全國(guó)通用版高中數(shù)學(xué) 第三章 數(shù)系的擴(kuò)充與復(fù)數(shù)的引入 3.2 復(fù)數(shù)代數(shù)形式的四則運(yùn)算 3.2.1 復(fù)數(shù)代數(shù)形式的加、減運(yùn)算及其幾何意義學(xué)案 新人教A版選修22
《全國(guó)通用版高中數(shù)學(xué) 第三章 數(shù)系的擴(kuò)充與復(fù)數(shù)的引入 3.2 復(fù)數(shù)代數(shù)形式的四則運(yùn)算 3.2.1 復(fù)數(shù)代數(shù)形式的加、減運(yùn)算及其幾何意義學(xué)案 新人教A版選修22》由會(huì)員分享,可在線(xiàn)閱讀,更多相關(guān)《全國(guó)通用版高中數(shù)學(xué) 第三章 數(shù)系的擴(kuò)充與復(fù)數(shù)的引入 3.2 復(fù)數(shù)代數(shù)形式的四則運(yùn)算 3.2.1 復(fù)數(shù)代數(shù)形式的加、減運(yùn)算及其幾何意義學(xué)案 新人教A版選修22(12頁(yè)珍藏版)》請(qǐng)?jiān)谘b配圖網(wǎng)上搜索。
1、 3.2.1 復(fù)數(shù)代數(shù)形式的加、減運(yùn)算及其幾何意義 學(xué)習(xí)目標(biāo) 1.熟練掌握復(fù)數(shù)代數(shù)形式的加、減運(yùn)算法則.2.理解復(fù)數(shù)加減法的幾何意義,能夠利用“數(shù)形結(jié)合”的思想解題. 知識(shí)點(diǎn)一 復(fù)數(shù)代數(shù)形式的加減法 思考 類(lèi)比多項(xiàng)式的加減法運(yùn)算,想一想復(fù)數(shù)如何進(jìn)行加減法運(yùn)算? 答案 兩個(gè)復(fù)數(shù)相加(減)就是把實(shí)部與實(shí)部、虛部與虛部分別相加(減),即(a+bi)(c+di)=(ac)+(bd)i. 梳理 (1)運(yùn)算法則 設(shè)z1=a+bi,z2=c+di是任意兩個(gè)復(fù)數(shù),那么(a+bi)+(c+di)=(a+c)+(b+d)i,(a+bi)-(c+di)=(a-c)+(b-d)i. (2)加法運(yùn)算
2、律 對(duì)任意z1,z2,z3∈C,有z1+z2=z2+z1,(z1+z2)+z3=z1+(z2+z3). 知識(shí)點(diǎn)二 復(fù)數(shù)加減法的幾何意義 思考1 復(fù)數(shù)與復(fù)平面內(nèi)的向量一一對(duì)應(yīng),你能從向量加法的幾何意義出發(fā)討論復(fù)數(shù)加法的幾何意義嗎? 答案 如圖,設(shè),分別與復(fù)數(shù)a+bi,c+di對(duì)應(yīng), 則=(a,b),=(c,d), 由平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算,得+=(a+c,b+d), 所以+與復(fù)數(shù)(a+c)+(b+d)i對(duì)應(yīng),復(fù)數(shù)的加法可以按照向量的加法來(lái)進(jìn)行. 思考2 怎樣作出與復(fù)數(shù)z1-z2對(duì)應(yīng)的向量? 答案 z1-z2可以看作z1+(-z2).因?yàn)閺?fù)數(shù)的加法可以按照向量的加法來(lái)進(jìn)行.所以可
3、以按照平行四邊形法則或三角形法則作出與z1-z2對(duì)應(yīng)的向量(如圖).圖中對(duì)應(yīng)復(fù)數(shù)z1,對(duì)應(yīng)復(fù)數(shù)z2,則對(duì)應(yīng)復(fù)數(shù)z1-z2. 梳理 復(fù)數(shù)加法的幾何意義 復(fù)數(shù)z1+z2是以,為鄰邊的平行四邊形的對(duì)角線(xiàn)所對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù) 復(fù)數(shù)減法的幾何意義 復(fù)數(shù)z1-z2是從向量的終點(diǎn)指向向量的終點(diǎn)的向量所對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù) 1.