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1、
高考數(shù)學(xué)精品復(fù)習(xí)資料
2019.5
“數(shù)列”類題目的審題技巧與解題規(guī)范
[對(duì)應(yīng)學(xué)生用書P86]
[技法概述]
有的數(shù)學(xué)題條件并不明顯，而寓于概念、 存于性質(zhì)或含于圖中，審題時(shí)，就要注意深入挖掘這些隱含條件和信息，解題時(shí)，可避免因忽視隱含條件而出現(xiàn)錯(cuò)誤．
[適用題型]
在高考中，有以下幾種解答題用到此種審題方法：
1．利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)性質(zhì)時(shí)，應(yīng)注意函數(shù)定義域；
2．求等比數(shù)列前n項(xiàng)和應(yīng)注意公比q的值，研究數(shù)列的性質(zhì)時(shí)，應(yīng)注意n的取值；
3．觀察三視圖時(shí)，應(yīng)注意平行與垂直.
[典例] (20xx湖北高考
2、)(本題滿分12分)已知Sn是等比數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和，S4，S2，S3成等差數(shù)列，且a2＋a3＋a4＝－18.
(1)求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式；
(2)是否存在正整數(shù)n，使得Sn≥2 013？若存在，求出符合條件的所有n的集合；若不存在，說(shuō)明理由．
1.數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn＝2n＋1－2，數(shù)列{bn}是首項(xiàng)為a1，公差為d(d≠0)的等差數(shù)列，且b1，b3，b11成等比數(shù)列．
(1)求數(shù)列{an}與{bn}的通項(xiàng)公式；
(2)設(shè)cn＝，求數(shù)列{cn}的前n項(xiàng)和Tn.
解：(1)當(dāng)n≥2時(shí)，an＝Sn－Sn－1＝2n＋1－2n＝2n，
3、
又a1＝S1＝21＋1－2＝2＝21，也滿足上式，
所以數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式為an＝2n.
b1＝a1＝2，設(shè)公差為d，則由b1，b3，b11成等比數(shù)列，
得(2＋2d)2＝2(2＋10d)，
解得d＝0(舍去)或d＝3，
所以數(shù)列{bn}的通項(xiàng)公式為bn＝3n－1.
(2)由(1)可得Tn＝＋＋＋…＋
＝＋＋＋…＋，
2Tn＝2＋＋＋…＋，
兩式相減得
Tn＝2＋＋＋…＋－，
Tn＝2＋－＝5－.
2．已知數(shù)列{an}滿足an＋1＝，且a1＝2.
(1)判斷數(shù)列是否為等差數(shù)列，若是，請(qǐng)給予證明，若不是，請(qǐng)說(shuō)明理由；
(2)若bn＝n，求數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)和T
4、n.
解：(1)數(shù)列是等差數(shù)列，理由如下：
∵an＋1＝，an≠0，∴＝＋，
∴數(shù)列是首項(xiàng)為，公差為的等差數(shù)列．
(2)由(1)知，＝＋(n－1)＝，
bn＝n＝n＝(n＋1)n，
∴Tn＝2＋32＋43＋…＋(n＋1)n，①
Tn＝22＋33＋44＋…＋(n＋1)n＋1.②
①－②得Tn＝1＋2＋3＋…＋n－(n＋1)n＋1＝1＋－(n＋1)n＋1＝－，∴Tn＝3－.
3．(20xx皖南八校聯(lián)考)將數(shù)列{an}中所有的項(xiàng)按每一行比上一行多一項(xiàng)的規(guī)則排成如下數(shù)表：
a1
a2 a3
a4 a5 a6
a7 a8 a9 a10
……
記表中的第1列數(shù)a1，a2，a4
5、，a7，…構(gòu)成的數(shù)列為{bn}，b1＝a1＝1，Sn為數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)和，且滿足＝1(n≥2，n∈N＋)．
(1)證明數(shù)列是等差數(shù)列，并求數(shù)列{bn}的通項(xiàng)公式；
(2)上表中，若從第3行起，每一行中的數(shù)按從左到右的順序均構(gòu)成等比數(shù)列，且公比為同一個(gè)正數(shù)．當(dāng)a81＝－時(shí)，求上表中第k(k≥3)行所有項(xiàng)的和．
解：(1)由已知，當(dāng)n≥2時(shí)，＝1，
又bn＝Sn－Sn－1，所以＝1，
即＝1，所以－＝.
又S1＝b1＝a1＝1，
所以數(shù)列是首項(xiàng)為1，公差為的等差數(shù)列．
故＝1＋(n－1)＝，即Sn＝.
所以當(dāng)n≥2時(shí)，bn＝Sn－Sn－1＝－＝－.
因此bn＝
(2)設(shè)表中從第3行起，每行的公比都為q，且q>0.
因?yàn)?＋2＋…＋12＝＝78，
所以表中第1行至第12行含有數(shù)列{an}中的前78項(xiàng)，
故a81在表中第13行第3列，
因此a81＝b13q2＝－.又b13＝－，
所以q＝2(舍去負(fù)值)．
記表中第k(k≥3)行所有項(xiàng)的和為S，
則S＝＝－＝(1－2k)(k≥3)．
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