數(shù)學(xué)人教A版必修五優(yōu)化練習(xí)：第二章 章末優(yōu)化總結(jié) 含解析

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1、 人教版高中數(shù)學(xué)必修精品教學(xué)資料 章末檢測(cè)(二)　數(shù)列 時(shí)間：120分鐘　滿分：150分 一、選擇題(本大題共12小題,每小題5分,共60分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中,只有一項(xiàng)是符合題目要求的) 1．在等差數(shù)列{an}中,a3＝－6,a7＝a5＋4,則a1等于(　　) A．－10　　　　　　　　 B．－2 C．2 D．10 解析：設(shè)公差為d,∴a7－a5＝2d＝4,∴d＝2,又a3＝a1＋2d,∴－6＝a1＋4,∴a1＝－10. 答案：A 2．在等比數(shù)列{an}中,a4,a12是方程x2＋3x＋1＝0的兩根,則a8等于(　　) A．1 B．－1 C．1 D．不能確

2、定 解析：由題意得,a4＋a12＝－3<0,a4a12＝1>0, ∴a4<0,a12<0,∴a8<0, 又∵a＝a4a12＝1,∴a8＝－1. 答案：B 3．已知數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和Sn＝n2＋n,那么它的通項(xiàng)公式an＝(　　) A．n B．2n C．2n＋1 D．n＋1 解析：當(dāng)n≥2時(shí),an＝Sn－Sn－1＝n2＋n－[(n－1)2＋(n－1)]＝2n,當(dāng)n＝1時(shí),a1＝S1＝2,也滿足上式,故數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式為an＝2n. 答案：B 4．若數(shù)列{an}滿足an＝qn(q>0,n∈N*),則以下命題正確的是(　　) ①{a2n}是等比數(shù)列；②是等比數(shù)列；

3、 ③{lg an}是等差數(shù)列；④{lg a}是等差數(shù)列． A．①③ B．③④ C．②③④ D．①②③④ 解析：因?yàn)閍n＝qn(q>0,n∈N*),所以{an}是等比數(shù)列,因此{(lán)a2n},是等比數(shù)列,{lg an},{lg a}是等差數(shù)列． 答案：D 5．已知數(shù)列2,x,y,3為等差數(shù)列,數(shù)列2,m,n,3為等比數(shù)列,則x＋y＋mn的值為(　　) A．16 B．11 C．－11 D．11 解析：根據(jù)等差中項(xiàng)和等比中項(xiàng)知x＋y＝5,mn＝6,所以x＋y＋mn＝11,故選B. 答案：B 6．已知Sn＝1－2＋3－4＋5－6＋…＋(－1)n＋1n,則S6＋S10＋S15等于

4、(　　) A．－5 B．－1 C．0 D．6 解析：由題意可得S6＝－3,S10＝－5,S15＝－7＋15＝8,所以S6＋S10＋S15＝0. 答案：C 7．已知等比數(shù)列{an}的公比為正數(shù),且a3a7＝4a,a2＝2,則a1＝(　　) A．1 B. C．2 D. 解析：設(shè){an}的公比為q,則有a1q2a1q6＝4aq6,解得q＝2(舍去q＝－2),所以由a2＝a1q＝2,得a1＝1.故選A. 答案：A 8．設(shè)等差數(shù)列{an}的公差d不為0,a1＝9d.若ak是a1與a2k的等比中項(xiàng),則k等于(　　) A．2 B．4 C．6 D．8 解析：∵a＝a1a2

5、k,∴(8＋k)2d2＝9d(8＋2k)d,∴k＝4(舍去k＝－2)． 答案：B 9．計(jì)算機(jī)的成本不斷降低,若每隔3年計(jì)算機(jī)價(jià)格降低,現(xiàn)在價(jià)格為8 100元的計(jì)算機(jī),9年后的價(jià)格可降為(　　) A．900元 B．1 800元 C．2 400元 D．3 600元 解析：把每次降價(jià)后的價(jià)格看做一個(gè)等比數(shù)列,首項(xiàng)為a1,公比為1－＝,則a4＝8 1002＝2 400. 答案：C 10．一個(gè)凸多邊形的內(nèi)角成等差數(shù)列,其中最小的內(nèi)角為120,公差為5,那么這個(gè)多邊形的邊數(shù)n等于(　　) A．12 B．16 C．9 D．16或9 解析：由題意得,120n＋n(n－1)5＝180

