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12＋4分項(xiàng)練11 直線與圓
1．(2018襄陽(yáng)調(diào)研)已知點(diǎn)P(1,2)和圓C：x2＋y2＋kx＋2y＋k2＝0，過(guò)點(diǎn)P作圓C的切線有兩條，則k的取值范圍是( )
A．R B.
C. D.
答案 C
解析 圓C：2＋2＝1－k2，
因?yàn)檫^(guò)P 有兩條切線，
所以P在圓外，從而
解得－
0)，現(xiàn)給出下列四個(gè)命題：
p1：?k∈R，l與C相交；
p2：?k0∈R，l與C相切；
p3：?r>0，l與C相交；
p4：?r0>0，l與C相切．
其中真命題為( )
A．p1，p3 B．p1，p4 C．p2，p3 D．p2，p4
答案 A
解析 因?yàn)閳AC是以(1,0)為圓心，以r為半徑的圓，
而直線l是過(guò)點(diǎn)(1,0)，且斜率是k的直線，
所以無(wú)論k，r取何值，都有直線過(guò)圓心，
所以有?k∈R，?r>0，都有l(wèi)與 C相交，所以真命題有p1，p3.
4．(2018西安市長(zhǎng)安區(qū)聯(lián)考)已知直線x＋y－k＝0(k>0)與圓x2＋y2＝4交于不同的兩點(diǎn)A，B，O是坐標(biāo)原點(diǎn)，且有≥，那么k的取值范圍是( )
A. B.
C. D.
答案 C
解析 設(shè)AB的中點(diǎn)為D，則OD⊥AB，
因?yàn)閨＋|≥||，
所以|2|≥||，
所以，
因?yàn)?＋2＝4，
所以2≥1，
因?yàn)橹本€x＋y－k＝0(k>0)與圓x2＋y2＝4交于不同的兩點(diǎn)，
所以2<4，所以1≤2<4，
即1≤2<4，且k>0，
解得≤k<2.
5．(2018湖南師大附中月考)與圓x2＋(y－2)2＝2相切，且在兩坐標(biāo)軸上截距相等的直線共有( )
A．2條 B．3條
C．4條 D．6條
答案 B
解析 直線過(guò)原點(diǎn)時(shí)，設(shè)方程為y＝kx，利用點(diǎn)到直線的距離等于半徑可求得k＝1，即直線方程為y＝x；直線不過(guò)原點(diǎn)時(shí)，設(shè)其方程為＋＝1(a≠0)，同理可求得a＝4，直線方程為x＋y＝4，所以符合題意的直線共3條，故選B.
6．(2018湖北省荊、荊、襄、宜四地七校聯(lián)考)若圓O1：x2＋y2＝5與圓O2：2＋y2＝20相交于A，B兩點(diǎn)，且兩圓在點(diǎn)A處的切線互相垂直，則線段AB的長(zhǎng)度是( )
A．3 B．4 C．2 D．8
答案 B
解析 由題意可知，O1(0,0)，O2(－m,0)，
根據(jù)圓心距大于半徑之差而小于半徑之和，
可得<|m|<3.
再根據(jù)題意可得O1A⊥AO2，
∴m2＝5＋20＝25，∴m＝5，
∴利用5＝2＝10，
解得|AB|＝4.
7．(2018河北省衡水中學(xué)模擬)若平面內(nèi)兩定點(diǎn)A，B間的距離為2，動(dòng)點(diǎn)P與A，B的距離之比為，當(dāng)P，A，B不共線時(shí)，△PAB面積的最大值是( )
A．2 B. C. D.
答案 A
解析 以線段AB的中點(diǎn)O為坐標(biāo)原點(diǎn)，AB所在直線為x軸，線段AB的垂直平分線為y軸，建立如圖所示的坐標(biāo)系，
則A(1,0)，B，
設(shè)P(x，y)，
則＝，化簡(jiǎn)得2＋y2＝8，
當(dāng)點(diǎn)P到AB(x軸)距離最大時(shí)，
△PAB的面積取得最大值，由圓的性質(zhì)可得，
△PAB面積的最大值為22＝2.
8．已知點(diǎn)A(2,3)，B(－3，－2)，若直線kx－y＋1－k＝0與線段AB相交，則k的取值范圍是( )
A. B.∪[2，＋∞)
C．(－∞，1]∪[2，＋∞) D．[1,2]
答案 B
解析 直線kx－y＋1－k＝0恒過(guò)點(diǎn)P(1,1)，
kPA＝＝2，kPB＝＝，若直線kx－y＋1－k＝0與線段AB相交，結(jié)合圖象(圖略)得k≤或k≥2，故選B.
