高中數(shù)學(xué) 第一章 導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用 1.5 定積分的概念 1.5.1 曲邊梯形的面積 1.5.2 汽車行駛的路程 1.5.3 定積分的概念學(xué)案 新人教A版選修22

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1、 1．5　定積分的概念 1．5．1　曲邊梯形的面積 1．5．2　汽車行駛的路程 1．5．3　定積分的概念 學(xué)習(xí)目標(biāo)：、1.了解定積分的概念(難點).2.理解定積分的幾何意義．(重點、易錯點).3.通過求曲邊梯形面積的過程和解決有關(guān)汽車行駛路程問題的過程，了解“以直代曲”“以不變代變”的思想(難點).4.能用定積分的定義求簡單的定積分(重點)． [自 主 預(yù) 習(xí)探 新 知] 1．曲邊梯形的面積和汽車行駛的路程 (1)曲邊梯形的面積 ①曲線梯形：由直線x＝a，x＝b(a≠b)，y＝0和曲線y＝f(x)所圍成的圖形稱為曲邊梯形(如圖151①所示)． ②求曲邊梯形面積的方法 把區(qū)

2、間[a，b]分成許多小區(qū)間，進(jìn)而把曲邊梯形拆分為一些小曲邊梯形，對每個小曲邊梯形“以直代曲”，即用矩形的面積近似代替小曲邊梯形的面積，得到每個小曲邊梯形面積的近似值，對這些近似值求和，就得到曲邊梯形面積的近似值(如圖151②所示)． 圖①　　 　　　圖② 圖151 ③求曲邊梯形面積的步驟：分割，近似代替，求和，取極限． (2)求變速直線運動的(位移)路程 如果物體做變速直線運動，速度函數(shù)v＝v(t)，那么也可以采用分割，近似代替，求和，取極限的方法，求出它在a≤t≤b內(nèi)所作的位移s. 2．定積分的概念 如果函數(shù)f(x)在區(qū)間[a，b]上連續(xù)，用分點a＝x0＜x1＜…＜xi－

3、1＜xi＜…＜xn＝b將區(qū)間[a，b]等分成n個小區(qū)間，在每個小區(qū)間[xi－1，xi]上任取一點ξi(i＝1,2，…，n)作和式f(ξi)Δx＝ f(ξi)，當(dāng)n→∞時，上述和式無限接近某個常數(shù)，這個常數(shù)叫做函數(shù)f(x)在區(qū)間[a，b]上的定積分，記作f(x)dx，即f(x)dx＝.其中a與b分別叫做積分下限與積分上限，區(qū)間[a，b]叫做積分區(qū)間，函數(shù)f(x)叫做被積函數(shù)，x叫做積分變量，f(x)dx叫做被積式． 思考：f(x)dx是一個常數(shù)還是一個變量？f(x)dx與積分變量有關(guān)系嗎？ [提示]由定義可得定積分f(x)dx是一個常數(shù)，它的值僅取決于被積函數(shù)與積分上、下限，而與積分變量沒有

4、關(guān)系，即f(x)dx＝f(t)dt＝f(u)du. 3．定積分的幾何意義與性質(zhì) (1)定積分的幾何意義 由直線x＝a，x＝b(a＜b)，x軸及一條曲線y＝f(x)所圍成的曲邊梯形的面積設(shè)為S，則有： ①　　　　　②　　　　　?、? 圖152 ①在區(qū)間[a，b]上，若f(x)≥0，則S＝f(x)dx，如圖152①所示，即f(x)dx＝S. ②在區(qū)間[a，b]上，若f(x)≤0，則S＝－f(x)dx，如圖152②所示，即f(x)dx＝－S. ③若在區(qū)間[a，c]上，f(x)≥0，在區(qū)間[c，b]上，f(x)≤0，則S＝f(x)dx－f(x)dx，如圖152③所示，即(SA，SB表