6、(n－2),化簡(jiǎn)整理,得n2－25n＋144＝0, 解得n＝9或n＝16.當(dāng)n＝16時(shí),最大角為120＋(16－1)5＝195>180,不合題意．∴n≠16.故選C. 答案：C 11．設(shè){an}是公差為－2的等差數(shù)列,若a1＋a4＋a7＋…＋a97＝50,則a3＋a6＋a9＋…＋a99的值為(　　) A．－78 B．－82 C．－148 D．－182 解析：∵a1＋a4＋a7＋…＋a97＝50,d＝－2,∴a3＋a6＋a9＋…＋a99＝(a1＋2d)＋(a4＋2d)＋(a7＋2d)＋…＋(a97＋2d)＝(a1＋a4＋a7＋…＋a97)＋332d＝50＋33(－4)＝－82.

7、 答案：B 12．定義：稱為n個(gè)正數(shù)p1,p2,…,pn的“均倒數(shù)”,若數(shù)列{an}的前n項(xiàng)的“均倒數(shù)”為,則數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式為(　　) A．2n－1 B．4n－1 C．4n－3 D．4n－5 解析：設(shè)數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn,由已知得＝＝,∴Sn＝n(2n－1)＝2n2－n.當(dāng)n≥2時(shí),an＝Sn－Sn－1＝2n2－n－[2(n－1)2－(n－1)]＝4n－3,當(dāng)n＝1時(shí),a1＝S1＝212－1＝1適合上式,∴an＝4n－3. 答案：C 二、填空題(本大題共4小題,每小題4分,共16分,把答案填在題中的橫線上) 13．已知Sn是等比數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和,a5＝－

8、2,a8＝16,則S6等于________． 解析：∵{an}為等比數(shù)列,∴a8＝a5q3,∴q3＝＝－8,∴q＝－2.又a5＝a1q4,∴a1＝＝－,∴S6＝＝＝. 答案： 14．設(shè)Sn為等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和,若S3＝3,S6＝24,則a9＝________. 解析：設(shè)等差數(shù)列公差為d,則S3＝3a1＋d＝3a1＋3d＝3,a1＋d＝1,① 又S6＝6a1＋d＝6a1＋15d＝24,即2a1＋5d＝8.② 聯(lián)立①②兩式得a1＝－1,d＝2,故a9＝a1＋8d＝－1＋82＝15. 答案：15 15．在等差數(shù)列{an}中,Sn為它的前n項(xiàng)和,若a1>0,S16>0,S17<

9、0,則當(dāng)n＝________時(shí),Sn最大． 解析：∵, ∴a8>0,而a1>0, ∴數(shù)列{an}是一個(gè)前8項(xiàng)均為正,從第9項(xiàng)起為負(fù)值的等差數(shù)列,從而n＝8時(shí),Sn最大． 答案：8 16．已知函數(shù)f(x)＝xa的圖象過點(diǎn)(4,2),令an＝,n∈N*.記數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn,則S2 016＝________. 解析：由f(4)＝2可得4α＝2,解得α＝, 則f(x)＝x. ∴an＝＝＝－, S2 016＝a1＋a2＋a3＋…＋a2 016 ＝(－)＋(－)＋(－)＋…＋(－) ＝－1. 答案：－1 三、解答題(本大題共有6小題,共74分,解答應(yīng)寫出文字說明、證明