9．已知點(diǎn)Q，P是圓C：(x－a)2＋2＝4上任意一點(diǎn)，若線段PQ的中點(diǎn)M的軌跡方程為x2＋2＝1，則m的值為( )
A．1 B．2 C．3 D．4
答案 D
解析 設(shè)P(x，y)，PQ的中點(diǎn)為M，
則由中點(diǎn)坐標(biāo)公式得
因?yàn)辄c(diǎn)M在圓x2＋2＝1上，
所以2＋2＝1，
即(x－1)2＋2＝4.
將此方程與方程(x－a)2＋2＝4
比較可得
解得m＝4.
10．(2018四川省綿陽(yáng)市南山中學(xué)模擬)若圓x2＋y2＋4x－4y－10＝0上至少有三個(gè)不同的點(diǎn)到直線l：ax＋by＝0的距離為2，則直線l的斜率的取值范圍是( )
A．[2－，2＋] B．[－2－，－2]
C．[－2－，2＋] D．[－2－，2－]
答案 B
解析 圓x2＋y2＋4x－4y－10＝0可化為(x＋2)2＋2＝18，則圓心為(－2,2)，半徑為3，
則由圓x2＋y2＋4x－4y－10＝0上至少有三個(gè)不同的點(diǎn)到直線l：ax＋by＝0的距離為2可得，
圓心到直線l：ax＋by＝0的距離d≤3－2＝，
即≤，
則a2＋b2－4ab≤0，若b＝0，則a＝0，故不成立，
故b≠0，則上式可化為
1＋2－4≤0.
由直線l的斜率k＝－，
可知上式可化為k2＋4k＋1≤0，
解得－2－≤k≤－2＋.
11．(2018甘肅省西北師范大學(xué)附屬中學(xué)診斷)若直線l：ax＋by＋1＝0始終平分圓M：x2＋y2＋4x＋2y＋1＝0的周長(zhǎng)，則(a－2)2＋(b－2)2的最小值為( )
A. B．5 C．2 D．10
答案 B
解析 由直線ax＋by＋1＝0始終平分圓M的周長(zhǎng)，
可知直線必過(guò)圓M的圓心，
由圓的方程可得圓M的圓心坐標(biāo)為(－2，－1)，
代入直線方程ax＋by＋1＝0可得2a＋b－1＝0，
又由(a－2)2＋(b－2)2表示點(diǎn)(2,2)與直線2a＋b－1＝0上的任一點(diǎn)的距離的平方，
由點(diǎn)到直線的距離公式得d＝＝，
所以(a－2)2＋(b－2)2的最小值為d2＝2＝5.
12．(2017全國(guó)Ⅲ)在矩形ABCD中，AB＝1，AD＝2，動(dòng)點(diǎn)P在以點(diǎn)C為圓心且與BD相切的圓上．若＝λ＋μ，則λ＋μ的最大值為( )
A．3 B．2 C. D．2
答案 A
解析 以A為坐標(biāo)原點(diǎn)，分別以AD，AB所在直線為x軸，y軸，建立如圖所示的直角坐標(biāo)系，
則C點(diǎn)坐標(biāo)為(2,1)．
設(shè)BD與圓C切于點(diǎn)E，連接CE，則CE⊥BD.
∵CD＝1，BC＝2，
∴BD＝＝，
EC＝＝＝，
即圓C的半徑為，
∴P點(diǎn)的軌跡方程為(x－2)2＋(y－1)2＝.
設(shè)P(x0，y0)，則(θ為參數(shù))，
而＝(x0，y0)，＝(0,1)，＝(2,0)．
∵＝λ＋μ＝λ(0,1)＋μ(2,0)＝(2μ，λ)，
∴μ＝x0＝1＋cos θ，λ＝y(tǒng)0＝1＋sin θ.
兩式相加，得
λ＋μ＝1＋sin θ＋1＋cos θ＝2＋sin(θ＋φ)≤3，
當(dāng)且僅當(dāng)θ＝＋2kπ－φ，k∈Z時(shí)，λ＋μ取得最大值3.
故選A.
13．設(shè)直線l1：(a＋1)x＋3y＋2－a＝0，直線l2：2x＋(a＋2)y＋1＝0.若l1⊥l2，則實(shí)數(shù)a的值為_(kāi)_______，若l1∥l2，則實(shí)數(shù)a的值為_(kāi)_______．
答案 －?。?
