（天津專用）2020版高考數(shù)學大一輪復習 6.1 數(shù)列的概念及其表示精練.docx

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6.1　數(shù)列的概念及其表示 【真題典例】 挖命題 【考情探究】 考點 內容解讀 5年考情 預測熱度 考題示例 考向 關聯(lián)考點 數(shù)列的有關概念及性質 1.了解數(shù)列的概念,數(shù)列的通項公式 2.了解數(shù)列是自變量為正整數(shù)的一類函數(shù),會用賦值法求數(shù)列的項 2011天津,20,14分 賦值法求數(shù)列的項、數(shù)列的通項公式 不等式的證明 ★☆☆ 分析解讀　　了解數(shù)列的概念和有關的表示方法,了解數(shù)列的通項公式、遞推公式,了解數(shù)列的通項公式與前n項和公式之間的關系,了解數(shù)列是自變量為正整數(shù)的一類函數(shù).考查數(shù)列的有關概念和性質,培養(yǎng)學生的創(chuàng)新能力、抽象概括能力.本節(jié)內容在高考中分值約為5分,屬于中低檔題. 破考點 【考點集訓】 考點　數(shù)列的有關概念及性質 1.在數(shù)列{an}中,a1=0,an+1=3+an1-3an,則a2016=(　　) A.23　　　　B.3　　　　C.0　　　　D.-3 答案　D　 2.已知數(shù)列{an}滿足a1=1,且an=n(an+1-an)(n∈N*),則a2=　　　;an=　　　. 答案　2;n 3.已知數(shù)列{an}滿足an=3an-1+3n-1(n∈N*,n≥2),且a1=5,則an=　　　　. 答案　(n+4)3n-1 4.已知數(shù)列{an}的前n項和為Sn,且Sn=an+1-2n+2,a2=2,則an=　　　　. 答案　2,n=12n-2,n>1 煉技法 【方法集訓】 方法1　利用an與Sn的關系求通項 1.已知數(shù)列{an}的前n項和為Sn,若3Sn=2an-3n,則a2018=(　　) A.22018-1　　　　B.32018-6　　　　C.122018-72　　　　D.132018-103 答案　A　 2.已知數(shù)列{an}的前n項和為Sn,且Sn=2an-1,則S6a6=(　　) A.6332　　　　B.3116　　　　C.12364　　　　D.127128 答案　A　 3.已知數(shù)列{an}的前n項和為Sn,且a1=1,Sn=(n+1)an2,則a2017=(　　) A.2016　　　　B.2017　　　　C.4032　　　　D.4034 答案　B　 4.已知Sn為數(shù)列{an}的前n項和,且log2(Sn+1)=n+1,則數(shù)列{an}的通項公式為　　　　. 答案　an=3,n=12n,n≥2 方法2　利用遞推關系求數(shù)列的通項 5.已知數(shù)列{an}中,a1=1,an+1=2an+1(n∈N*),Sn為其前n項和,則S5的值為(　　) A.57　　　　B.61　　　　C.62　　　　D.63 答案　A　 6.在數(shù)列{an}中,a1=1,an+1=2anan+2,則數(shù)列{an}的通項an=　　　　. 答案　2n+1 7.已知數(shù)列{an}的前n項之和為Sn,若a1=2,an+1=an+2n-1+1,則S10=　　　　. 答案　1078 過專題 【五年高考】 A組　自主命題天津卷題組 　(2011天津,20,14分)已知數(shù)列{an}與{bn}滿足bnan+an+1+bn+1an+2=0,bn=3+(-1)n2,n∈N*,且a1=2,a2=4. (1)求a3,a4,a5的值; (2)設cn=a2n-1+a2n+1,n∈N*,證明{cn}是等比數(shù)列; (3)設Sk=a2+a4+…+a2k,k∈N*,證明∑k=14nSkak<76(n∈N*). 解析　(1)由bn=3+(-1)n2,n∈N*,可得bn=1,n為奇數(shù),2,n為偶數(shù). 又bnan+an+1+bn+1an+2=0, 當n=1時,a1+a2+2a3=0,由a1=2,a2=4,可得a3=-3; 當n=2時,2a2+a3+a4=0,可得a4=-5; 當n=3時,a3+a4+2a5=0,可得a5=4. (2)證明:對任意n∈N*, a2n-1+a2n+2a2n+1=0,① 2a2n+a2n+1+a2n+2=0,② a2n+1+a2n+2+2a2n+3=0,③ ②-③,得a2n=a2n+3,④ 將④代入①,可得a2n+1+a2n+3=-(a2n-1+a2n+1),即cn+1=-cn(n∈N*).