10、過程或演算步驟) 17．(12分)在等比數(shù)列{an}中,a2＝3,a5＝81. (1)求an； (2)設(shè)bn＝log3an,求數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)和Sn. 解析：(1)設(shè){an}的公比為q, 依題意得解得 因此an＝3n－1. (2)因?yàn)閎n＝log3an＝n－1,且為等差數(shù)列, 所以數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)和Sn＝＝. 18．(12分)已知等差數(shù)列{an},a6＝5,a3＋a8＝5. (1)求{an}的通項(xiàng)公式an； (2)若數(shù)列{bn}滿足bn＝a2n－1,求{bn}的通項(xiàng)公式bn. 解析：(1)設(shè){an}的首項(xiàng)是a1,公差為d, 依題意得 ∴ ∴an＝5n－25

11、(n∈N*)． (2)∵an＝5n－25, ∴bn＝a2n－1＝5(2n－1)－25＝10n－30, ∴bn＝10n－30(n∈N*)． 19．(12分)已知等差數(shù)列{an}滿足a1＋a2＝10,a4－a3＝2. (1)求{an}的通項(xiàng)公式； (2)設(shè)等比數(shù)列{bn}滿足b2＝a3,b3＝a7.問：b6與數(shù)列{an}的第幾項(xiàng)相等？ 解析：(1)設(shè)等差數(shù)列{an}的公差為d. 因?yàn)閍4－a3＝2,所以d＝2. 又因?yàn)閍1＋a2＝10,所以2a1＋d＝10,故a1＝4. 所以an＝4＋2(n－1)＝2n＋2(n∈N*)． (2)設(shè)等比數(shù)列{bn}的公比為q. 因?yàn)閎2＝a3

12、＝8,b3＝a7＝16, 所以q＝2,b1＝4. 所以b6＝426－1＝128. 由128＝2n＋2,得n＝63. 所以b6與數(shù)列{an}的第63項(xiàng)相等． 20．(12分)已知等差數(shù)列{an}滿足：a3＝7,a5＋a7＝26,{an}的前n項(xiàng)和為Sn. (1)求an及Sn； (2)令bn＝(n∈N*),求數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)和Tn. 解析：(1)設(shè)等差數(shù)列{an}的公差為d, 由題意,得,解得. ∴an＝a1＋(n－1)d＝3＋2(n－1)＝2n＋1. Sn＝na1＋n(n－1)d＝3n＋n(n－1)2＝n2＋2n. (2)由(1)知an＝2n＋1, ∴bn＝＝＝

13、＝, ∴Tn＝ ＝＝. 21．(13分)設(shè)數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn,其中an≠0,a1為常數(shù),且－a1,Sn,an＋1成等差數(shù)列． (1)求{an}的通項(xiàng)公式； (2)設(shè)bn＝1－Sn,問：是否存在a1,使數(shù)列{bn}為等比數(shù)列？若存在,求出a1的值；若不存在,請(qǐng)說明理由． 解析：(1)依題意,得2Sn＝an＋1－a1, 當(dāng)n≥2時(shí),有 兩式相減,得an＋1＝3an(n≥2)． 又因?yàn)閍2＝2S1＋a1＝3a1,an≠0, 所以數(shù)列{an}是首項(xiàng)為a1,公比為3的等比數(shù)列． 因此,an＝a13n－1(n∈N*)． (2)因?yàn)镾n＝＝a13n－a1, bn＝1－Sn

14、＝1＋a1－a13n. 要使{bn}為等比數(shù)列,當(dāng)且僅當(dāng)1＋a1＝0,即a1＝－2, 所以存在a1＝－2,使數(shù)列{bn}為等比數(shù)列． 22．(13分)求和：x＋3x2＋5x3＋…＋(2n－1)xn(x≠0)． 解析：設(shè)Sn＝x＋3x2＋5x3＋…＋(2n－1)xn, ∴xSn＝x2＋3x3＋5x4＋…＋(2n－3)xn＋(2n－1)xn＋1. ∴(1－x)Sn＝x＋2x2＋2x3＋…＋2xn－(2n－1)xn＋1 ＝2(x＋x2＋x3＋…＋xn)－x－(2n－1)xn＋1 ＝2－x－(2n－1)xn＋1(x≠1), 當(dāng)x≠1時(shí),1－x≠0, Sn＝－. 當(dāng)x＝1時(shí),Sn＝1＋3＋5＋…＋(2n－1)＝＝n2. 所以Sn＝