解析 若l1⊥l2，則2(a＋1)＋3＝0，
整理可得5a＋8＝0，
求解關(guān)于實(shí)數(shù)a的方程可得a＝－.
若l1∥l2，則＝≠，
據(jù)此可得a＝－4.
14．在平面直角坐標(biāo)系xOy中，點(diǎn)P是直線3x＋4y＋3＝0上的動(dòng)點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)P作圓C：x2＋y2－2x－2y＋1＝0的兩條切線，切點(diǎn)分別是A，B，則|AB|的取值范圍為_(kāi)_________．
答案 [，2)
解析 由題意知，圓心坐標(biāo)為(1,1)，半徑為1，要使AB的長(zhǎng)度最小，則∠ACB最小，即∠PCB最小，即PC最小，由點(diǎn)到直線的距離公式可得點(diǎn)C到直線3x＋4y＋3＝0的距離d＝＝2，則∠PCB＝60，∠ACB＝120，即|AB|＝，當(dāng)P在直線3x＋4y＋3＝0上無(wú)限遠(yuǎn)時(shí)，∠ACB趨近180，此時(shí)|AB|趨近直徑2.
故|AB|的取值范圍為[，2)．
15．在平面直角坐標(biāo)系xOy中，圓M：x2＋y2－6x－4y＋8＝0與x軸的兩個(gè)交點(diǎn)分別為A，B，其中A在B的右側(cè)，以AB為直徑的圓記為圓N，過(guò)點(diǎn)A作直線l與圓M，圓N分別交于C，D兩點(diǎn)．若D為線段AC的中點(diǎn)，則直線l的方程為_(kāi)_______．
答案 x＋2y－4＝0
解析 由題意得圓M的方程為(x－3)2＋(y－2)2＝5，
令y＝0，得x＝2或x＝4，所以A(4,0)，B(2,0)．
則圓N的方程為(x－3)2＋y2＝1，
由題意得直線l的斜率存在，所以設(shè)直線l：y＝k(x－4)．
聯(lián)立直線l的方程和圓M的方程消去y，
得(1＋k2)x2－(8k2＋4k＋6)x＋16k2＋16k＋8＝0，
所以4＋xC＝，①
聯(lián)立
得(1＋k2)x2－(8k2＋6)x＋16k2＋8＝0，
所以4＋xD＝，②
依題意得xC＋4＝2xD，③
解①②③得k＝－.
所以直線l的方程為x＋2y－4＝0.
16．已知圓C1：(x－2cos θ)2＋(y－2sin θ)2＝1與圓C2：x2＋y2＝1，下列說(shuō)法中：
①對(duì)于任意的θ，圓C1與圓C2始終外切；
②對(duì)于任意的θ，圓C1與圓C2始終有四條公切線；
③當(dāng)θ＝時(shí)，圓C1被直線l：x－y－1＝0截得的弦長(zhǎng)為；
④若點(diǎn)P，Q分別為圓C1與圓C2上的動(dòng)點(diǎn)，則|PQ|的最大值為4.
正確命題的序號(hào)為_(kāi)_______．
答案?、佗邰?
解析 對(duì)于①，我們知道兩個(gè)圓外切等價(jià)于兩個(gè)圓的圓心距剛好等于兩個(gè)圓的半徑之和，
由題意，得圓C1的半徑為1，圓心坐標(biāo)為(2cos θ，2sin θ)，圓C2的半徑為1，圓心坐標(biāo)為(0,0)，
所以?xún)蓚€(gè)圓的圓心距為＝＝2.
又因?yàn)閮蓤A的半徑之和為1＋1＝2，
所以對(duì)于任意θ，圓C1和圓C2始終外切，所以①正確；
對(duì)于②，由①得，兩圓外切，所以?xún)蓤A只有三條公切線，所以②錯(cuò)誤；
對(duì)于③，此時(shí)圓C1的方程為：(x－)2＋(y－1)2＝1，
故圓C1的圓心坐標(biāo)為(，1)，
所以圓心到直線l的距離為＝.
又因?yàn)閳AC1的半徑為1，
所以其所截的弦長(zhǎng)為2 ＝，所以③正確；
對(duì)于④，由①得，兩圓外切，所以?xún)蓤A上的點(diǎn)的最大距離就是兩圓的直徑之和，
因?yàn)镃1的直徑為2，C2的直徑也為2，
故|PQ|的最大值為2＋2＝4.所以④正確．
故正確命題的序號(hào)為①③④.
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