7、1,
∴kl1=-1,
∴直線l1的方程為y-3=-(x-1),即x+y-4=0.
答案:x+y-4=0
三、解答題
11.(20xx哈爾濱模擬)經(jīng)過(guò)點(diǎn)(-2,2),且與兩坐標(biāo)軸所圍成的三角形面積為1.求直線l的方程.
解:法一 由題知直線在兩坐標(biāo)軸上的截距不為0,
設(shè)直線方程為xa+yb=1,
由題意有-2a+2b=1,12|ab|=1,
解得a=2,b=1,或a=-1,b=-2.
∴直線方程為x2+y=1或x-1+y-2=1,
即x+2y-2=0或2x+y+2=0.
法二 由題知直線l斜率存在且不為0,
設(shè)直線l:y-2=k(x+2).
當(dāng)x=0時(shí),y=2k+2
8、,當(dāng)y=0時(shí),x=-2k-2.
則12|(2k+2)(-2k-2)|=1,
解得k=-12或k=-2.
即直線l方程為2x+y+2=0或x+2y-2=0.
12.已知兩直線l1:x+ysin α-1=0和l2:2xsin α+y+1=0,試求α的值,使(1)l1∥l2;(2)l1⊥l2.
解:(1)法一 當(dāng)sin α=0時(shí),直線l1的斜率不存在,
l2的斜率為0,顯然l1不平行于l2.
當(dāng)sin α≠0時(shí),kl1=-1sinα,kl2=-2sin α.
要使l1∥l2,需-1sinα=-2sin α,
即sin α=22,∴α=kππ4,k∈Z.
故當(dāng)α=kππ4,k∈Z時(shí)
9、,l1∥l2.
法二 由l1∥l2,得2sin2α-1=0,1+sinα≠0,∴sin α=22,
∴α=kππ4,k∈Z.
故當(dāng)α=kππ4,k∈Z時(shí),l1∥l2.
(2)∵l1⊥l2,∴2sin α+sin α=0,即sin α=0.
∴α=kπ,k∈Z.
故當(dāng)α=kπ,k∈Z時(shí), l1⊥l2.
13.設(shè)直線l1:y=k1x+1,l2:y=k2x-1,其中實(shí)數(shù)k1,k2滿足k1k2+2=0.
(1)證明l1與l2相交;
(2)證明l1與l2的交點(diǎn)在橢圓2x2+y2=1上.
證明:(1)假設(shè)l1與l2不相交,則l1∥l2即k1=k2,代入k1k2+2=0,得k12+2=0
10、,這與k1為實(shí)數(shù)的事實(shí)相矛盾,從而k1≠k2,即l1與l2相交.
(2)法一 由方程組y=k1x+1,y=k2x-1解得交點(diǎn)P的坐標(biāo)為(2k2-k1,k2+k1k2-k1),
而2x2+y2=2(2k2-k1)2+(k2+k1k2-k1)2
=8+k22+k12+2k1k2k22+k12-2k1k2
=k12+k22+4k12+k22+4
=1.
即P(x,y)在橢圓2x2+y2=1上.
即l1與l2的交點(diǎn)在橢圓2x2+y2=1上.
法二 交點(diǎn)P的坐標(biāo)(x,y)滿足y-1=k1x,y+1=k2x,故知x≠0.
從而k1=y-1x,k2=y+1x.
代入k1k2+2=0,得y
11、-1xy+1x+2=0,
整理后,
得2x2+y2=1.
所以交點(diǎn)P在橢圓2x2+y2=1上.
B組
14.若直線l:y=kx-3與直線2x+3y-6=0的交點(diǎn)位于第一象限,則直線l的傾斜角的取值范圍是( B )
(A)[π6,π3) (B)(π6,π2)
(C)(π3,π2) (D)[π3,π2]
解析:由題意,可作直線2x+3y-6=0的圖象,如圖所示,則直線與x軸、y軸交點(diǎn)分別為A(3,0),B(0,2),又直線l過(guò)定點(diǎn)(0,-3),由題知直線l與線段AB相交(交點(diǎn)不含端點(diǎn)),從圖中可以看出,直線l的傾斜角的取值范圍為(π6,π2).故選B.
15.如圖所示,已知A(4
12、,0)、B(0,4),從點(diǎn)P(2,0)射出的光線經(jīng)直線AB反射后再射到直線OB上,最后經(jīng)直線OB反射后又回到P點(diǎn),則光線所經(jīng)過(guò)的路程是( A )
(A)210 (B)6 (C)33 (D)25
解析:由題意知點(diǎn)P關(guān)于直線AB的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)為D(4,2),關(guān)于y軸的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)為C(-2,0),
則光線所經(jīng)過(guò)的路程為|CD|=210.故選A.
16.過(guò)點(diǎn)(2,1)且在x軸上截距與在y軸上截距之和為6的直線方程為 .
解析:由題意知截距均不為零.
設(shè)直線方程為xa+yb=1,
由a+b=6,2a+1b=1,解得a=3,b=3或a=4,b=2.
故所求直線方程為x+y-3=0或x+2y-4=0.
答案:x+y-3=0或x+2y-4=0