兩個(gè)虛數(shù)的和或差可能是實(shí)數(shù).( √ ) 2.在進(jìn)行復(fù)數(shù)的加法時(shí),實(shí)部與實(shí)部相加得實(shí)部,虛部與虛部相加得虛部.( √ ) 3.復(fù)數(shù)的減法不滿(mǎn)足結(jié)合律,即(z1-z2)-z3=z1-(z2+z3)可能不成立.( ) 類(lèi)型一 復(fù)數(shù)的加法、減法運(yùn)算 例1 (1)若z
4、1=2+i,z2=3+ai(a∈R),復(fù)數(shù)z1+z2所對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在實(shí)軸上,則a=________. (2)已知復(fù)數(shù)z滿(mǎn)足|z|i+z=1+3i,則z=________. 考點(diǎn) 復(fù)數(shù)的加減法運(yùn)算法則 題點(diǎn) 復(fù)數(shù)加減法的綜合應(yīng)用 答案 (1)-1 (2)1+i 解析 (1)z1+z2=(2+i)+(3+ai)=5+(a+1)i, 由題意得a+1=0,則a=-1. (2)設(shè)z=x+yi(x,y∈R),則|z|=, ∴|z|i+z=i+x+yi=x+(+y)i =1+3i, ∴解得 ∴z=1+i. 反思與感悟 (1)復(fù)數(shù)的加減運(yùn)算就是實(shí)部與實(shí)部相加減,虛部與虛部相加減. (2)
5、當(dāng)一個(gè)等式中同時(shí)含有|z|與z時(shí),一般用待定系數(shù)法,設(shè)z=x+yi(x,y∈R). 跟蹤訓(xùn)練1 (1)若復(fù)數(shù)z滿(mǎn)足z+i-3=3-i,則z=________. (2)(a+bi)-(2a-3bi)-3i=________(a,b∈R). (3)已知復(fù)數(shù)z滿(mǎn)足|z|+z=1+3i,則z=________. 考點(diǎn) 復(fù)數(shù)的加減法運(yùn)算法則 題點(diǎn) 復(fù)數(shù)加減法的運(yùn)算法則 答案 (1)6-2i (2)-a+(4b-3)i (3)-4+3i 解析 (1)∵z+i-3=3-i,∴z=6-2i. (2)(a+bi)-(2a-3bi)-3i =(a-2a)+(b+3b-3)i=-a+(4b-3)i
6、. (3)設(shè)z=x+yi(x,y∈R),|z|=, ∴|z|+z=(+x)+yi=1+3i, ∴解得 ∴z=-4+3i. 類(lèi)型二 復(fù)數(shù)加、減法的幾何意義 例2 (1)如圖所示,平行四邊形OABC的頂點(diǎn)O,A,C分別對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù)為0,3+2i,-2+4i.求: ①表示的復(fù)數(shù); ②表示的復(fù)數(shù); ③表示的復(fù)數(shù). 考點(diǎn) 復(fù)數(shù)的加減法運(yùn)算法則 題點(diǎn) 復(fù)數(shù)加減法與向量的對(duì)應(yīng) 解 ∵A,C對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù)分別為3+2i,-2+4i, 由復(fù)數(shù)的幾何意義,知與表示的復(fù)數(shù)分別為3+2i,-2+4i. ①因?yàn)椋剑?,所以表示的?fù)數(shù)為-3-2i. ②因?yàn)椋剑? 所以表示的復(fù)數(shù)為(3+2i)-
