(浙江專版)2019年高考數(shù)學一輪復習 專題2.2 函數(shù)的單調(diào)性與值域(講).doc
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第02節(jié) 函數(shù)的單調(diào)性與值域 【考綱解讀】 考 點 考綱內(nèi)容 5年統(tǒng)計 分析預測 函數(shù)的單調(diào)性與最值 1.理解函數(shù)的單調(diào)性,會判斷函數(shù)的單調(diào)性. 2.理解函數(shù)的最大(?。┲档暮x,會求函數(shù)的最大(?。┲? 2014?浙江文7;理6,15; 2015?浙江文12;理10; 2016浙江理18; 2017?浙江5,17. 2018?浙江7,22. 1.確定函數(shù)的最值(值域) 2.以基本初等函數(shù)為載體,考查函數(shù)單調(diào)性的判定、函數(shù)單調(diào)區(qū)間的確定、函數(shù)單調(diào)性的應(yīng)用(解不等式、確定參數(shù)的取值范圍、比較函數(shù)值大?。⒀芯亢瘮?shù)的最值等,常與奇偶性結(jié)合,有時與導數(shù)綜合考查. 3.備考重點: (1)判斷函數(shù)的單調(diào)性方法; (2)求函數(shù)最值的方法; (3)利用單調(diào)性比較函數(shù)值大小、解不等式、確定參數(shù)取值范圍. 【知識清單】 1.函數(shù)的單調(diào)性 (1).增函數(shù):若對于定義域內(nèi)的某個區(qū)間上的任意兩個自變量、,當時,都有,那么就說函數(shù)在區(qū)間上是增函數(shù); (2)減函數(shù):若對于定義域內(nèi)的某個區(qū)間上的任意兩個自變量、,當時,都有 ,那么就說函數(shù)在區(qū)間上是減函數(shù). 2.函數(shù)的最值 1.最大值:一般地,設(shè)函數(shù)的定義域為,如果存在實數(shù)滿足: (1)對于任意的,都有; (2)存在,使得. 那么,我們稱是函數(shù)的最大值. 2.最小值:一般地,設(shè)函數(shù)的定義域為,如果存在實數(shù)滿足: (1)對于任意的,都有; (2)存在,使得. 那么,我們稱是函數(shù)的最小值. 【重點難點突破】 考點1 單調(diào)性的判定和證明 【1-1】【2018屆遼寧省大連市二?!肯铝泻瘮?shù)中,既是偶函數(shù),又在上單調(diào)遞增的是( ) A. B. C. D. 【答案】B 【解析】分析:利用函數(shù)奇偶性的判斷方法判斷函數(shù)的奇偶性,利用復合函數(shù)的單調(diào)性原理和圖像判斷函數(shù)的單調(diào)性得解. 【1-2】【2018屆河南省南陽市第一中學高三實驗班第一次考試】已知,那么( ) A. 在區(qū)間上單調(diào)遞增 B. 在上單調(diào)遞增 C. 在上單調(diào)遞增 D. 在上單調(diào)遞增 【答案】D 【解析】,在 記,則 當時,單調(diào)遞增,且 而在不具有單調(diào)性,故A錯誤; 當時,不具有單調(diào)性,故B錯誤; 當時,單調(diào)遞增,且 而在不具有單調(diào)性,故C錯誤; 當時,單調(diào)遞減,且 而在單調(diào)遞減,根據(jù)“同增異減”知,D正確. 故選:D 【領(lǐng)悟技法】 1.利用基本初等函數(shù)的單調(diào)性與圖像:只需作出函數(shù)的圖象便可判斷函數(shù)在相應(yīng)區(qū)間上的單調(diào)性; 2.性質(zhì)法:(1)增函數(shù)增函數(shù)增函數(shù),減函數(shù)減函數(shù)減函數(shù),增函數(shù)減函數(shù)增函數(shù),減函數(shù)增函數(shù)減函數(shù); (2)函數(shù)與函數(shù)的單調(diào)性相反; (3)時,函數(shù)與的單調(diào)性相反(); 時,函數(shù)與的單調(diào)性相同(). 2.