高中數(shù)學(xué) 第二章 函數(shù)概念與基本初等函數(shù)I 2.1 函數(shù)的概念互動課堂學(xué)案 蘇教版必修1

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1、 2．2．1　函數(shù)的單調(diào)性 互動課堂  疏導(dǎo)引導(dǎo) 2.1.1　函數(shù)的概念和圖象 1.函數(shù)的概念 一般地,設(shè)A、B是兩個非空的數(shù)集,如果按某種對應(yīng)法則f,對于集合A中的每一個元素x,在集合B中都有唯一的元素y和它對應(yīng),這樣對應(yīng)叫做從A到B的一個函數(shù),通常記為y=f(x),x∈A.其中所有的輸入值x組成的集合A叫做函數(shù)y=f(x)的定義域. 疑難疏引 (1)構(gòu)成函數(shù)的三要素:定義域,對應(yīng)法則f,值域.其中核心是對應(yīng)法則f,它是聯(lián)系x和y的紐帶,是對應(yīng)得以實現(xiàn)的關(guān)鍵,對應(yīng)法則可以由多種形式給出,可以是解析法,可以是列表法和圖象法,不管是哪種形式,都必須是確定的,且使集合A中

2、的每一個元素在B中都有唯一的元素與之對應(yīng).當(dāng)一個函數(shù)的定義域和對應(yīng)法則確定之后,值域也就唯一的確定了,所以值域是定義域這個“原材料”通過對應(yīng)法則“加工”而成的“產(chǎn)品”.因此,要確定一個函數(shù),只要定義域與對應(yīng)法則確定即可.在函數(shù)符號y=f(x)中,f是表示函數(shù)的對應(yīng)關(guān)系,等式y(tǒng)=f(x)表明,對于定義域中的任意x,在對應(yīng)關(guān)系f的作用下,可得到y(tǒng),因此,f是使“對應(yīng)”得以實現(xiàn)的方法和途徑.函數(shù)符號y=f(x)是“y是x的函數(shù)”這句話的數(shù)學(xué)表示,它不表示“y等于f與x的乘積”.f(x)可以是解析式,也可以是圖象或數(shù)表.符號f(a)與f(x)既有區(qū)別又有聯(lián)系.f(a)表示當(dāng)自變量x=a時函數(shù)f(x)的

3、值,是一個常量;而f(x)是自變量x的函數(shù),在一般情況下,它是一個變量.f(a)是f(x)的一個特殊值.值域是全體函數(shù)值所組成的集合.在多數(shù)情況下,一旦定義域和對應(yīng)關(guān)系確定,函數(shù)的值域也就隨之確定. (2)關(guān)于函數(shù)的兩個定義實質(zhì)上是一致的.初中定義的出發(fā)點是運動變化的觀點,而高中定義卻是從集合、對應(yīng)的觀點出發(fā).初中階段學(xué)習(xí)的函數(shù)的概念的優(yōu)點是:直觀,生動.高中階段學(xué)習(xí)的函數(shù)的概念的優(yōu)點:更具一般性.比如按初中的定義就很難判斷下面的表達(dá)式是不是函數(shù): f(x)= 現(xiàn)在用高中學(xué)的函數(shù)概念來判斷則是沒有問題的,事實上,在判斷兩個函數(shù)是不是同一個函數(shù)時,只要定義域和對應(yīng)法則相同,則必為同一

4、函數(shù),還有一點,如果三者中有一個不同,則必不是同一函數(shù). ●案例1設(shè)對應(yīng)法則f是從集合A到集合B的函數(shù),則下列結(jié)論中正確的是(　　) A.B必是由A中的數(shù)對應(yīng)的輸出值組成的集合 B.A中的每一個數(shù)在B中必有輸出值 C.B中的每一個數(shù)在A中必有輸入值 D.B中的每一個數(shù)在A中只對應(yīng)唯一的輸入值 【探究】本題主要考查的是對函數(shù)定義的理解,注意區(qū)分?jǐn)?shù)學(xué)語言的邏輯次序,是對數(shù)學(xué)基本功的考查.定義中要求有三個關(guān)鍵詞分別是:“非空”是指A、B都是非空的數(shù)集;“每一個”是指B中的每一個數(shù)在A中必有輸入值;“唯一”是指A中每一個元素在B中的輸出值必須唯一.故選C. 【溯源】數(shù)學(xué)選擇

5、題中有很多都是對基本概念辨析的考查,我們在學(xué)習(xí)中應(yīng)該有意識地對一些新概念、定義、定理做一些精讀細(xì)研,這對我們高中數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)也很有好處. 2.函數(shù)的圖象 所謂函數(shù)y=f(x)的圖象,就是將自變量的一個值x0作為橫坐標(biāo),相應(yīng)的函數(shù)值f(x0)作為縱坐標(biāo),就得到坐標(biāo)平面上的一個點(x0,f(x0)).當(dāng)自變量取遍函數(shù)定義域A中的每一個值時,就得到一系列這樣的點.所有這些點組成的集合(點集)為{(x0,f(x0))|x0∈A},即{(x,y)|y=f(x),x∈A},所有這些點組成的圖形就是函數(shù)y=f(x)的圖象. 疑難疏引函數(shù)的圖象是數(shù)形結(jié)合應(yīng)用的典范.函數(shù)圖象是函數(shù)關(guān)系的一種表示方法,它