5、示所在區(qū)域的面積)． (2)定積分的性質(zhì) ①kf(x)dx＝kf(x)dx(k為常數(shù))； ②[f1(x)f2(x)]dx＝f1(x)dxf2(x)dx； ③f(x)dx＝f(x)dx＋f(x)dx(其中a＜c＜b)． [基礎(chǔ)自測] 1．思考辨析 (1)f(x)dx＝f(t)dt.(　　) (2)f(x)dx的值一定是一個正數(shù)．(　　) (3)2xdx<2xdx(　　) [答案]　(1)√　(2)　(3)√ 2．在“近似代替”中，函數(shù)f(x)在區(qū)間[xi，xi＋1]上的近似值(　　) A．只能是左端點的函數(shù)值f(xi) B．只能是右端點的函數(shù)值f(xi＋1) C．可以

6、是該區(qū)間內(nèi)任一點的函數(shù)值f(ξi)(ξi∈[xi，xi＋1]) D．以上答案均正確 C　[作近似計算時，Δx＝xi＋1－xi很小，誤差可忽略，所以f(x)可以是[xi，xi＋1]上任一值f(ξi)．] 3．圖153中陰影部分的面積用定積分表示為(　　) 圖153 A.2xdx B.(2x－1)dx C.(2x＋1)dx D.(1－2x)dx B　[根據(jù)定積分的幾何意義，陰影部分的面積為2xdx－1dx＝(2x－1)dx.] 4．已知x2dx＝，x2dx＝，1dx＝2，則(x2＋1)dx＝________. 【導(dǎo)學(xué)號：31062080】 [解析]　∵x2dx＝，x

7、2dx＝，1dx＝2， ∴(x2＋1)dx＝x2dx＋x2dx＋1dx ＝＋＋2 ＝＋2＝. [答案]　 [合 作 探 究攻 重 難] 求曲邊梯形的面積 　求由直線x＝0，x＝1，y＝0和曲線y＝x(x－1)圍成的圖形面積． 圖154 [解]　(1)分割 將曲邊梯形分割成n個小曲邊梯形，用分點，，…，把區(qū)間[0,1]等分成n個小區(qū)間： ，，…，，…，， 簡寫作(i＝1,2，…，n)． 每個小區(qū)間的長度為Δx＝－＝.過各分點作x軸的垂線，把曲邊梯形分成n個小曲邊梯形，它們的面積分別記作：ΔS1，ΔS2，…，ΔSi，…，ΔSn. (2)近似代替 用小矩形面積

8、近似代替小曲邊梯形面積，在小區(qū)間上任取一點ξi(i＝1,2，…，n)，為了計算方便，取ξi為小區(qū)間的左端點，用f(ξi)的相反數(shù)－f(ξi)＝－為其一邊長，以小區(qū)間長度Δx＝為另一邊長的小矩形對應(yīng)的面積近似代替第i個小曲邊梯形面積，可以近似地表示為 ΔSi≈－f(ξi)Δx＝－(i＝1,2，…，n)． (3)求和 因為每一個小矩形的面積都可以作為相應(yīng)小曲邊梯形面積的近似值，所以n個小矩形面積的和就是曲邊梯形面積S的近似值，即 S＝Si≈－(ξi)Δx ＝ ＝－[02＋12＋22＋…＋(n－1)2]＋[0＋1＋2＋…＋(n－1)]＝－n(n－1)(2n－1)＋ ＝－＝－. (4)

9、取極限 當(dāng)分割無限變細(xì)，即Δx趨向于0時，n趨向于∞， 此時－趨向于S.從而有 S＝ ＝. 所以由直線x＝0，x＝1，y＝0和曲線y＝x(x－1)圍成的圖形面積為. [規(guī)律方法]　求曲邊梯形的面積　 (1)思想：以直代曲． (2)步驟：分割→近似代替→求和→取極限． (3)關(guān)鍵：近似代替． (4)結(jié)果：分割越細(xì)，面積越精確． (5)求和時可用到一些常見的求和公式，如 1＋2＋3＋…＋n＝， 12＋22＋32＋…＋n2＝， 13＋23＋33＋…＋n3＝2. [跟蹤訓(xùn)練] 1．求由拋物線y＝x2與直線y＝4所圍成的曲邊梯形的面積. 【導(dǎo)學(xué)號：31062081】