導數(shù)法:在區(qū)間D上恒成立,則函數(shù)在區(qū)間D上單調(diào)遞增;在區(qū)間D上恒成立,則函數(shù)在區(qū)間D上單調(diào)遞減. 4.定義法:作差法與作商法(常用來函數(shù)單調(diào)性的證明,一般使用作差法). 【注】分段函數(shù)的單調(diào)性要求每段函數(shù)都滿足原函數(shù)的整體單調(diào)性,還需注意斷點處兩邊函數(shù)值的大小比較. 【觸類旁通】 【變式一】【2017北京西城八中上期中】下列函數(shù)中,在區(qū)間上為增函數(shù)的是( ). A. B. C. D. 【答案】A 【變式二】【2017山西孝義二模】函數(shù),當時是增函數(shù),當時是減函數(shù),則等于( ) A.-3 B.13 C. 7 D. 5 【答案】B 【解析】由題意知函數(shù)的對稱軸,所以,所以,故選B. 考點2 函數(shù)的單調(diào)區(qū)間 【2-1】【2019屆四川省成都市第七中學零診】函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間是( ) A. B. C. D. 【答案】D 【解析】分析:利用二次函數(shù)的單調(diào)性, 結(jié)合函數(shù)的定義域,根據(jù)復合函數(shù)的單調(diào)性求解即可. 詳解:得或, 令,則為增函數(shù), 在上的增區(qū)間便是原函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間, 原函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為,故選D. 【2-2】的遞增區(qū)間是( ) A. B. C. D. 【答案】A 【領(lǐng)悟技法】 1.基本初等函數(shù)的單調(diào)區(qū)間: 函數(shù) 圖象 參數(shù)范圍 單調(diào)區(qū)間或單調(diào)性 一次函數(shù) 單調(diào)遞增區(qū)間 單調(diào)遞減區(qū)間 二次函數(shù) 單調(diào)遞減區(qū)間為 ; 單調(diào)遞增區(qū)間為 . 單調(diào)遞增區(qū)間為 ; 單調(diào)遞減區(qū)間為 . 反比例函數(shù) 單調(diào)遞減區(qū)間為 和 單調(diào)遞增區(qū)間為 和 指數(shù)函數(shù) (且) 單調(diào)遞減區(qū)間為 單調(diào)遞增區(qū)間為 對數(shù)函數(shù) (且) 單調(diào)遞減區(qū)間為 單調(diào)遞增區(qū)間為 冪函數(shù) 在上遞減 沒有單調(diào)性 在上遞增 正弦函數(shù) 單調(diào)遞增區(qū)間 單調(diào)遞減區(qū)間 余弦函數(shù) 單調(diào)遞減區(qū)間 ; 單調(diào)遞增區(qū)間 正切函數(shù) 單調(diào)遞增區(qū)間 2.圖象法:對于基本初等函數(shù)及其函數(shù)的變形函數(shù),可以作出函數(shù)圖象求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間. 3.復合函數(shù)法:對于函數(shù),可設(shè)內(nèi)層函數(shù)為,外層函數(shù)為,可以利用復合函數(shù)法來進行求解,遵循“同增異減”,即內(nèi)層函數(shù)與外層函數(shù)在區(qū)間D上的單調(diào)性相同,則函數(shù)在區(qū)間D上單調(diào)遞增;內(nèi)層函數(shù)與外層函數(shù)在區(qū)間D上的單調(diào)性相反,則函數(shù)在區(qū)間D上單調(diào)遞減. 4.導數(shù)法:不等式的解集與函數(shù)的定義域的交集即為函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間,不等式的解集與函數(shù)的定義域的交集即為函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間. 