6、能夠也必須把函數(shù)的三要素全面而直觀地反映出來,它是研究函數(shù)關(guān)系、性質(zhì)的重要工具.函數(shù)圖象是函數(shù)部分運用數(shù)形結(jié)合思想方法的基礎(chǔ). ●案例2畫出下列函數(shù)的圖象. (1)y=(-1)x,x∈{0,1,2,3}; (2)y=x-|1-x|; (3)y=. 【探究】 (1)y=(-1)x,x∈{0,1,2,3},由于定義域的特殊性從而導(dǎo)致函數(shù)圖象只是若干個孤立點. (2)先寫成分段函數(shù)再作圖. y=x-|1-x|=. (3)y=,定義域為x<0且x≠-.  　　【溯源】函數(shù)圖象部分應(yīng)解決好畫圖、識圖、用圖這三個基本問題,即對函數(shù)的圖象有三點要求:

7、(1)會畫各種簡單函數(shù)的圖象. (2)能以函數(shù)的圖象識別相應(yīng)函數(shù)的性質(zhì). (3)能用數(shù)形結(jié)合思想以圖輔助解題. (4)可得到如下結(jié)論:①函數(shù)y=-f(x)的圖象與y=f(x)的圖象關(guān)于x軸對稱;②函數(shù)y=f(-x)的圖象與y=f(x)的圖象關(guān)于y軸對稱;③函數(shù)y=-f(-x)的圖象與y=f(x)的圖象關(guān)于原點(0,0)對稱;④函數(shù)y=f(|x|)在y軸上及其右側(cè)的圖象與函數(shù)y=f(x)的圖象相同,再將y軸右側(cè)的圖象作關(guān)于y軸的對稱圖象可得x<0時的圖象;⑤函數(shù)y=|f(x)|在x軸上及其上方的圖象與函數(shù)y=f(x)的圖象相同,再將x軸下方的圖象作關(guān)于x軸的對稱圖象可得f(x)

8、<0時的圖象;⑥函數(shù)y=f(x+1)的圖象是將y=f(x)的圖象向左平移一個單位得到的;⑦函數(shù)y=f(x)+1的圖象是將y=f(x)的圖象向上平移一個單位得到的. 在函數(shù)圖象平移時,記住一個口訣:“平移變換,左加右減.”左是往左平移,指的是圖象往左平移幾個單位,則解析式的自變量要加幾個單位;右是往右平移,指的是圖象往右平移幾個單位,解析式的自變量要減去幾個單位. ●案例3求下列函數(shù)的定義域. (1)f(x)=; (2)f(x)=; (3)f(x)=. 【探究】 (1)要使函數(shù)f(x)= 有意義,應(yīng)有x-|x|≠0,即x<0. 故所求函數(shù)的定義域為{x|x

9、<0}. (2)要使函數(shù)f(x)= 有意義, 應(yīng)有 即 故所求函數(shù)的定義域為{x∈R|x≠0且x≠-2}. (3)要使函數(shù)f(x)= 有意義, 應(yīng)有即 故所求函數(shù)的定義域為{x|x≤4且x≠1}. 【溯源】(1)式中要求分式的分母不為零;(2)式中要求兩個分母都不為零;(3)式中兩點要求:分母不為零,且二次根式中的被開方數(shù)非負(fù). 定義域、對應(yīng)法則和值域是函數(shù)的三要素. (1)目前求函數(shù)定義域的主要原則是: ①分式的分母不能為零; ②偶次根式的被開方數(shù)非負(fù); ③零次冪的底數(shù)不為零. (2)目前應(yīng)掌握的值域求法有: ①代入法(定義域為

10、有限集); ②配方法(和二次有關(guān)的函數(shù)); ③圖象法(能繪制出圖象的函數(shù)). 2.1.2　函數(shù)的表示方法 疑難疏引 函數(shù)的表示方法有三種:列表法、解析法、圖象法.其中后兩種方法最為常見.這些表示函數(shù)的方法各有優(yōu)缺點. 用解析法表示函數(shù)關(guān)系,優(yōu)點是簡明,便于用數(shù)學(xué)方法進(jìn)行研究. 用列表法表示函數(shù)關(guān)系,優(yōu)點是容易找到對應(yīng)于自變量的某一個值(只要表中有)的函數(shù)值,但缺點是往往不可能把自變量的值都列在表里. 用圖象法表示函數(shù)關(guān)系,優(yōu)點是一方面可以容易地找到自變量某一值所對應(yīng)的函數(shù)值,另一方面可以明顯地看出自變量變化時,函數(shù)值的變化情況,但用圖象法表示函數(shù)關(guān)系只能是局部的、

11、近似的圖形. 根據(jù)函數(shù)所具有的某些性質(zhì)或它所滿足的一些關(guān)系,求出它的解析式,一是要求出對應(yīng)法則,二是要求出函數(shù)的定義域. 求函數(shù)的解析式常用的方法有直接法、代入法、待定系數(shù)法、換元法、配方法、方程或方程組法等.根據(jù)實際問題求函數(shù)表達(dá)式,是應(yīng)用函數(shù)知識解決實際問題的基礎(chǔ),但要注意函數(shù)定義域還應(yīng)由實際意義來確定. 由于函數(shù)關(guān)系的三種表示方法各具特色,優(yōu)點突出,但大都存在著缺點,不盡人意,所以在應(yīng)用中本著物盡其用、揚長避短、優(yōu)勢互補的精神,通常表示函數(shù)關(guān)系是把這三種方法結(jié)合起來運用,先確定函數(shù)的解析式,即用解析法表示函數(shù);再根據(jù)函數(shù)解析式,計算自變量與函數(shù)的各組對應(yīng)值,列表;最后是畫出函