10、 [解]　∵y＝x2為偶函數(shù)，圖象關(guān)于y軸對稱，∴所求曲邊梯形的面積應(yīng)為拋物線y＝x2(x≥0)與直線x＝0，y＝4所圍圖形面積S陰影的2倍，下面求S陰影．由 得交點為(2,4)，如圖所示，先求由直線x＝0，x＝2，y＝0和曲線y＝x2圍成的曲邊梯形的面積． (1)分割 將區(qū)間[0,2]n等分， 則Δx＝， 取ξi＝. (2)近似代替求和 Sn＝ 2 ＝[12＋22＋32＋…＋(n－1)2] ＝. (3)取極限 S＝Sn＝ ＝. ∴所求平面圖形的面積為 S陰影＝24－＝. ∴2S陰影＝，即拋物線y＝x2與直線y＝4所圍成的圖形面積為. 求變速直線運動的路

11、程 　已知汽車做變速直線運動，在時刻t的速度為v(t)＝－t2＋2t(單位：km/h)，求它在1≤t≤2這段時間行駛的路程是多少？ [解]　將時間區(qū)間[1,2]等分成n個小區(qū)間，則第i個小區(qū)間為， 在第i個時間段的路程近似為Δsi＝vΔt＝，i＝1,2，…，n. 所以sn＝Δsi＝ ＝－[(n＋1)2＋(n＋2)2＋(n＋3)2＋…＋(2n)2]＋[(n＋1)＋(n＋2)＋…＋2n] ＝－＋ ＝－＋＋3＋， s＝sn＝ ＝，所以這段時間行駛的路程為 km. [規(guī)律方法]　求變速直線運動路程的問題，方法和步驟類似于求曲邊梯形的面積，用“以直代曲”“逼近”的思想求解.求解

12、過程為：分割、近似代替、求和、取極限.應(yīng)特別注意變速直線運動的時間區(qū)間. [跟蹤訓(xùn)練] 2．一物體自200 m高空自由落下，求它在開始下落后的第3秒至第6秒之間的距離．(g＝9.8 m/s2) 【導(dǎo)學(xué)號：31062082】 [解]　自由落體的下落速度為v(t)＝gt. 將[3,6]等分成n個小區(qū)間，每個區(qū)間的長度為. 在第i個小區(qū)間(i＝1,2，…，n)上，以左端點函數(shù)值作為該區(qū)間的速度． 所以sn＝v＝ ＝＝9g＋＝9g＋g. 所以s＝sn＝ ＝9g＋g＝9.8＝132.3(m)． 故該物體在下落后第3 s至第6 s之間的距離是132.3 m. 利用定積分的性質(zhì)

13、及 幾何意義求定積分 [探究問題] 1．在定積分的幾何意義中f(x)≥0，如果f(x)＜0，f(x)dx表示什么？ 提示：如果在區(qū)間[a，b]上，函數(shù)f(x)＜0，那么曲邊梯形位于x軸的下方(如圖所示)， 由于Δxi＞0，f(ξi)＜0， 故f(ξi)Δxi＜0，從而定積分f(x)dx＜0，這時它等于圖中所示曲邊梯形面積的相反數(shù)， 即f(x)dx＝－S或S＝－f(x)dx. 2．dx的幾何意義是什么？ 提示：是由直線x＝0，x＝2，y＝0和曲線y＝所圍成的曲邊梯形面積，即以原點為圓心，2為半徑的圓的面積即dx＝π. 3．若f(x)為[－a，a]上的偶函數(shù)，則f(x)dx