7、(-2+4i)=5-2i. ③=+, 所以表示的復(fù)數(shù)為(3+2i)+(-2+4i)=1+6i. (2)已知z1,z2∈C,|z1|=|z2|=1,|z1+z2|=,求|z1-z2|. 考點(diǎn) 復(fù)數(shù)加減法的幾何意義及應(yīng)用 題點(diǎn) 與加減法幾何意義有關(guān)的模的問(wèn)題 解 根據(jù)復(fù)數(shù)加減法的幾何意義,由|z1|=|z2|知,以,為鄰邊的平行四邊形OACB是菱形. 如圖,對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù)為z1,對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù)為z2, ∴||=||,對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù)為z1+z2,∴||=. 在△AOC中,||=||=1,||=, ∴∠AOC=30.同理得∠BOC=30, ∴△OAB為等邊三角形,則||=1,對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù)為
8、z1-z2,∴|z1-z2|=1. 引申探究 若將本例(2)中的條件“|z1+z2|=”改為“|z1-z2|=1”,求|z1+z2|. 解 如例2(2)圖,向量表示的復(fù)數(shù)為z1-z2, ∴||=1,則△AOB為等邊三角形,∴∠AOC=30, 則||=,∴||=,表示的復(fù)數(shù)為z1+z2, ∴|z1+z2|=. 反思與感悟 (1)常用技巧 ①形轉(zhuǎn)化為數(shù):利用幾何意義可以把幾何圖形的變換轉(zhuǎn)化成復(fù)數(shù)運(yùn)算去處理; ②數(shù)轉(zhuǎn)化為形:對(duì)于一些復(fù)數(shù)運(yùn)算也可以給予幾何解釋?zhuān)箯?fù)數(shù)作為工具運(yùn)用于幾何之中. (2)常見(jiàn)結(jié)論:在復(fù)平面內(nèi),z1,z2對(duì)應(yīng)的點(diǎn)分別為A,B,z1+z2對(duì)應(yīng)的點(diǎn)為C,O為
9、坐標(biāo)原點(diǎn). ①四邊形OACB為平行四邊形; ②若|z1+z2|=|z1-z2|,則四邊形OACB為矩形; ③若|z1|=|z2|,則四邊形OACB為菱形; ④若|z1|=|z2|且|z1+z2|=|z1-z2|,則四邊形OACB為正方形. 跟蹤訓(xùn)練2 (1)已知復(fù)平面內(nèi)的平面向量,表示的復(fù)數(shù)分別是-2+i,3+2i,則||=________. (2)若z1=2+i,z2=3+ai,復(fù)數(shù)z2-z1所對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在第四象限上,則實(shí)數(shù)a的取值范圍是__________. 考點(diǎn) 復(fù)數(shù)的加減法運(yùn)算法則 題點(diǎn) 復(fù)數(shù)的加減法與向量的對(duì)應(yīng) 答案 (1) (2)(-∞,1) 解析 (1)∵=+,
10、 ∴表示的復(fù)數(shù)為(-2+i)+(3+2i)=1+3i, ∴||==. (2)z2-z1=1+(a-1)i,由題意知a-1<0,即a<1. 1.設(shè)z1=3-4i,z2=-2+3i,則z1-z2在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于( ) A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 考點(diǎn) 復(fù)數(shù)的加減法運(yùn)算法則 題點(diǎn) 復(fù)數(shù)加減法與點(diǎn)的對(duì)應(yīng) 答案 D 解析 ∵z1-z2=5-7i, ∴z1-z2在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于第四象限. 2.已知復(fù)數(shù)z1=(a2-2)-3ai,z2=a+(a2+2)i,若z1+z2是純虛數(shù),那么實(shí)數(shù)a的值為( ) A.1 B.2 C.