12、數(shù)的圖象. ●案例1已知函數(shù)f(x+1)=x2-1,x∈［-1,3］,求f(x)的表達(dá)式. 【探究】函數(shù)是一類特殊的對應(yīng),已知函數(shù)f(x+1)=x2-1,即知道了x+1對應(yīng)的元素是x2-1,求出x的對應(yīng)元素,即是f(x)的表達(dá)式.求解f(x)的表達(dá)式可用“配湊法”或“換元法”. 【解法一】(配湊法)∵f(x+1)=x2-1=(x+1)2-2(x+1),∴f(x)=x2-2x.又x∈［-1,3］時,(x+1)∈［0,4］,∴f(x)=x2-2x,x∈［0,4］. 【解法二】 (換元法)令x+1=t,則x=t-1,且由x∈［-1,3］知t∈［0,4］,∴由f(x+1)=x2-1,得

13、f(t)=(t-1)2-1=t2-2t,t∈［0,4］.∴f(x)=(x-1)2-1=x2-2x,x∈［0,4］. 【溯源】已知函數(shù)f［g(x)］的表達(dá)式,求f(x)的表達(dá)式,解決此類問題一般有兩種思想方法,一種是用配湊的方法,一種是用換元的方法.“配湊法”即把已知的f［g(x)］配湊成關(guān)于g(x)的表達(dá)式,而后將g(x)全用x取代,化簡得要求的f(x)的表達(dá)式;“換元法”即令已知的f［g(x)］中的g(x)=t,由此解出x,即用t的表達(dá)式表示出x,后代入f［g(x)］,化簡成最簡式. 需要注意的是,無論是用“配湊法”還是用“換元法”,在求出f(x)的表達(dá)式后,都需要指出其定義域,而f

14、(x)的定義域即x的取值范圍應(yīng)和已知條件f［g(x)］中g(shù)(x)的范圍一致,所以說求f(x)的定義域就是求函數(shù)g(x)的值域. ●案例2已知二次函數(shù)f(x)的圖象過點A(1,1)、B(2,0)及點C(6,0),求f(x)的表達(dá)式. 【探究】 二次函數(shù)是我們熟悉的一種函數(shù),其形式有:一般式f(x)=ax2+bx+c(a、b、c∈R且a≠0);兩點式f(x)=a(x-x1)(x-x2)(a∈R且a≠0),其中x1、x2分別是f(x)的圖象與x軸的兩個交點的橫坐標(biāo);頂點式f(x)=a(x-m)2+n(a∈R且a≠0),(m,n)是頂點坐標(biāo).無論哪種形式都有三個參數(shù),所以可用待定系數(shù)法求解f(x

15、),具體解法如下. 【解法一】 (待定系數(shù)法)由題意可設(shè)f(x)=ax2+bx+c(a、b、c∈R且a≠0).∵f(x)的圖象過點A(1,1)、B(2,0)及點C(6,0), ∴解得 ∴f(x)=x2-x+. 【解法二】(待定系數(shù)法)∵f(x)的圖象過點B(2,0)及點C(6,0),∴f(x)的圖象與x軸的兩交點的橫坐標(biāo)分別是2和6.∴可設(shè)f(x)=a(x-2)(x-6),a∈R且a≠0.∵f(x)的圖象過點A(1,1),∴1=a(1-2)(1-6).解得a=.∴f(x)=(x-2)(x-6),即f(x)= x2-x+. 【解法三】(待定系數(shù)法)∵f(x)的圖象過點B(2,

16、0)及點C(6,0), ∴f(x)的圖象關(guān)于直線x=,即x=4對稱.∴可設(shè)f(x)=a(x-4)2+m,其中a、m∈R且a≠0. 又f(x)的圖象過點A(1,1)、B(2,0), ∴∴解得∴f(x)=(x-4)2-,即f(x)=x2-x+. 【溯源】 已知函數(shù)類型求解函數(shù)表達(dá)式時,一般用待定系數(shù)法.如求一次函數(shù)可設(shè)f(x)=kx+b,k、b為待定系數(shù);求反比例函數(shù)可設(shè)f(x)=,k為待定系數(shù)等.本題是求二次函數(shù),由于二次函數(shù)有三種形式,設(shè)成一般式還是兩點式、頂點式要根據(jù)題設(shè)中的條件來確定.一般情況,知道二次函數(shù)圖象過三點時,可選用一般式;知道圖象與x軸交點坐標(biāo)時,可選用兩點式;

17、如知道二次函數(shù)圖象的頂點坐標(biāo)或?qū)ΨQ軸方程時,可選用頂點式.無論選用哪種形式,都需要列方程或方程組求解待定系數(shù). 2.1.3　函數(shù)的簡單性質(zhì) 1.函數(shù)的單調(diào)性 疑難疏引 函數(shù)的單調(diào)性是對區(qū)間而言的,它是“局部”性質(zhì),不同于函數(shù)的奇偶性,函數(shù)的奇偶性是對整個定義域而言的,即是“整體”性質(zhì).對某一函數(shù)y=f(x),它在某區(qū)間上可能有單調(diào)性,也可能沒有單調(diào)性;即使是同一個函數(shù),它在某區(qū)間上可能單調(diào)遞增,而在另外一區(qū)間上可能單調(diào)遞減;對某一函數(shù)y=f(x),它在區(qū)間(a,b)與(c,d)上都是單調(diào)增(減)函數(shù),不能說y=f(x)在(a,b)∪(c,d)上一定是單調(diào)增(減)函數(shù),即函數(shù)的單調(diào)性

