常微分方程學(xué)習(xí)活動6 第三章一階線性方程組、第四章n階線性方程的綜合練習(xí)WORD版

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..常微分方程學(xué)習(xí)活動 6第三章一階線性方程組、第四章 n 階線性方程的綜合練習(xí)本課程形成性考核綜合練習(xí)共 3 次，內(nèi)容主要分別是第一章初等積分法的綜合練習(xí)、第二章基本定理的綜合練習(xí)、第三章和第四章的綜合練習(xí)，目的是通過綜合性練習(xí)作業(yè)，同學(xué)們可以檢驗(yàn)自己的學(xué)習(xí)成果，找出掌握的薄弱知識點(diǎn)，重點(diǎn)復(fù)習(xí)，爭取盡快掌握． 要求：首先請同學(xué)們下載作業(yè)附件文檔并進(jìn)行填寫，文檔填寫完成后請?jiān)诒敬巫鳂I(yè)頁面中點(diǎn)擊“去完成”按鈕進(jìn)入相應(yīng)網(wǎng)頁界面完成任務(wù)，然后請將所做完的作業(yè)文檔以附件的形式上傳到課程上，隨后老師會在課程中進(jìn)行評分。一、填空題1．若 A(x)在(-∞,+∞)上連續(xù)，那么線性齊次方程組 ， 的任一非YA)(dx?nR?零解在 空間 不能 與 x 軸相交．?nR2．方程組 的任何一個(gè)解的圖象是 n+1 維空間nRYFY??,),(d中的一條積分曲線．3．向量函數(shù)組 Y1(x), Y2(x),…,Yn(x)線性相關(guān)的 必要 條件是它們的朗斯期行列式 W(x)=0．4．線性齊次微分方程組 ，的一個(gè)基本解組的個(gè)數(shù)不能多nA?,d于 n+1 個(gè)．5．若函數(shù)組 在區(qū)間 上線性相關(guān)，則它們的朗斯基行列式 在)(21x?，),(ba )(xW區(qū)間 上 恒等于 ．),(ba6．函數(shù)組 的朗斯基行列式 是 ????xycosin21 )(xWxxsincoi)(??7．二階方程 的等價(jià)方程組是 ．02??y?????yxy218．若 和 是二階線性齊次方程的基本解組，則它們 沒有 )(1xy??)(2x共同零點(diǎn)．9．二階線性齊次微分方程的兩個(gè)解 , 成為其基本解組的充要條件)(1xy??)(2是 線性無關(guān) ．10． 階線性齊次微分方程線性無關(guān)解的個(gè)數(shù)最多為 n 個(gè)．11．在方程 y″+ p(x)y′+q(x)y = 0 中，p( x), q(x)在(-∞,+∞)上連續(xù)，則它的任一非零解在xOy 平面上 可以 與 x 軸橫截相交．..12．二階線性方程 的基本解組是 ．20y???e,x?13．線性方程 的基本解組是 ． cos,in14．方程 的所有解構(gòu)成一個(gè) 2 維線性空間．02?yxy15．n 階線性齊次微分方程的所有解構(gòu)成一個(gè) n 維線性空間．二、計(jì)算題1．將下列方程式化為一階方程組（1） 0)(??xgfx?（2） 0)(321 ???? yxaya1） 解 ， （2）解 ??????)(dxgyftx????????0312121 )()()(ddyxayxayy2．求解下列方程組：（1） （2） ??????xyt54d???????yxty??d（1） 解 方程組的系數(shù)陣為 特征方程為：54A???????det(A- E)= = ，??5?(1)90??其特征根為 . 12,9?當(dāng) 時(shí), ， 其中 a, b 滿足1?1tyez??????(A- E) = = 0, ab4????則有 a + b = 0． 取 a = 1, b = 1, 則得一特解 ?1tyez????????..同理,當(dāng) 時(shí)， 29??291tyez??????所以方程組的解為912()ttteC???????????（2）解 方程組的系數(shù)陣為 .A????特征方程為: det(A- E)= =???2()0????特征根為 .????i當(dāng) 時(shí), 其中 a, b 滿足1i??1ixey???????????????(A- E) = =0,abi?故有 即 . 0ia??????i取 ，于是方程組對應(yīng)于1,bi=*1ixey????????????????cosinisttt???????故特征根 所對應(yīng)的實(shí)解為i??= , =1xy??????cosintte??????2xy???sincotet?????所以方程組的解為= ()xty??????csitte?????t???12C???3．求解下列方程組： （1） （2） ??????xy2? ???????zyxz2?..（1）解 方程組的系數(shù)陣為 . 12A?????3???特征方程為: det(A- E)= =??2450??特征根為 12,???ii當(dāng) 時(shí), 其中 a, b 滿足( = 0,12i?()1itxey????????????1i???????ab???即 ()0iab??????第一個(gè)方程 有(1)xi2(1)0ib???令 ，則a?b于是由 2()(cosin)ttetyi????????????解得通解 = .)(xt2sitt????csit?12C??????（2） 解 系數(shù)陣為12A??????特征方程為: det(A- E)= = .?1??(1)2(3)0???特征根為 .123,,?通解解為 .23123()0tttttcxteyzt????????????4．求解下列方程組：（1） （2）??????ytx3d??????2etxyt?..（1）解 方程組的系數(shù)陣為 ，其特征方程為：30A????1???det(A- E)= = .??3?2()?特征根為 , 方程組有如下形式的解: 12? 312()txre??321()tyre??