14、與f(x)dx存在什么關(guān)系？若f(x)為[－a，a]上的奇函數(shù)，則f(x)dx等于多少？ 提示：若f(x)為偶函數(shù)，則f(x)dx＝2f(x)dx；若f(x)為奇函數(shù)，則f(x)dx＝0. 　說明下列定積分所表示的意義，并根據(jù)其意義求出定積分的值． (1)2dx； (2)xdx； (3) dx. [解]　(1)2dx表示的是圖①中陰影部分所示的長方形的面積，由于這個長方形的面積為2，所以2dx＝2. ①　　　　　　②　　　　　　?、? (2)xdx表示的是圖②中陰影部分所示的梯形的面積，由于這個梯形的面積為，所以xdx＝. (3) dx表示的是圖③中陰影部分所示的半徑為1

15、的半圓的面積，其值為，所以dx＝. 母題探究：1.(變條件)將例3(3)改為利用定積分的幾何意義求dx. [解]　dx表示的是圖④中陰影部分所示半徑為1的圓的的面積，其值為， ∴dx＝. 2．(變條件)將例3(3)改為利用定積分的幾何意義求dx. [解]　dx表示的是圖⑤中陰影部分所示半徑為1的圓的面積，其值為， ∴dx＝. 3．(變條件)將例3(3)改為利用定積分的幾何意義求 (x＋)dx. [解]　由定積分的性質(zhì)得， (x＋)dx＝ xdx＋dx. ∵y＝x是奇函數(shù)，∴xdx＝0. 由例3(3)知dx＝. ∴ (x＋)dx＝. [當(dāng) 堂 達(dá) 標(biāo)固 雙 基]

16、 1．把區(qū)間[1,3]n等分，所得n個小區(qū)間中每個小區(qū)間的長度為(　　) A.　　　 B. C. D. B　[區(qū)間長度為2，n等分后每個小區(qū)間的長度都是，故選B.] 2．定積分f(x)dx的大小(　　) A．與f(x)和積分區(qū)間[a，b]有關(guān)，與ξi的取法無關(guān) B．與f(x)有關(guān)，與區(qū)間[a，b]以及ξi的取法無關(guān) C．與f(x)以及ξi的取法有關(guān)，與區(qū)間[a，b]無關(guān) D．與f(x)、積分區(qū)間[a，b]和ξi的取法都有關(guān) A　[由定積分的定義可知A正確．] 3．由y＝sin x，x＝0，x＝，y＝0所圍成圖形的面積寫成定積分的形式是________. 【導(dǎo)學(xué)號：310

17、62083】 [解析]　∵0＜x＜， ∴sin x＞0. ∴y＝sin x，x＝0，x＝，y＝0所圍成圖形的面積寫成定積分的形式為 sin xdx. [答案]　 sin xdx 4．已知某物體運動的速度為v＝t，t∈[0,10]，若把區(qū)間10等分，取每個小區(qū)間右端點處的函數(shù)值為近似小矩形的高，則物體運動的路程近似值為__________． [解析]　∵把區(qū)間[0,10]10等分后，每個小區(qū)間右端點處的函數(shù)值為n(n＝1,2，…，10)，每個小區(qū)間的長度為1. ∴物體運動的路程近似值s＝1(1＋2＋…＋10)＝55. [答案]　55 5．計算： (2－5sin x)dx. 【導(dǎo)學(xué)號：31062084】 [解]　由定積分的幾何意義得， 2dx＝2＝2π. 由定積分的幾何意義得，sin xdx＝0. 所以 (2－5sin x)dx ＝2dx－5sin xdx＝2π. 我國經(jīng)濟(jì)發(fā)展進(jìn)入新常態(tài)，需要轉(zhuǎn)變經(jīng)濟(jì)發(fā)展方式，改變粗放式增長模式，不斷優(yōu)化經(jīng)濟(jì)結(jié)構(gòu)，實現(xiàn)經(jīng)濟(jì)健康可持續(xù)發(fā)展進(jìn)區(qū)域協(xié)調(diào)發(fā)展，推進(jìn)新型城鎮(zhèn)化，推動城鄉(xiāng)發(fā)展一體化因：我國經(jīng)濟(jì)發(fā)展還面臨區(qū)域發(fā)展不平衡、城鎮(zhèn)化水平不高、城鄉(xiāng)發(fā)展不平衡不協(xié)調(diào)等現(xiàn)實挑戰(zhàn)。