18、是針對定義域內(nèi)的某個區(qū)間而言的.例如函數(shù)y=在(-∞,0)上是減函數(shù),在(0,+∞)上也是減函數(shù),但不能說它在整個定義域即(-∞,0)∪(0,+∞)是減函數(shù),因為當(dāng)取x1=-1,x2=1時,對應(yīng)的函數(shù)值為f(x1)=-1,f(x2)=1,顯然有x1<x2,但f(x1)<f(x2),不滿足減函數(shù)的定義. 有些函數(shù)在整個定義域內(nèi)具有單調(diào)性.例如函數(shù)y=x就是這樣.有些函數(shù)在定義域內(nèi)某個區(qū)間上是增函數(shù),而在另一些區(qū)間上是減函數(shù).例如函數(shù)y=x2在(-∞,0)上是減函數(shù),在［０,+∞)上是增函數(shù). 中學(xué)階段我們所討論的函數(shù),只要它們在區(qū)間的端點有定義,那么在考慮單調(diào)區(qū)間時,包括端點

19、、不包括端點都可以. 函數(shù)的單調(diào)性所刻畫的是當(dāng)自變量變化時其對應(yīng)的函數(shù)值的變化趨勢,是函數(shù)在區(qū)間上的整體性質(zhì),函數(shù)圖象能直觀地顯示函數(shù)的這個性質(zhì).在單調(diào)區(qū)間上的增函數(shù),它的圖象是沿x軸正方向逐漸上升的;在單調(diào)區(qū)間上的減函數(shù),它的圖象是沿x軸正方向逐漸下降的. ●案例1觀察下列函數(shù)的圖象,寫出單調(diào)區(qū)間: 【探究】 本題主要檢測單調(diào)性定義的直觀理解,辨析函數(shù)y=f(x)在區(qū)間I上是單調(diào)增(減)函數(shù),則圖象在I上的部分從左到右是上升(下降)的.(1)單調(diào)減區(qū)間為(-∞,1］,單調(diào)增區(qū)間為［1,+∞).(2)單調(diào)減區(qū)間為(-∞,1］,單調(diào)增區(qū)間為［1,+∞). 【溯源】單調(diào)性與單調(diào)

20、區(qū)間. (1)在這個區(qū)間上的x1、x2必須是任意的. (2)增函數(shù)自變量和函數(shù)值的關(guān)系是“大對大,小對小”,可以用“榮辱與共”這個詞形容. (3)說增函數(shù)必須談及區(qū)間,脫離區(qū)間談增函數(shù)是沒有意義的. 增函數(shù)的圖象特征:從左到右上升. 減函數(shù)的圖象特征:從左到右下降. 記憶口訣:增函數(shù),減函數(shù),函數(shù)作差要記住;正號增,負(fù)號減,增減函數(shù)很簡單;往上增,往下減,增減趨勢正相反. 2.函數(shù)的奇偶性 疑難疏引 奇偶性的判斷: (1)定義域不關(guān)于原點對稱的函數(shù)一定不是奇偶函數(shù); (2)定義域關(guān)于原點對稱的函數(shù)也不一定是奇偶函數(shù); (3)定義域關(guān)于原點對稱,且滿足f

21、(-x)=f(x)或f(-x)=-f(x)的函數(shù)才是偶函數(shù)或奇函數(shù). 函數(shù)奇偶性的應(yīng)用: (1)利用奇偶性求有關(guān)函數(shù)值; (2)利用奇偶性求有關(guān)函數(shù)的解析式; (3)利用奇偶性研究函數(shù)的其他性質(zhì). 奇偶性、單調(diào)性等常常與函數(shù)方程、不等式結(jié)合在一起,具有較強的綜合性,這些知識的綜合與應(yīng)用,一直是高考的熱點. 另外,由奇(偶)函數(shù)圖象的特征并結(jié)合函數(shù)單調(diào)性的定義不難得到: (1)奇(偶)函數(shù)在關(guān)于原點對稱的區(qū)間上,具有相同(反)的單調(diào)性; (2)若奇函數(shù)f(x)在區(qū)間(0<a<b)上有最大值M,最小值m,則f(x)在區(qū)間上的最大值為-m,最小值為-M;

22、 (3)偶函數(shù)f(x)在區(qū)間 , (0<a<b)上有相同的最大(小)值. 記憶口訣:奇函數(shù),偶函數(shù),函數(shù)奇偶看f.同號偶,異號奇,非奇非偶不離奇.對折偶,旋轉(zhuǎn)奇,圖象重合在一起. ●案例2已知函數(shù)f(x)=. (1)用定義證明該函數(shù)在［1,+∞)上是增函數(shù); (2)判斷該函數(shù)的奇偶性. 【探究】本題考查的是函數(shù)性質(zhì)的證明,主要是進(jìn)一步掌握證明步驟及要點. (1)設(shè)x1、x2∈［1,+∞)且x1<x2, f(x1)-f(x2)=, ∵x1<x2,∴x1-x2<0. ∵x1、x2∈［1,+∞), ∴(x1x2-1)>0,(