11、-2 D.-2或1 考點(diǎn) 復(fù)數(shù)的加減法運(yùn)算法則 題點(diǎn) 復(fù)數(shù)加減法的運(yùn)算法則 答案 C 解析 由z1+z2=a2-2+a+(a2-3a+2)i是純虛數(shù),得得a=-2. 3.在復(fù)平面內(nèi),O是原點(diǎn),,,表示的復(fù)數(shù)分別為-2+i,3+2i,1+5i,則表示的復(fù)數(shù)為( ) A.2+8i B.4-4i C.6-6i D.-4+2i 考點(diǎn) 復(fù)數(shù)的加減法運(yùn)算法則 題點(diǎn) 復(fù)數(shù)加減法與向量的對(duì)應(yīng) 答案 B 解析?。剑剑?+)=4-4i. 4.設(shè)f(z)=|z|,z1=3+4i,z2=-2-i,則f(z1-z2)等于( ) A. B.5 C. D.5 考點(diǎn) 復(fù)
12、數(shù)的加減法運(yùn)算法則 題點(diǎn) 復(fù)數(shù)加減法的綜合應(yīng)用 答案 D 解析 因?yàn)閦1-z2=5+5i, 所以f(z1-z2)=f(5+5i)=|5+5i|=5. 5.設(shè)平行四邊形ABCD在復(fù)平面內(nèi),A為原點(diǎn),B,D兩點(diǎn)對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù)分別是3+2i和2-4i,則點(diǎn)C對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù)是__________. 考點(diǎn) 復(fù)數(shù)加減法的幾何意義及應(yīng)用 題點(diǎn) 與加減法幾何意義有關(guān)的綜合應(yīng)用 答案 5-2i 解析 設(shè)AC與BD的交點(diǎn)為E,則E點(diǎn)坐標(biāo)為,設(shè)點(diǎn)C坐標(biāo)為(x,y),則x=5,y=-2,故點(diǎn)C對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù)為5-2i. 1.復(fù)數(shù)代數(shù)形式的加減法滿(mǎn)足交換律、結(jié)合律,復(fù)數(shù)的減法是加法的逆運(yùn)算. 2.復(fù)數(shù)加法
13、的幾何意義就是向量加法的平行四邊形法則,復(fù)數(shù)減法的幾何意義就是向量減法的三角形法則. 一、選擇題 1.若復(fù)數(shù)z滿(mǎn)足z+(3-4i)=1,則z的虛部是( ) A.-2 B.4 C.3 D.-4 考點(diǎn) 復(fù)數(shù)的加減法運(yùn)算法則 題點(diǎn) 復(fù)數(shù)加減法的運(yùn)算法則 答案 B 解析 ∵z+(3-4i)=1, ∴z=-2+4i,故z的虛部是4. 2.實(shí)數(shù)x,y滿(mǎn)足z1=y(tǒng)+xi,z2=y(tǒng)i-x,且z1-z2=2,則xy的值是( ) A.1 B.2 C.-2 D.-1 考點(diǎn) 復(fù)數(shù)的加減法運(yùn)算法則 題點(diǎn) 復(fù)數(shù)加減法的綜合應(yīng)用 答案 A 解析 z1-z2=(y+x)
14、+(x-y)i=2, 即 ∴x=y(tǒng)=1,則xy=1. 3.若z1=2+i,z2=3+ai(a∈R),且z1+z2所對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在實(shí)軸上,則a的值為( ) A.3 B.2 C.1 D.-1 考點(diǎn) 復(fù)數(shù)加減法運(yùn)算法則 題點(diǎn) 復(fù)數(shù)加減法與點(diǎn)的對(duì)應(yīng) 答案 D 解析 z1+z2=2+i+3+ai=(2+3)+(1+a)i =5+(1+a)i. ∵z1+z2所對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在實(shí)軸上, ∴1+a=0,∴a=-1. 4.設(shè)復(fù)數(shù)z滿(mǎn)足關(guān)系式z+|z|=2+i,那么z等于( ) A.-+i B.-i C.--i D.+i 考點(diǎn) 復(fù)數(shù)的加減法運(yùn)算法則 題點(diǎn) 復(fù)數(shù)加減法的運(yùn)算