【觸類旁通】 【變式一】【2017屆北京西城35中高三上期中】 函數(shù)的單調(diào)區(qū)間是 A. B. C. D. 【答案】C 【解析】設(shè), , ,函數(shù)定義域為,所以先排除A,B;在上函數(shù)m先增后減,故D不對;由圖像可知,該復合函數(shù)單調(diào)區(qū)間為,故選. 【變式二】函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為 . 【答案】和. 【解析】作出函數(shù)的圖象如下圖所示, 由圖象可知,函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為和. 考點3 利用單調(diào)性確定參數(shù)取值范圍 【3-1】【2018屆云南省昆明市5月檢測】已知函數(shù),若,則實數(shù)的取值范圍是( ) A. B. C. D. 【答案】A 詳解:函數(shù)在上為減函數(shù), 函數(shù)的圖像開口向下,對稱軸為, 所以函數(shù)在區(qū)間上為減函數(shù), 且. 所以函數(shù)在上為減函數(shù). 由得.解得. 故選A. 【3-2】【2018年天津卷文】已知a∈R,函數(shù)若對任意x∈[–3,+),f(x)≤恒成立,則a的取值范圍是__________. 【答案】[,2] 【解析】分析:由題意分類討論和兩種情況,結(jié)合恒成立的條件整理計算即可求得最終結(jié)果. 詳解:分類討論:①當時,即:,整理可得:,由恒成立的條件可知:,結(jié)合二次函數(shù)的性質(zhì)可知:當時,,則;②當時,即:,整理可得:,由恒成立的條件可知:, 結(jié)合二次函數(shù)的性質(zhì)可知:當或時,,則; 綜合①②可得的取值范圍是. 點睛:對于恒成立問題,常用到以下兩個結(jié)論:(1)a≥f(x)恒成立?a≥f(x)max;(2)a≤f(x)恒成立?a≤f(x)min.有關(guān)二次函數(shù)的問題,數(shù)形結(jié)合,密切聯(lián)系圖象是探求解題思路的有效方法.一般從:①開口方向;②對稱軸位置;③判別式;④端點函數(shù)值符號四個方面分析. 【3-3】已知函數(shù)在區(qū)間上為增函數(shù),則實數(shù)的取值范圍 . 【答案】 【解析】函數(shù): ,由復合函數(shù)的增減性可知,若 在 (-2,+∞)為增函數(shù),∴1-2a<0, 【領(lǐng)悟技法】 1.解決抽象不等式時,切勿將自變量代入函數(shù)解析式進行求解,首先應(yīng)該注意考查函數(shù)的單調(diào)性.若函數(shù)為增函數(shù),則;若函數(shù)為減函數(shù),則. 2.在比較、、、的大小時,首先應(yīng)該根據(jù)函數(shù)的奇偶性與周期性將、、、通過等值變形將自變量置于同一個單調(diào)區(qū)間,然后根據(jù)單調(diào)性比較大小. 【觸類旁通】 【變式一】【2018屆內(nèi)蒙古巴彥淖爾市第一中學9月月考】已知函數(shù) 是奇函數(shù),若函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增,則實數(shù)的取值范圍是_________. 【答案】 【解析】設(shè) ,則 為奇函數(shù), 在 上單調(diào)遞減,在上單調(diào)遞增 ∵若函數(shù) 在區(qū)間 上單調(diào)遞增, 故答案為. 【變式二】【2017浙江金華十校聯(lián)考】已知函數(shù)f(x)為(0,+∞)上的增函數(shù),若f(a2-a)>f(a+3),則實數(shù)a的取值范圍為________. 考點4 函數(shù)的單調(diào)性和最值(值域)及其綜合應(yīng)用 【4-1】【2018屆浙江省紹興市3月模擬】已知,函數(shù)在區(qū)間上的最大值是2,則__________. 【答案】3或 【解析】當時,= 函數(shù),對稱軸為,觀察函數(shù) 的 圖像可知函數(shù)的最大值是. 令,經(jīng)檢驗,a=3滿足題意. 令,經(jīng)檢驗a=5或a=1都不滿足題意. 