23、x12+1)(x22+1)>0. ∴f(x1)-f(x2)<0,即f(x1)<f(x2). 所以該函數(shù)在［1,+∞)上是增函數(shù). (2)由x∈R,又f(-x)==-f(x), 所以該函數(shù)是奇函數(shù). 【溯源】函數(shù)單調(diào)性的證明分四步:①設(shè)值;②著差;③定號;④結(jié)論.函數(shù)的奇偶性判定要注意定義域關(guān)于原點對稱. 3.利用信息技術(shù)探討函數(shù)的性質(zhì) 利用計算機繪制函數(shù)的圖象具有快速準(zhǔn)確的特點,常用的有microsoft出品的Excel和Scott and Nick Jackiw共同開發(fā)的《幾何畫板》,特別是《幾何畫板》是一款非常優(yōu)秀的多媒體軟件.它是一個通用的數(shù)學(xué)

24、、物理教學(xué)環(huán)境,提供豐富而方便的創(chuàng)造功能使用戶可以隨心所欲地編寫出自己需要的教學(xué)課件.軟件提供充分的手段幫助用戶實現(xiàn)其教學(xué)思想,只需要熟悉軟件的簡單的使用技巧即可自行設(shè)計和編寫應(yīng)用范例,范例所體現(xiàn)的并不是編者的計算機軟件技術(shù)水平,而是數(shù)學(xué)思想的應(yīng)用水平. ●案例3借助計算機作出函數(shù)y=-x2+2|x|+3的圖象并指出它的單調(diào)區(qū)間. 【探究】計算機中有好多程序可以畫圖,但要注意的是,選用最常用的比較方便,如選用《幾何畫板》畫的函數(shù)圖象如右圖,由圖象可知,函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為(-∞,-1)、(0,1);函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間為(-1,0)、(1,+∞). 　　【溯源】在應(yīng)用《幾何畫板》

25、時,要注意使用其中的“圖表”中的“新建函數(shù)(N)”功能,要用到其中的“abs”即“絕對值函數(shù)”. 2.1.4　映射的概念 1.映射的概念 一般地,設(shè)A、B是兩個集合,如果按某種對應(yīng)法則f,對于A中的每一個元素,在B中都有唯一的元素與之對應(yīng),那么,這樣的單值對應(yīng)叫做集合A到集合B的映射,記作f:A→B. 疑難疏引 這個定義,可從以下四點深刻理解它:(1)“f:A→B”,包括集合A、B以及A到B的對應(yīng)法則f(A≠,B≠).(2)映射f:A→B是有方向的,即從A到B,定義中只要求A中的每一個元素在B中有怎樣的“象”,并不要求B中的每一個元素在A中有怎樣的對應(yīng).因此,“從A到B的映射”

26、與“從B到A的映射”是不同的.(3)在A到B的映射中,集合A中的每一個元素在B中都有“象”,且“象”唯一.(4)映射是一種特殊的“對應(yīng)”.而“對應(yīng)”與集合一樣,也是原始概念,即無定義的,但可以“說明”.對應(yīng)是兩個集合A與B的關(guān)系,通常以一個集合為主來考慮,對于A中的每一個元素來說,有以下三種對應(yīng)關(guān)系:①B中有唯一元素與之對應(yīng);②B中有多個元素(不是唯一)與之對應(yīng);③B中沒有元素與之對應(yīng). ●案例 判斷下列兩個對應(yīng)是否是集合A到集合B的映射,為什么? (1)設(shè)A={1,2,3,4},B={3,4,5,6,7,8,9},對應(yīng)法則f:x→2x+1; (2)設(shè)A=N*,B={0,1},對應(yīng)

27、法則f:x→x除以2得到的余數(shù); (3)設(shè)A={1,2,3,4},B={1,,,},f:x→x的倒數(shù); (4)A={(x,y)||x|<2,x+y<3,x∈Z,y∈N},B={0,1,2},f:(x,y)→x+y; (5)A={x|x>2,x∈N},B=N,f:x→小于x的最大質(zhì)數(shù); (6)A=N,B={0,1,2},f:x→x被3除所得余數(shù). 【探究】依據(jù)映射的定義,可得(1)(2)(3)(5)(6)都是A到B的映射,(4)不是A到B的映射.因為(4)中A={(-1,0),(-1,1),(-1,2),(-1,3),(0,0),(0,1),(0,2),(1

28、,0),(1,1),(2,0)},由對應(yīng)法則f:(x,y)→x+y知:集合A中的元素(-1,0)在集合B中沒有元素與之對應(yīng),故(4)不是A到B的映射. 【溯源】映射的概念是現(xiàn)代函數(shù)概念的基礎(chǔ),弄懂映射的概念,為我們進(jìn)一步理解函數(shù)概念的本質(zhì)奠定了基礎(chǔ).判別一個對應(yīng)是映射f:A→B的要點是:①A到B;②A中每一個元素在B中都有元素與之對應(yīng),且元素唯一. 2.用映射的概念定義函數(shù)、函數(shù)的定義域、值域 疑難疏引 用映射的概念定義函數(shù)、函數(shù)的定義域、值域時應(yīng)注意的問題:(1)函數(shù)是特殊的映射,特別注意A、B是非空數(shù)集;(2)函數(shù)符號y=f(x)表示“y是x的函數(shù)”,有的簡記作函數(shù)f(x).而

