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1、
高考數(shù)學(xué)精品復(fù)習(xí)資料
2019.5
第39練 數(shù)列的前n項(xiàng)和
訓(xùn)練目標(biāo)
(1)求數(shù)列前n項(xiàng)和的常用方法;(2)數(shù)列通項(xiàng)求和的綜合應(yīng)用.
訓(xùn)練題型
(1)一般數(shù)列求和;(2)數(shù)列知識(shí)的綜合應(yīng)用.
解題策略
數(shù)列求和的常用方法:(1)公式法;(2)分組法;(3)并項(xiàng)法;(4)倒序相加法;
(5)裂項(xiàng)相消法;(6)錯(cuò)位相減法.
一、選擇題
1.(20xx·東營(yíng)期中)若數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式是an=(-1)n·(3n-2),則a1+a2+…+a10等于( )
A.15 B.12
C.-
2、12 D.-15
2.(20xx·山西晉中聯(lián)考)已知數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式是an=,其前n項(xiàng)和Sn=,則項(xiàng)數(shù)n等于( )
A.13 B.10
C.9 D.6
3.(20xx·河南中原名校聯(lián)考二)已知函數(shù)f(x)=x2+ax的圖象在點(diǎn)A(0,f(0))處的切線l與直線2x-y+2=0平行,若數(shù)列{}的前n項(xiàng)和為Sn,則S20的值為( )
A. B.
C. D.
4.(20xx·衡水期中)1+(1+)+(1++)+…+(1+++…+)的值為( )
A.18+ B.20+
C.22+ D.18+
5.?dāng)?shù)列{an}滿足a1=1,且對(duì)
3、于任意的n∈N*都有an+1=a1+an+n,則++…+等于( )
A. B.
C. D.
二、填空題
6.(20xx·合肥質(zhì)檢)已知數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn,若Sn=2an-2n,則Sn=________.
7.設(shè)f(x)是定義在R上恒不為零的函數(shù),且對(duì)任意的x,y∈R,都有f(x)·f(y)=f(x+y),若a1=,an=f(n)(n∈N*),則數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和Sn的取值范圍是________________.
8.?dāng)?shù)列{an}的通項(xiàng)公式an=ncos+1,前n項(xiàng)和為Sn,則S2 012=________.
9.(20xx·云南師大附
4、中月考)設(shè)S=+++…+,則不大于S的最大整數(shù)[S]=________.
三、解答題
10.正項(xiàng)數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和Sn滿足:S-(n2+n-1)Sn-(n2+n)=0.
(1)求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式an;
(2)令bn=,數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)和為T(mén)n,證明:對(duì)于任意的n∈N*,都有Tn<.
答案精析
1.A [依題意可知a1+a2=3,a3+a4=3,…,a9+a10=3,
∴a1+a2+…+a10=5×3=15.
故選A.]
2.D [∵數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式是an==1-,
∴Sn=(1-)
5、+(1-)+(1-)+…+(1-)
=n-(+++…+)
=n-
=n-1+.
由Sn==n-1+,可得n=6.故選D.]
3.A [因?yàn)閒(x)=x2+ax,所以f′(x)=2x+a,
又函數(shù)f(x)=x2+ax的圖象在點(diǎn)A(0,f(0))處的切線l與直線2x-y+2=0平行,
所以f′(0)=a=2,
所以f(x)=x2+2x,
所以==
=(-),
所以S20=[(1-)+(-)+(-)+…+(-)]=(1+--)=.
故選A.]
4.B [設(shè)an=1+++…+
==2(1-)
=2-,
∴Sn=2n-
=2n-2(1-)=2n-2+,
∴S11=20
6、+,故選B.]
5.B [因?yàn)閍n+1=a1+an+n=1+an+n,
所以an+1-an=n+1.
用累加法:an=a1+(a2-a1)+…+(an-an-1)=1+2+…+n=,
所以==2.
所以++…+
=2(1-+-+-+…+-)
=2=,故選B.]
6.n·2n
解析 ∵Sn=2an-2n=2(Sn-Sn-1)-2n,
即Sn=2Sn-1+2n(n≥2),
∴=+1=+1,
∴-=1,且S1=a1=2,∴=1,
∴數(shù)列{}是首項(xiàng)為1,公差為1的等差數(shù)列,∴=n,∴Sn=n·2n.
7.[,1)
解析 由已知可得a1=f(1)=,
7、a2=f(2)=[f(1)]2=()2,
a3=f(3)=f(2)·f(1)=[f(1)]3=()3,…,
an=f(n)=[f(1)]n=()n,
所以Sn=+()2+()3+…+()n==1-()n,
因?yàn)閚∈N*,所以≤Sn<1.
8.3 018
解析 由于f(n)=cos的值具有周期性,所以可從數(shù)列的周期性及從頭開(kāi)始連續(xù)四項(xiàng)的和為定值入手解決.
當(dāng)n=4k+1(k∈N)時(shí),an=(4k+1)cosπ+1=1,
當(dāng)n=4k+2(k∈N)時(shí),
an=(4k+2)cosπ+1=-(4k+2)+1=-4k-1,
當(dāng)n=4k+3(k∈N)時(shí),an=(4k+3)
8、cosπ+1=1,
當(dāng)n=4k+4(k∈N)時(shí),an=(4k+4)cosπ+1=(4k+4)+1=4k+5,
∴a4k+1+a4k+2+a4k+3+a4k+4=1-4k-1+1+4k+5=6.
∴S2 012=a1+a2+a3+a4+a5+…+a2 012
=(a1+a2+a3+a4)+(a5+a6+a7+a8)+…+(a2 009+a2 010+a2 011+a2 012)
=6×503=3 018.
9.2 014
解析 ∵
=
==1+(-),
∴S=1+(-)+1+(-)+…+1+(-)=2 015-,故[S]=2 014.
10.(1)解 由S-(n2+n-1)Sn-(n2+n)=0,得[Sn-(n2+n)](Sn+1)=0,
由于{an}是正項(xiàng)數(shù)列,所以Sn+1>0.
所以Sn=n2+n(n∈N*).
n≥2時(shí),an=Sn-Sn-1=2n,
n=1時(shí),a1=S1=2適合上式.
所以an=2n(n∈N*).
(2)證明 由an=2n(n∈N*),
得bn==
=,
Tn=[+++…+
+]
=
<=(n∈N*).
即對(duì)于任意的n∈N*,都有Tn<.