令,經(jīng)檢驗不滿足題意. 當時,, 函數(shù),對稱軸為,觀察函數(shù) 的圖像得函數(shù)的最大值是. 當時,, 函數(shù),對稱軸為,觀察函數(shù) 的圖像可知函數(shù)的最大值是. 令, 令,所以. 綜上所述,故填3或. 點睛:本題的難點在于通過函數(shù)的圖像分析函數(shù)的性質(zhì). 本題絕對值里面是一個閉區(qū)間上的二次函數(shù),要求它的最大值,所以要先畫出二次函數(shù)的圖像,再結(jié)合二次函數(shù)的圖像分析出最大值的可能情況. 【4-2】【2017浙江,17】已知αR,函數(shù)在區(qū)間[1,4]上的最大值是5,則的取值范圍是___________. 【答案】 【解析】 【領(lǐng)悟技法】 函數(shù)最值(值域)的求解方法: 1.單調(diào)性法: 利用函數(shù)的單調(diào)性:若是上的單調(diào)增(減)函數(shù),則,分別是在區(qū)間上取得最小(大)值,最大(小)值. 2.圖象法:對于由基本初等函數(shù)圖象變化而來的函數(shù),通過觀察函數(shù)圖象的最高點或最低點確定函數(shù)的最值. 3. 利用配方法:形如型,用此種方法,注意自變量x的范圍. 4.利用三角函數(shù)的有界性,如. 5.利用“分離常數(shù)”法:形如y= 或 (至少有一個不為零)的函數(shù),求其值域可用此法. 6.利用換元法:形如型,可用此法求其值域. 7.利用基本不等式法: 8.導數(shù)法:利用導數(shù)與函數(shù)的連續(xù)性求圖復雜函數(shù)的極值和最值,然后求出值域 9.求分段函數(shù)的最值時,應(yīng)根據(jù)所給自變量值的大小選擇相應(yīng)的解析式求解,有時每段交替使用求值.若給出函數(shù)值或函數(shù)值的范圍求自變量值或自變量的取值范圍,應(yīng)根據(jù)每一段的解析式分別求解,但要注意檢驗所求自變量值域范圍是否符合相應(yīng)段的自變量的取值范圍. 10.由判別式法來判斷函數(shù)的值域時,若原函數(shù)的定義域不是實數(shù)集時,應(yīng)綜合函數(shù)的定義域,將擴大的部 分剔除. 【觸類旁通】 【變式一】【2018屆陜西省西安市長安區(qū)大聯(lián)考(一)】已知函數(shù)的值域是,則實數(shù)的取值范圍是 A. B. C. D. 【答案】C 【變式二】【2018屆浙江省杭州市高三上期末】設(shè)函數(shù),記為函數(shù)在上的最大值, 為的最大值.( ) A. 若,則 B. 若,則 C. 若,則 D. 若,則 【答案】C 【解析】由題意得, 則 若,則,此時任意有 則, , , 在時與題意相符,故選 【易錯試題常警惕】 易錯典例:函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間為 . 易錯分析:求單調(diào)區(qū)間時,只顧及到內(nèi)層二次函數(shù)的單調(diào)區(qū)間,而忽視了函數(shù)定義域的重要性. 正確解析:自變量滿足,解得或, 令,, 則內(nèi)層函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減,在區(qū)間上單調(diào)遞增, 而外層函數(shù)在上是減函數(shù), 由復合函數(shù)單調(diào)性可知,函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間為. 【規(guī)范解答】 因為f(xy)=f(x)+f(y),且f(3)=1,所以2=2f(3)=f(3)+f(3)=f(9). 2分 又f(a)>f(a-1)+2,所以f(a)>f(a-1)+f(9),再由f(xy)=f(x)+f(y),可知f(a)>f(9(a-1)). 4分 從而有 8分 解得1- 1.請仔細閱讀文檔,確保文檔完整性,對于不預覽、不比對內(nèi)容而直接下載帶來的問題本站不予受理。
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