29、f(a)表示自變量x=a(a∈A)時的函數(shù)值;(3)值域C是B的子集,當(dāng)B中的每一元素在A中都有元素與之對應(yīng)時,B=C;(4)應(yīng)該知道,函數(shù)的決定性要素是兩個:定義域和對應(yīng)法則,而值域是由定義域和對應(yīng)法則確定的,因而今后有“求函數(shù)的值域”的很多難題.因此,研究函數(shù)的任何問題都必須由定義域和對應(yīng)法則這兩個獨立要素下手,但很多人往往犯“忽視定義域”的錯誤. “映射”這一節(jié)內(nèi)容是學(xué)完集合及其相關(guān)概念后又出現(xiàn)的一個新概念,它是集合論中一個極為重要的概念,是函數(shù)概念的推廣.本節(jié)課主要內(nèi)容就是映射概念,由于映射概念抽象、乏味、不好理解,因此重點、難點也是映射概念. 在初中我們初步學(xué)習(xí)了用變量描述的

30、函數(shù)概念,從運動變化的觀點出發(fā),將自變量x的每一取值與唯一確定的函數(shù)值對應(yīng)起來.但是,有些函數(shù)如果只根據(jù)變量觀點,就很難進(jìn)行深入研究.例如,著名的狄利克雷(Dirchlet)函數(shù)f(x)=和高斯(Gauss)函數(shù)g(x)=、(x∈R,表示不超過x的最大整數(shù)),對這兩個函數(shù),如果用變量觀點來解釋,會顯得十分勉強,但用集合、對應(yīng)的觀點來解釋,就十分自然.因此,近代數(shù)學(xué)引入集合與映射的概念,是數(shù)學(xué)發(fā)展的需要,是為了更好地刻畫函數(shù)的定義,加深對函數(shù)概念的理解. 函數(shù)是特殊的映射,即當(dāng)兩個集合A、B均為非空數(shù)集時,則從A到B的映射就是函數(shù).所以函數(shù)一定是映射,而映射不一定是函數(shù). 給定兩集合A、

31、B及對應(yīng)法則f,判斷是否是從集合A到集合B的映射,其基本方法是利用映射的定義.用通俗的語言講:A→B的對應(yīng)有“多對一”“一對一”及“一對多”,前兩種對應(yīng)是A→B的映射,而后一種不是A→B的映射. 用映射的概念來深刻理解函數(shù),反之,用函數(shù)的方法來解映射的問題,這是把概念與操作相結(jié)合的現(xiàn)代觀點.在學(xué)習(xí)中,用具體的函數(shù)來操作映射是最快的算法,而不要在概念中兜圈子. 活學(xué)巧用 1.已知P={x|0≤x≤4},Q={y|0≤y≤2},下列對應(yīng)法則中不是從P到Q的函數(shù)是…(　　) A.f:x→y=　　　 B.f:x→y= C.f:x→y= D.f:x→y= 【思路解析】 本題關(guān)鍵還

32、是抓住定義中關(guān)鍵詞“每一個”,即P中每一個元素x在Q中都有的輸出值y.在法則f:x→y=中,若x=4,按照法則應(yīng)該與y=6相對應(yīng),而6Q,所以應(yīng)該選擇C. 【答案】 C 2.判斷下列對應(yīng)f是否為從集合A到集合B的函數(shù)? (1)A={x|-2≤x≤2},B={y|-1≤y≤1},f(x)=x; (2)A={x|x是平面上的三角形},B={y|y是平面上的圓},f:作三角形的外接圓; (3)A={x|-1≤x≤1},B={y|-1≤y≤1},f:x→y=; (4)A={x|-1≤x≤1},B={y|0≤y≤2},f:x→y=x2; (5)A={x|0≤x≤4},B=

33、{y|-2≤y≤2},f:x→y2=x. 【解】(1)(4)是函數(shù),(2)(3)(5)不是函數(shù). 【提示】(2)不是數(shù)集; (3)A中有元素不能“輸入”; (5)B中的數(shù)在A中的輸入值不唯一. 3.求下列函數(shù)的定義域: (1)f(x)=. (2)f(x)=. (3)f(x)=. (4)y=. 【解】(1)要使函數(shù)有意義,必須 4-x2≥1, 即-≤x≤. ∴函數(shù)f(x)= 的定義域為 ∴函數(shù)的定義域為{x|x∈R且x≠0,-1,-}. 　　(3)要使函數(shù)有意義,必須 ∴函數(shù)f(x)=的定義域為 {x|x<-1或-1

34、<x<0}. 　　(4)要使函數(shù)有意義,必須 即x<-或x>-. ∴函數(shù)y=的定義域為{x|x∈R,x≠-}. 4.畫出下列函數(shù)的圖象: (1)y=x2-2,x∈Z且|x|≤2; (2)y=-2x2+3x,x∈(0,2］; (3)y=x|2-x|; (4)y= 【思路解析】 對于常見函數(shù),由于其特征學(xué)生很熟悉,故一般只要選幾個關(guān)鍵點,但要注意人為限制的定義域?qū)D象的影響.對分段函數(shù)可先處理為若干段常見函數(shù),在轉(zhuǎn)折點的取舍上格外注意. 【解】 如圖所示:  5.已知f(x)=畫出它的圖象,并求f(1),f(-2).

