一輪優(yōu)化探究理數(shù)蘇教版練習:第七章 第四節(jié) 基本不等式 Word版含解析

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1、 高考數(shù)學精品復習資料 2019.5 一、填空題 1.已知00,b>0,則++2的最小值是________. 解析:++2≥2 +2≥4, 當且僅當a=b=1時

2、取“=”. 答案:4 4.不等式4x+a2x+1≥0對一切x∈R恒成立,則a的取值范圍是________. 解析:由題可得a≥--2x恒成立,由基本不等式可知--2x≤-2,所以a≥-2. 答案:[-2,+∞) 5.當x2-2x<8時,函數(shù)y=的最小值是________. 解析:由x2-2x<8,得-2

3、=”. 答案:3 7.設a>0,b>0,且不等式++≥0恒成立,則實數(shù)k的最小值等于________. 解析:由++≥0得k≥-,而=++2≥4(a=b時取等號),所以-≤-4,因此要使k≥-恒成立,應有k≥-4,即實數(shù)k的最小值等于-4. 答案:-4 8.已知m、n、s、t∈R+,m+n=2,+=9,其中m、n是常數(shù),且s+t的最小值是,滿足條件的點(m,n)是圓(x-2)2+(y-2)2=4中一弦的中點,則此弦所在的直線方程為________. 解析:因(s+t)(+)=m+n++≥m+n+2, 所以m+n+2=4, 從而mn=1,得m=n=1,即點(1,1), 而已知圓

4、的圓心為(2,2),所求弦的斜率為-1, 從而此弦的方程為x+y-2=0. 答案:x+y-2=0 9.從等腰直角三角形紙片ABC上,剪下如圖所示的兩個正方形,其中BC=2,∠A=90,則這兩個正方形的面積之和的最小值為________. 解析:設兩個正方形邊長分別為a,b,則由題意可得a+b=1,且≤a,b≤,S=a2+b2≥2()2=,當且僅當a=b=時取等號. 答案: 二、解答題 10.已知lg(3x)+lg y=lg(x+y+1). (1)求xy的最小值; (2)求x+y的最小值. 解析:由lg(3x)+lg y=lg(x+y+1),得 (1)∵x>0,y>0,

5、∴3xy=x+y+1≥2+1,∴3xy-2-1≥0, 即3()2-2-1≥0, ∴(3+1)(-1)≥0,∴≥1,∴xy≥1, 當且僅當x=y(tǒng)=1時,等號成立.∴xy的最小值為1. (2)∵x>0,y>0,∴x+y+1=3xy≤3()2, ∴3(x+y)2-4(x+y)-4≥0, ∴[3(x+y)+2][(x+y)-2]≥0,∴x+y≥2, 當且僅當x=y(tǒng)=1時取等號,∴x+y的最小值為2. 11.在銳角△ABC中,已知內角A、B、C所對的邊分別為a、b、c,向量m=(2sin (A+C),),n=(cos 2B,2cos2 -1),且向量m、n共線. (1)求角B的大?。?

6、 (2)如果b=1,求△ABC的面積S△ABC的最大值. 解析:(1)∵m∥n, ∴2sin (A+C)(2cos2 -1)-cos 2B=0. 又∵A+C=π-B, ∴2sin Bcos B=cos 2B,即sin 2B=cos 2B. ∴tan 2B=,又∵△ABC是銳角三角形,∴0

7、c≤. ∴△ABC的面積最大值為. 12.為了保護一件珍貴文物,博物館需要在一種無色玻璃的密封保護罩內充入保護氣體.假設博物館需要支付的總費用由兩部分組成:①保護罩的容積大于0.5立方米,罩內該種氣體的體積比保護罩的容積少0.5立方米,且每立方米氣體的費用為1千元;②需支付一定的保險費用,且支付的保險費用與保護罩容積成反比,當容積為2立方米時,支付的保險費用為8千元. (1)求博物館支付的總費用y(單位:千元)與保護罩的容積V(單位:立方米)之間的函數(shù)關系式; (2)求博物館支付的總費用y(單位:千元)的最小值; (3)如果要求保護罩為正四棱柱形狀,且保護罩的底面(不計厚度)正方形的

8、邊長不得少于1.1米,高規(guī)定為2米. 當博物館需支付的總費用不超過8千元時,求保護罩的底面積的最小值(可能用到的數(shù)據(jù):≈2.87,結果保留一位小數(shù)). 解析:(1)依據(jù)題意,當保護罩的容積等于V時,需支付的保險費用為(其中k為比例系數(shù),k>0), 且當V=2時,=8,所以k=16, 所以y=1(V-0.5)+=V+-0.5(V>0.5). (2)y=V+-0.5≥7.5, 并且僅當V=,即V=4時等號成立, 所以,博物館支付的總費用的最小值為7.5千元. (3)設S(單位:平方米)為底面正方形的面積,由題意得不等式:V+-0.5≤8,V=2S, 代入整理得4S2-17S+16≤0, 解得1.41≈≤S≤≈2.84. 又底面正方形的面積最小不得少于1.11.1=1.21,所以,保護罩的底面積的最小值是1.4平方米.

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