代入原方程組有33121212()()tt t trer?????消去 得 3te1220tr?令 , 則 12r13txe?3ty令 , 則 ?rt0所以方程組的解為3312()ttxteCy????????????????（2）解 首先求出相應(yīng)齊次線性方程組的通解. 對應(yīng)齊次方程的系數(shù)陣為 .01A???????其特征方程為： det(A- E)= = .?1?(1)0???特征根為 12,?當(dāng) 時(shí)， ，其中 a, b 滿足(A- E) = =0, 則有 a b = 01???????yxte1 ?ab??????1????b????取 a = b =1, 則得一特解 ?1t同理,當(dāng) 時(shí)， 21????????????????e2tyx所以對應(yīng)齊次線性方程組的通解為 12()ttxtecy???????????????然后運(yùn)用常數(shù)變易法計(jì)算原方程組的一個(gè)特解...將 代入原方程組，得 12()()ttxtcey??????? 212()ttce????????解得 .212()[()]??????ttttttece原方程組的特解為 2122 1()() [()].1????????????????????????????????????ttttt tttttttt ecxteey ee所以原方程組的通解為 2121() .???????????????????tttt ttecxtey5．已知方程 的一個(gè)解 ，求其通解．01)ln1(2??????yxyx xyln1?解 由通解公式 ， ，*()121pxdce??11l,()ln)pxx??()* *(ln)1 12 2121[ ](l)ln[](()ndxpxdyceyyxcc?? ??????6．試求下列 n 階常系數(shù)線性齊次方程的通解（1） （2）029???yy 0)4(??y（1） 解 特征方程為: 290???特征根為: 。它們對應(yīng)的解為 :124,5?45,xe?方程通解為: .xxyce??..（2） 解 特征方程為: 410???特征根為: 1,23,42ii????它們對應(yīng)的解為: 2222cos,sin,cos,sinxxxxeeee??方程通解為:.2 21234(i)(i)2x xyccx????7．試求下述各方程滿足給定的初始條件的解：（1） ， ， 04??yy4)2(?0)(?y（2） ， ，?5（1） 解 特征方程為: .2??特征根為: ，方程通解為 : 1,2?212()xyec??由初始條件有: ,解得 .24130c????428???所以方程的初值解為: .24(1)xyeex???（2）解 特征方程為: .0?特征根為: ，方程通解為 : 120, 12xyce??由初始條件有: ,解得 .25c??????1275???所以方程的初值解為: .xye?8．求下列 n 階常系數(shù)線性非齊次方程的通解：（1） 8732?????xy（2） cos10（1）解 由于 ， ，2?12,7??故齊次方程的通解為 .712xxyce?..由于 不是特征根，故已知方程有形如 的特解.0??21yAxBC??將它代入原方程，得, ，3976,,43ABC?所求通解為 .7212xxycex?（2）解 由于 ，120,,1ii??????.12(cosn)xyex?因?yàn)?不是特征根，故已知方程有形如2ii???1121()cs()siyAxBxABx??的特解．將上式代入原方程，可得 ，112239,,,268369???所求通解為.12 1(cosin)()cos()sin2683xyexxx????三、證明題1．設(shè) 矩陣函數(shù) ， 在（a, b）上連續(xù)，試證明，若方程組n?)(1tA2t與 有相同的基本解組，則 ? ．XA)(dtt?d2t?)(1tA2t．證明 設(shè) 為基本解矩陣, 因?yàn)榛窘饩仃囀强赡娴?故有 )(d)(211tAtXt??于是 .21tA?2．設(shè)在方程 中， 在區(qū)間 上連續(xù)且恒不為零，試證它0)(????yxqpy)(xpI的任意兩個(gè)線性無關(guān)解的朗斯基行列式是在區(qū)間 上嚴(yán)格單調(diào)函數(shù)．證明 設(shè) w(x)是方程的任意兩個(gè)線性無關(guān)解的朗斯基行列式，則 且?,()0xIw??，有 ， .又因?yàn)?在區(qū)?,I?0x?x0－ p(t)dw()=e0()()xptdwpe????間 上連續(xù)且恒不為零,從而對 , 或 ,所以, 在 上恒正或I??0x?()??I..恒負(fù),即 w(x)為嚴(yán)格單調(diào)函數(shù).3．試證明：二階線性齊次方程的任意兩個(gè)線性無關(guān)解組的朗斯基行列式之比是一個(gè)不為零的常數(shù)．證明 設(shè)兩個(gè)線性的解組的朗斯基行列式分別為， ，且 ，0()11()xptdwxe???0()22)(xptdwe???1020(),()wx?所以有 .120x?四、應(yīng)用題1．一質(zhì)量為 m 的質(zhì)點(diǎn)由靜止開始沉入液體中，當(dāng)下沉?xí)r，液體的反作用與下沉的速度成正比，求此質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動規(guī)律。解 設(shè)液體的反作用與質(zhì)點(diǎn)速度的比例系數(shù)為 k則指點(diǎn)的運(yùn)動滿足方程： xmg???即kxgm??? *（ ）則(*)所對應(yīng)的齊次方程的通解為： ktmxc-=e又 是齊次方程的特征根,故特解形式為： ?=0AtB??1代入(*)式得： kgAgmk??? 所以ktxcB?-e由 得(0)??=,22gmckk??, 故21tmgxtk???????- e