又c1=a1+a3=-1,故cn≠0,因此cn+1cn=-1.所以{cn}是等比數(shù)列. (3)證明:由(2)可得a2k-1+a2k+1=(-1)k,于是,對任意k∈N*且k≥2,有a1+a3=-1, -(a3+a5)=-1, a5+a7=-1, (-1)k(a2k-3+a2k-1)=-1. 將以上各式相加,得a1+(-1)ka2k-1=-(k-1),即a2k-1= (-1)k+1(k+1),此式當k=1時也成立.由④式得a2k=(-1)k+1(k+3). 從而S2k=(a2+a4)+(a6+a8)+…+(a4k-2+a4k)=-k,S2k-1=S2k-a4k=k+3, 所以,對任意n∈N*,n≥2, ∑k=14nSkak=∑m=1nS4m-3a4m-3+S4m-2a4m-2+S4m-1a4m-1+S4ma4m =∑m=1n2m+22m-2m-12m+2-2m+32m+1+2m2m+3 =∑m=1n22m(2m+1)+3(2m+2)(2m-3) =223+∑m=2n52m(2m+1)+3(2n+2)(2n+3) <13+∑m=2n5(2m-1)(2m+1)+3(2n+2)(2n+3) =13+5213-15+15-17+…+12n-1-12n+1 +3(2n+2)(2n+3)=13+56-5212n+1+3(2n+2)(2n+3)<76. 對于n=1,不等式顯然成立. 思路分析　本題主要考查等比數(shù)列的定義、數(shù)列求和的基礎知識和基本計算. (1)由已知條件bn=3+(-1)n2,bnan+an+1+bn+1an+2=0,a1=2,a2=4,依次代入n=1,2,3,求出a3,a4,a5的值. (2)由bn=1,n為奇數(shù),2,n為偶數(shù)和bnan+an+1+bn+1an+2=0得出a2n-1,a2n,a2n+1,a2n+2,a2n+3間的關系式,此步的目的是與cn=a2n-1+a2n+1形式統(tǒng)一,從而導出cn+1,cn的關系式,進而證明{cn}是等比數(shù)列. (3)由(2)問有a2k-1+a2k+1=(-1)k,通過累加得a2k-1=(-1)k+1(k+1),則有a2k=(-1)k+1(k+3).通過a2k,a2k-1的通項求出S2k-1,S2k的通項,代入到∑k=14nSkak,通過放縮推導證明. B組　統(tǒng)一命題、省(區(qū)、市)卷題組 1.(2018課標Ⅰ,14,5分)記Sn為數(shù)列{an}的前n項和.若Sn=2an+1,則S6=　　　　. 答案　-63 2.(2015課標Ⅱ,16,5分)設Sn是數(shù)列{an}的前n項和,且a1=-1,an+1=SnSn+1,則Sn=　　　　. 答案　-1n 3.(2016浙江,13,6分)設數(shù)列{an}的前n項和為Sn.若S2=4,an+1=2Sn+1,n∈N*,則a1=　　　　,S5=　　　　. 答案　1;121 C組　教師專用題組 1.(2013課標Ⅰ,14,5分)若數(shù)列{an}的前n項和Sn=23an+13,則{an}的通項公式是an=　　　　. 答案　(-2)n-1 2.(2013安徽,14,5分)如圖,互不相同的點A1,A2,…,An,…和B1,B2,…,Bn,…分別在角O的兩條邊上,所有AnBn相互平行,且所有梯形AnBnBn+1An+1的面積均相等.設OAn=an.若a1=1,a2=2,則數(shù)列{an}的通項公式是　　　　　　. 答案　an=3n-2 3.(2016課標Ⅲ,17,12分)已知各項都為正數(shù)的數(shù)列{an}滿足a1=1,an2-(2an+1-1)an-2an+1=0. (1)求a2,a3; (2)求{an}的通項公式. 解析　(1)由題意得a2=12,a3=14.(5分) (2)由an2-(2an+1-1)an-2an+1=0得2an+1(an+1)=an(an+1). 因為{an}的各項都為正數(shù),所以an+1an=12. 故{an}是首項為1,公比為12的等比數(shù)列,因此an=12n-1.