15、法則 答案 D 解析 設(shè)z=a+bi(a,b∈R), 則z+|z|=(a+)+bi=2+i, 則 解得 ∴z=+i. 5.已知復(fù)數(shù)z對(duì)應(yīng)的向量如圖所示,則復(fù)數(shù)z+1所對(duì)應(yīng)的向量正確的是( ) 考點(diǎn) 復(fù)數(shù)的加減法運(yùn)算法則 題點(diǎn) 復(fù)數(shù)加減法與向量的對(duì)應(yīng) 答案 A 解析 由圖知z=-2+i,則z+1=-1+i,由復(fù)數(shù)的幾何意義可知,A是正確的. 6.復(fù)數(shù)z1=a+4i,z2=-3+bi,若它們的和z1+z2為實(shí)數(shù),差z1-z2為純虛數(shù),則a,b的值為( ) A.a(chǎn)=-3,b=-4 B.a(chǎn)=-3,b=4 C.a(chǎn)=3,b=-4 D.a(chǎn)=3,b=4 考點(diǎn) 復(fù)
16、數(shù)的加減法運(yùn)算法則 題點(diǎn) 復(fù)數(shù)加減法的綜合應(yīng)用 答案 A 解析 因?yàn)閦1+z2=(a-3)+(4+b)i為實(shí)數(shù), 所以4+b=0,b=-4. 因?yàn)閦1-z2=(a+4i)-(-3+bi)=(a+3)+(4-b)i為純虛數(shù), 所以a=-3且b≠4.故a=-3,b=-4. 7.在復(fù)平面內(nèi)點(diǎn)A,B,C所對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù)分別為1+3i,-i,2+i,若=,則點(diǎn)D表示的復(fù)數(shù)是( ) A.1-3i B.-3-i C.3+5i D.5+3i 考點(diǎn) 復(fù)數(shù)加減法的幾何意義及應(yīng)用 題點(diǎn) 與加減法幾何意義有關(guān)的綜合應(yīng)用 答案 C 解析 ∵點(diǎn)A,B,C對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù)分別為1+3i,-i,2+
17、i, ∴對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù)為2+2i.設(shè)D(x,y), ∵=,∴(x-1,y-3)=(2,2), ∴ 解得 ∴點(diǎn)D表示的復(fù)數(shù)為3+5i. 二、填空題 8.已知z1=(3x+y)+(y-4x)i(x,y∈R),z2=(4y-2x)-(5x+3y)i(x,y∈R).設(shè)z=z1-z2,且z=13-2i,則z1=________,z2=________. 考點(diǎn) 復(fù)數(shù)的加減法運(yùn)算法則 題點(diǎn) 復(fù)數(shù)加減法的綜合應(yīng)用 答案 5-9i?。?-7i 解析 ∵z=z1-z2=(3x+y-4y+2x)+(y-4x+5x+3y)i=(5x-3y)+(x+4y)i=13-2i, ∴解得 ∴z1=5-9i,
18、z2=-8-7i. 9.設(shè)z=3-4i,則復(fù)數(shù)z-|z|+(1-i)在復(fù)平面內(nèi)的對(duì)應(yīng)點(diǎn)在第________象限. 考點(diǎn) 復(fù)數(shù)的加減法運(yùn)算法則 題點(diǎn) 復(fù)數(shù)加減法與點(diǎn)的對(duì)應(yīng) 答案 三 解析 因?yàn)閦=3-4i,所以|z|=5, 所以z-|z|+(1-i)=3-4i-5+(1-i)=-1-5i. 復(fù)數(shù)z=-1-5i在復(fù)平面內(nèi)的對(duì)應(yīng)點(diǎn)Z(-1,-5)位于第三象限. 10.已知|z|=4,且z+2i是實(shí)數(shù),則復(fù)數(shù)z=________. 考點(diǎn) 復(fù)數(shù)的加減法運(yùn)算法則 題點(diǎn) 復(fù)數(shù)加減法的綜合應(yīng)用 答案 2-2i 解析 因?yàn)閦+2i是實(shí)數(shù),可設(shè)z=a-2i(a∈R), 由|z|=4得a2
19、+4=16, 所以a2=12,所以a=2, 所以z=2-2i. 11.如圖所示,在復(fù)平面內(nèi)的四個(gè)點(diǎn)O,A,B,C恰好構(gòu)成平行四邊形,其中O為原點(diǎn),A,B,C所對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù)分別是zA=4+ai,zB=6+8i,zC=a+bi(a,b∈R),則zA-zC=________. 考點(diǎn) 復(fù)數(shù)的加減法運(yùn)算法則 題點(diǎn) 復(fù)數(shù)加減法與向量的對(duì)應(yīng) 答案 2-4i 解析 因?yàn)椋剑? 所以4+ai+(a+bi)=6+8i. 因?yàn)閍,b∈R, 所以所以 所以zA=4+2i,zC=2+6i, 所以zA-zC=(4+2i)-(2+6i)=2-4i. 三、解答題 12.設(shè)m∈R,復(fù)數(shù)z1=+(m