35、【解】 f(1)=3×12-2=1,f(-2)=-1.  6.某學(xué)生離家去學(xué)校,由于怕遲到,所以一開始就跑步,等跑累了再走余下的路程.在下圖中縱軸表示離學(xué)校的距離,橫軸表示出發(fā)后的時間,則下圖四個圖形中較符合該生走法的是哪一種?(　　) 【思路解析】 A、C圖中t=0時d=0,即該生一出家門便進(jìn)家門(與學(xué)校距離為0),應(yīng)排除,B、D中因該生一開始就跑步與學(xué)校距離迅速減小.故應(yīng)選D. 【答案】 D 7.已知函數(shù)f(x)=2x-1,g(x)=x2,求: (1)f［g(x)］;(2)g［f(x)］;(3)f［f(x)］;(4)g［g(x)］. 【思路解

36、析】 本題關(guān)鍵是理解復(fù)合函數(shù)的意義,f［g(x)］就是將g(x)作為f(x)中的自變量x,按照法則f輸出. 【解】f［g(x)］=2×g(x)-1=2x2-1,g［f(x)］=(2x-1)2.同理,f［f(x)］=4x-3,g［g(x)］=x4. 8.已知f(x)是一次函數(shù),且f=4x-1,求f(x)的解析式. 【思路解析】 本題適合采用待定系數(shù)法求解. 【解】 設(shè)f(x)=kx+b, 則k(kx+b)+b=4x-1, 則 或 ∴f(x)=2x-或f(x)=-2x+1. 9.已知g(x)=1-2x,f［g(x)］=(x≠0),求f(). 【思路解析

37、】 本題有兩種思路,一是先將f(x)的解析式求出,然后將x=代入就可以求出f();二是令g(x)= ,先求出x的值,然后再求f(). 【解法一】令t=1-2x,則x=, ∴f(t)=. ∴f()==15. 【解法二】 令1-2x=,則x=. ∴f()==15. 10.給出下列函數(shù)的圖象,指出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間,并指明其單調(diào)性. (1) (2) 【思路解析】 通過圖象直觀觀察其升降來判斷其增減性,但必須注意區(qū)間端點的取舍要合理. 【解】 圖(1)中y=f(x)的單調(diào)區(qū)間有(-3,-1］,(-1,0),［0,1),［1,3).其中在(-3,1］和［0,1)

38、上是減函數(shù),在(-1,0)和［1,3)上是增函數(shù). 圖(2)中y=g(x)的單調(diào)區(qū)間有(-,)和(,),其中在(-,)和(,)上都是減函數(shù). 【解題回顧】 圖(1)中x=-3和x=3不在定義域內(nèi),因此寫單調(diào)區(qū)間時在這兩個點上必須寫成“開”,而其余端點寫成“開”或“閉”均可.圖(2)中雖在兩個區(qū)間上均為減函數(shù),但不能把兩個區(qū)間并起來. 11.畫出函數(shù)y=的圖象,并寫出單調(diào)區(qū)間. 【思路解析】 圖略.單調(diào)減區(qū)間為(-∞,-1),(-1,+∞). 【思考】 能不能說函數(shù)y=在定義域(-∞,-1)∪(-1,+∞)上是單調(diào)減函數(shù)? 【解】 不能. 12.證明函數(shù)f(x)=x+在

39、(-∞,2)上是增函數(shù). 【證明】(定義法)設(shè)x1、x2∈(-∞,2),且x1<x2.則f(x1)-f(x2)=(x1-x2)+［-］=(x1-2)2(x2-2)2-4(x1+x2-4)］在(-∞,2)上,x1<x2<2,有x1-x2<0,x1+x2-4<0,所以f(x1)-f(x2)<0,即f(x1)<f(x2),故f(x)在(-∞,2)上是增函數(shù). 13.已知f(x)=x2+ax+3在［-1,1］上的最小值為-3,求a的值. 【思路解析】 本題要討論函數(shù)在給定區(qū)間上的單調(diào)性,二次函數(shù)的單調(diào)性與其對稱軸有關(guān),故需結(jié)合圖象進(jìn)行討論. 【

40、解】 當(dāng)->1,即a<-2時,ymin=f(1)=4+a=-3,∴a=-7.當(dāng)-1≤-≤1,即-2≤a≤2時,ymin=f(-)==-3,∴a=±2(舍去).當(dāng)-<-1,即a>2時,ymin=f(-1)=4-a=-3,∴a=7.綜上,a=±7. 【借題發(fā)揮】對二次函數(shù)在定區(qū)間上的最值問題,一般需要研究二次函數(shù)的圖象,這時可能要討論函數(shù)的開口方向和對稱軸,平時在練習(xí)中要強化這方面的訓(xùn)練. 14.判斷下列函數(shù)是否為奇函數(shù)或偶函數(shù). (1)f(x)=x2-1; (2)f(x)=(x-1)2; (3)f(x)=x3+5x; (4)