(12分) 評析本題主要考查了數(shù)列的遞推公式及等比數(shù)列的定義,屬基礎題. 4.(2014大綱全國,17,10分)數(shù)列{an}滿足a1=1,a2=2,an+2=2an+1-an+2. (1)設bn=an+1-an,證明{bn}是等差數(shù)列; (2)求{an}的通項公式. 解析　(1)證明:由an+2=2an+1-an+2得, an+2-an+1=an+1-an+2,即bn+1=bn+2. 又b1=a2-a1=1. 所以{bn}是首項為1,公差為2的等差數(shù)列. (2)由(1)得bn=1+2(n-1),即an+1-an=2n-1. 于是∑k=1n(ak+1-ak)=∑k=1n(2k-1), 所以an+1-a1=n2,即an+1=n2+a1. 又a1=1,所以{an}的通項公式為an=n2-2n+2. 【三年模擬】 一、選擇題(每小題5分,共20分) 1.(2018天津南開基礎訓練,5)在數(shù)列{an}中,a1=3,an+an-1=4(n≥2),則a2018=(　　) A.3　　　　B.1　　　　C.-3　　　　D.4 答案　B　 2.(2017天津一中3月月考,6)數(shù)列{an}滿足a1=1,且對任意的n∈N*都有an+1=a1+an+n,則1a1+1a2+…+1a2016=(　　) A.20152016　　　　B.20162017　　　　C.40322017　　　　D.40342017 答案　C　 3.(2017天津河東二模,7)若數(shù)列{an},{bn}的通項公式分別為an=(-1)n+2016a,bn=2+(-1)n+2017n,且對任意n∈N*,an0,其前n項和Sn滿足Sn2-(n2+2n-1)Sn-(n2+2n)=0. (1)求{an}的通項公式; (2)若bn=an-52n,求b2+b4+…+b2n. 解析　(1)由Sn2-(n2+2n-1)Sn-(n2+2n)=0, 得[Sn-(n2+2n)](Sn+1)=0, 由an>0,可知Sn>0,故Sn=n2+2n. 當n≥2時,an=Sn-Sn-1=(n2+2n)-[(n-1)2+2(n-1)]=2n+1; 當n=1時,a1=S1=3,符合上式,則數(shù)列{an}的通項公式為an=2n+1(n∈N*). (2)依題意,得bn=2n-42n=n-22n-1, 則b2n=2n-222n-1=(n-1)14n-1,n∈N*, 設Tn=b2+b4+…+b2n, 故Tn=0+14+242+343+…+n-14n-1,① 而4Tn=1+24+342+…+n-14n-2.② ②-①得3Tn=1+14+142+…+14n-2-n-14n-1=1-14n-11-14-n-14n-1 =134-3n+14n-1,故Tn=194-3n+14n-1. 思路分析　本題主要考查數(shù)列的通項公式和前n項和的求法,解題時要認真審題,注意錯位相減法的合理運用.(1)由Sn2-(n2+2n-1)Sn-(n2+2n)=0,得Sn=n2+2n,再由an=Sn-Sn-1,能求出數(shù)列{an}的通項公式;(2)由(1)知bn=2n-42n=n-22n-1,利用錯位相減法求出Tn. 13.(2018天津河北一模,18)已知數(shù)列{an}的前n項和為Sn,且an=2-2Sn(n∈N*),數(shù)列{bn}是等差數(shù)列,且b5=14,b7=20. (1)求數(shù)列{an}和{bn}的通項公式; (2)若cn=anbn,n∈N*,求數(shù)列{cn}的前n項和Tn. 解析　(1)∵an=2-2Sn(n∈N*), ∴an-1=2-2Sn-1(n≥2),∴an-an-1=-2an,即an=13an-1,當n=1時,a1=2-2S1,解得a1=23, ∴數(shù)列{an}是以23為首項,13為公比的等比數(shù)列,∴an=213n.設數(shù)列{bn}的公差為d,則b1+4d=14,b1+6d=20, 解得b1=2,d=3,∴bn=3n-1. (2)∵cn=anbn=2(3n-1)13n, ∴Tn=2213+5132+8133+…+(3n-1)13n, ∴13Tn=22132+5133+8134+…+(3n-1)13n+1, 兩式相減可得,23Tn=223+3132+133+134+…+13n-(3n-1)13n+1 =223+3191-13n-11-13-(3n-1)13n+1, 化簡可得Tn=72-6n+723n.