． (2)設|OA|＝ρ1，|OC|＝ρ2， ∵O，A，C三點共線，則|AC|＝|ρ1－ρ2|＝(*)， 將曲線M的方程化成極坐標方程，得ρ2－2ρ(sin θ＋cos θ)－6＝0， ∴代入(*)式得|AC|＝. 用θ＋代替θ，得|BD|＝， 又l1⊥l2，∴S四邊形ABCD＝|AC||BD|， ∴S四邊形ABCD＝＝2， ∵sin22θ∈[0,1]，∴S四邊形ABCD∈[8，14]. 授課提示：對應學生用書第159頁 1．已知曲線C1的參數方程為(θ為參數)，以坐標原點為極點，x軸的正半軸為極軸建立極坐標系，曲線C2的極坐標方程為ρ＝4sin(θ＋)，直線l的直角坐標方程為y＝x. (1)求曲線C1和直線l的極坐標方程； (2)已知直線l分別與曲線C1、曲線C2相交于異于極點的A，B兩點，若A，B的極徑分別為ρ1，ρ2，求|ρ2－ρ1|的值． 解析：(1)曲線C1的參數方程為(θ為參數)， 其普通方程為x2＋(y－1)2＝1，極坐標方程為ρ＝2sin θ. ∵直線l的直角坐標方程為y＝x， 故直線l的極坐標方程為θ＝(ρ∈R)． (2)曲線C1的極坐標方程為ρ＝2sin θ， 直線l的極坐標方程為θ＝， 將θ＝代入C1的極坐標方程得ρ1＝1， 將θ＝代入C2的極坐標方程得ρ2＝4， ∴|ρ2－ρ1|＝3. 2．(2018開封模擬)在直角坐標系xOy中，直線C1的參數方程為(t為參數)，圓C2：(x－2)2＋y2＝4，以坐標原點為極點，x軸的正半軸為極軸建立極坐標系． (1)求C1，C2的極坐標方程和交點A的坐標(非坐標原點)； (2)若直線C3的極坐標方程為θ＝(ρ∈R)，設C2與C3的交點為B(非坐標原點)，求△OAB的最大面積． 解析：(1)由(t為參數)得曲線C1的普通方程為y＝xtan α，故曲線C1的極坐標方程為θ＝α(ρ∈R)．將x＝ρcos θ，y＝ρsin θ代入(x－2)2＋y2＝4，得C2的極坐標方程為ρ＝4cos θ.故交點A的坐標為(4cos α，α)． (2)由題意知，B的極坐標為(2，)． ∴S△OAB＝|24cos αsin(－α)|＝|2sin(2α－)－2|， 故△OAB的最大面積是2＋2. 3．(2018長春模擬)以直角坐標系的原點O為極點，x軸的正半軸為極軸建立極坐標系，已知點P的直角坐標為(1,2)，點C的極坐標為(3，)，若直線l過點P，且傾斜角為，圓C以點C為圓心，3為半徑． (1)求直線l的參數方程和圓C的極坐標方程； (2)設直線l與圓C相交于A，B兩點，求|PA||PB|. 解析：(1)由題意得直線l的參數方程為(t為參數)， 圓C的極坐標方程為ρ＝6sin θ. (2)由(1)易知圓C的直角坐標方程為x2＋(y－3)2＝9， 把代入x2＋(y－3)2＝9，得t2＋(－1)t－7＝0， 設點A，B對應的參數分別為t1，t2，∴t1t2＝－7， 又|PA|＝|t1|，|PB|＝|t2|，∴|PA||PB|＝7. 4．(2018唐山模擬)極坐標系的極點為直角坐標系xOy的原點，極軸為x軸的正半軸，兩種坐標系的長度單位相同．已知圓C1的極坐標方程為ρ＝4(cos θ＋sin θ)，P是C1上一動點，點Q在射線OP上且滿足|OQ|＝|OP|，點Q的軌跡為C2. (1)求曲線C2的極坐標方程，并化為直角坐標方程； (2)已知直線l的參數方程為(t為參數，0≤φ＜π)，l與曲線C2有且只有一個公共點，求φ的值． 解析：(1)設點P，Q的極坐標分別為(ρ0，θ)，(ρ，θ)，則 ρ＝ρ0＝4(cos θ＋sin θ)＝2(cos θ＋sin θ)， 點Q的軌跡C2的極坐標方程為ρ＝2(cos θ＋sin θ)， 兩邊同乘以ρ，得ρ2＝2(ρcos θ＋ρsin θ)， C2的直角坐標方程為x2＋y2＝2x＋2y，即(x－1)2＋(y－1)2＝2. (2)將l的參數方程代入曲線C2的直角坐標方程，得 (tcos φ＋1)2＋(tsin φ－1)2＝2，即t2＋2(cos φ－sin φ)t＝0，t1＝0，t2＝2(sin φ－cos φ)， 由直線l與曲線C2有且只有一個公共點，得sin φ－cos φ＝0， 因為0≤φ＜π，所以φ＝.