41、f(x)=x2(x∈); (5)f(x)=; (6)f(x)=0(x∈∪); (7)f(x)=; (8)y=. 【思路解析】 本題主要考查的是對函數(shù)奇偶性定義的理解,要注意函數(shù)的定義域是否關(guān)于原點對稱. 【解】(1)是偶函數(shù).因為它的定義域是R,且對任意x∈R,都有f(-x)=(-x)2-1=x2-1=f(x). (2)既不是奇函數(shù),也不是偶函數(shù).因為雖然它的定義域是R,但對任意x∈R,f(-x)=(-x-1)2=(x+1)2,所以f(-x)≠f(x)且f(-x)≠-f(x). (3)是奇函數(shù).因為它的定義域是R,對任意x∈R,f(-x)=(-x)3+5(-

42、x)=-x3-5x=-f(x). (4)既不是奇函數(shù),也不是偶函數(shù).因為它的定義域不關(guān)于原點對稱,如f(2)存在,但f(-2)無意義. (5)既不是奇函數(shù),也不是偶函數(shù).因為它的定義域{x|x≠1,x∈R}不關(guān)于原點對稱. (6)既是奇函數(shù),也是偶函數(shù).因為它的定義域關(guān)于原點對稱,且對任意x∈∪都有f(-x)=0,故f(-x)=f(x)和f(-x)=-f(x)同時成立. (7)既是奇函數(shù),也是偶函數(shù).因為它的定義域是{1,-1},關(guān)于原點對稱,化簡得f(x)=0,所以都有f(-x)=f(x)和f(-x)=-f(x)成立. (8)是奇函數(shù).由得 所以該函數(shù)的定義域是［-1

43、,0)∪(0,1］,此時化簡得f(x)=,對任意x∈都有f(x) =-f(x)成立. 【規(guī)律總結(jié)】函數(shù)的奇偶性是函數(shù)在定義域上的整體性質(zhì)(函數(shù)的單調(diào)性是定義域上的局部性質(zhì)),強化兩者間的辨析,能夠加深對定義的理解. 15.函數(shù)f(x)、g(x)在區(qū)間［a,b］上都有意義,且在此區(qū)間上 ①f(x)為增函數(shù),f(x)>0; ②g(x)為減函數(shù),g(x)<0. 判斷f(x)g(x)在［a,b］的單調(diào)性,并給出證明. 【解】 減函數(shù). 令a≤x1<x2≤b,則有f(x1)-f(x2)<0,即可得0<f(x1)<f(x2); 同理,有g(shù)(

44、x1)-g(x2)>0,即可得f(x2)<f(x1)<0. 從而有f(x1)g(x1)-f(x2)g(x2)=f(x1)g(x1)-f(x1)g(x2)+f(x1)g(x2)-f(x2)g(x2)=f(x1)(g(x1)-g(x2))+(f(x1)-f(x2))g(x2), (*) 顯然f(x1)(g(x1)-g(x2))>0,(f(x1)-f(x2))g(x2)>0,從而(*)式>0,故函數(shù)f(x)g(x)為減函數(shù). 16.畫出函數(shù)y=|2x-x2|的圖象并指出它的單調(diào)性.

45、 【解】  先畫u=-x2+2x的圖象,再將x軸下方的關(guān)于x軸對稱,x軸上方的圖象不變. 由圖象可知: 函數(shù)y=|2x-x2|在(-∞,0)上遞減,在［0,1］上遞增,在［1,2］上遞減,在［2,+∞)上遞增. 17.判斷函數(shù)f(x)=-x3+1在(-∞,0)上是增函數(shù)還是減函數(shù),并證明你的判斷.如果x∈(0,+∞),函數(shù)f(x)是增函數(shù)還是減函數(shù)? 【解】 一般地,當(dāng)k>0,f(x)與kf(x)具有一致的單調(diào)性;若k<0,則f(x)與kf(x)的單調(diào)性相反.從f(x)=-x3+1上可直接得出f(x)是減函數(shù),用單調(diào)性的定義證明,應(yīng)注意對差式的變形及分解因式.

46、 f(x)=-x3+1在(-∞,0)上是減函數(shù),證明如下:在(-∞,0)上任取x1 、x2,且x1<x2. ∵f(x1)-f(x2)=(-x13+1)-(-x23+1)=(x2-x1)(x22+x1x2+x12)=(x2-x1)［(x2+)2+x12］,又∵x2-x1>0,(x2+)2+x12>0,∴f(x1)-f(x2)>0,即f(x1)>f(x2).故f(x)=-x3+1在(-∞,0)上是減函數(shù).同理可證,當(dāng)x∈(0,+∞)時,函數(shù)f(x)仍然是減函數(shù). 18.在下列各對應(yīng)關(guān)系中,是從A到B的映射的有(　　) A.(1)(3)(4)

47、 B.(2)(3)(5) C.(1)(2)(4)(5) D.(2)(4)(5) 【答案】 D 【規(guī)律總結(jié)】對映射概念的理解是高中數(shù)學(xué)的一個難點,通過對圖象的認(rèn)識,可進(jìn)一步加深我們對映射定義本質(zhì)的理解. 19.(1)已知f:x→y=x2是從集合A=R到B=［0,+∞)的一個映射,則B中的元素1在A中的對應(yīng)元素是_________. (2)已知A={a,b},B={c,d},則從A到B的映射有_______個. 【答案】(1)±1　(2)4 6EDBC3191F2351DD815FF33D4435F3756EDBC3191F2351DD815FF33D4435F3756EDBC3191F2351DD815FF33D4435F3756EDBC3191F2351DD815FF33D4435F3756EDBC3191F2351DD815FF33D4435F3756EDBC3191F2351DD815FF33D4435F375