20、-15)i,z2=-2+m(m-3)i,若z1+z2是虛數(shù),求m的取值范圍. 考點(diǎn) 復(fù)數(shù)的加減法運(yùn)算法則 題點(diǎn) 復(fù)數(shù)加減法的運(yùn)算法則 解 因?yàn)閦1=+(m-15)i, z2=-2+m(m-3)i, 所以z1+z2=+[(m-15)+m(m-3)]i =+(m2-2m-15)i. 因?yàn)閦1+z2是虛數(shù), 所以m2-2m-15≠0且m≠-2, 所以m≠5且m≠-3且m≠-2, 所以m的取值范圍是(-∞,-3)∪(-3,-2)∪(-2,5)∪(5,+∞). 13.(1)若f(z)=z+1-i,z1=3+4i,z2=-2+i,求f(z1-z2); (2)若z1=2cos θ-i
21、,z2=-+2isin θ(0≤θ≤2π),且z1+z2在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于第二象限,求θ的取值范圍. 考點(diǎn) 復(fù)數(shù)加減法的幾何意義及應(yīng)用 題點(diǎn) 與加減法幾何意義有關(guān)的綜合應(yīng)用 解 (1)z1-z2=(3+4i)-(-2+i)=5+3i, f(z1-z2)=f(5+3i)=(5+3i)+1-i=6+2i. (2)z1+z2=(2cos θ-)+(2sin θ-1)i, 由題意得即 又θ∈[0,2π],所以θ∈. 四、探究與拓展 14.復(fù)數(shù)z1=1+icos θ,z2=sin θ-i,則|z1-z2|的最大值為( ) A.3-2 B.-1 C.3+2 D.+1
22、考點(diǎn) 復(fù)數(shù)加減法的幾何意義及應(yīng)用 題點(diǎn) 與加減法幾何意義有關(guān)的模的問(wèn)題 答案 D 解析 |z1-z2|=|(1-sin θ)+(cos θ+1)i| = = = . ∵max=1, ∴|z1-z2|max==+1. 15.已知復(fù)平面內(nèi)平行四邊形ABCD,A點(diǎn)對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù)為2+i,向量對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù)為1+2i,向量對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù)為3-i,求: (1)點(diǎn)C,D對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù); (2)平行四邊形ABCD的面積. 考點(diǎn) 復(fù)數(shù)加減法的幾何意義及應(yīng)用 題點(diǎn) 與加減法幾何意義有關(guān)的綜合應(yīng)用 解 (1)因?yàn)橄蛄繉?duì)應(yīng)的復(fù)數(shù)為1+2i,向量對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù)為3-i, 所以向量對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù)為(3-i)-(1
23、+2i)=2-3i. 又=+, 所以點(diǎn)C對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù)為(2+i)+(2-3i)=4-2i. 因?yàn)椋剑? 所以向量對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù)為3-i, 即=(3,-1). 設(shè)D(x,y),則=(x-2,y-1)=(3,-1), 所以解得 所以點(diǎn)D對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù)為5. (2)因?yàn)椋絴|||cos B, 所以cos B===. 所以sin B=. 所以S=||||sin B==7, 所以平行四邊形ABCD的面積為7. 6EDBC3191F2351DD815FF33D4435F3756EDBC3191F2351DD815FF33D4435F3756EDBC3191F2351DD815FF33D4435F3756EDBC3191F2351DD815FF33D4435F3756EDBC3191F2351DD815FF33D4435F3756EDBC3191F2351DD815FF33D4435F375
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