2015屆高考數(shù)學(xué)總復(fù)習(xí) 基礎(chǔ)知識(shí)名師講義 第四章 第三節(jié)平面向量的數(shù)量積 文

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1、 三節(jié) 平面向量的數(shù)量積 1.理解平面向量數(shù)量積的含義及其物理意義. 2.了解平面向量的數(shù)量積與向量投影的關(guān)系. 3.掌握數(shù)量積的坐標(biāo)表達(dá)式,會(huì)進(jìn)行平面向量數(shù)量積的運(yùn)算4.能運(yùn)用數(shù)量積表示兩個(gè)向量的夾角,會(huì)用數(shù)量積判斷兩個(gè)平面向量的垂直關(guān)系. 知識(shí)梳理 一、平面向量的數(shù)量積的定義 1.向量a,b的夾角:已知兩個(gè)非零向量a,b,過(guò)點(diǎn)O作=a,=b,則∠AOB=θ(0°≤θ≤180°)叫做向量a,b的夾角. 當(dāng)且僅當(dāng)兩個(gè)非零向量a,b同方向時(shí),θ=0°,當(dāng)且僅當(dāng)a,b反方向時(shí),θ=180°,同時(shí)零向量與其他任何非零

2、向量的夾角是任意的. 2.a(chǎn)與b垂直:如果a,b的夾角為90°,則稱a與b垂直,記作a⊥b. 3.a(chǎn)與b的數(shù)量積:兩個(gè)非零向量a,b,它們的夾角為θ,則cos θ叫做a與b的數(shù)量積(或內(nèi)積),記作a·b,即a·b=cos θ,規(guī)定0·a=0,非零向量a與b當(dāng)且僅當(dāng)a⊥b時(shí),θ=90°,這時(shí)a·b=0. 4.b在a方向上的投影:|OP|=cos θ∈R(注意是射影). 5.a(chǎn)·b的幾何意義:a·b等于a的長(zhǎng)度與b在a方向上的投影的乘積. 1 / 6 二、平面向量數(shù)量積的性質(zhì) 設(shè)a,b是兩個(gè)非零向

3、量,e是單位向量,于是有: 1.e·a=a·e=cos θ. 2.a(chǎn)⊥b?a·b=0. 3.當(dāng)a與b同向時(shí),a·b=;當(dāng)a與b反向時(shí),a·b=-,特別地,a·a=a2=2,即|a|=. 4.cos θ=. 5.≤. 三、平面向量數(shù)量積的運(yùn)算律 1.交換律成立:a·b=b·a. 2.結(jié)合律成立:·b=λ=a·(λ∈R). 3.分配律成立:·c=a·c±b·c=c·. 四、平面向量數(shù)量積的坐標(biāo)表示 1.若a=(x1,y1),b=

4、(x2,y2),則a·b=x1x2+y1y2. 2.若a=(x,y),則|a|2=a·a=x2+y2,=. 3.若A(x1,y1),B(x2,y2),則=. 4.若a=(x1,y1),b=(x2,y2),則a⊥b?x1x2+y1y2=0. 5.若a=(x1,y1),b=(x2,y2),則a∥b?x1y2-x2y1=0. 6.若a=(x1,y1),b=(x2,y2),則cos θ = . 基礎(chǔ)自測(cè) 1.(2013·遼寧卷)已知點(diǎn)A(1,3),B(4,-1),則與向量AB同方向的單位向量為(  ) A. B. C.

5、 D. 解析:=-=(4,-1)-(1,3)=(3,-4),∴與同方向的單位向量為=. 答案:A 2.(2013·佛山一模)已知a=(1,2),b=(0,1),c=(k,-2),若(a+2b)⊥c,則k=(  ) A.2 B.-2 C.8 D.-8 解析:∵a=(1,2),b=(0,1),∴a+2b=(1,4), 又因?yàn)?a+2b)⊥c,所以(a+2b)·c=k-8=0, 解得k=8,故選C. 答案:C 3.(2013·山東卷)在平面直角坐標(biāo)系xOy中,已知=(-1,t),=(2,2),若∠A

6、BO=90°,則實(shí)數(shù)t的值為________. 解析:因?yàn)椤螦BO=90°,即⊥, 所以·=(-)·=(3,2-t)·(2,2)=6+4-2t=0,解得:t=5. 答案:5 4.已知平面向量α,β,=1,=2,α⊥(α-2β),則的值是________. 答案: 1.(2013·陜西卷)設(shè)a,b為向量,則“|a·b|=|a||b|”是“a∥b”的(  ) A.充分不必要條件 B.必要不充分條件 C.充要條件 D.既不充分也不必要條件 解析:a·b=|a|&#

7、183;|b|·cos θ. 若|a·b|=|a|·|b|?cos θ=±1,則向量a與b的夾角為0或π,即a∥b為真; 相反,若a∥b,則向量a與b的夾角為0或π, 即|a·b|=|a|·|b|. 答案:C 2.(2013·福建卷)在四邊形ABCD中,=(1,2),=(-4,2),則該四邊形的面積為(  ) A. B.2 C.5 D.10 解析:因?yàn)?#183;=1×(-4)+2×2=0,所以⊥,所以四邊形的面積為==5,故選C. 答案:C 高考

8、測(cè)驗(yàn) 1.(2012·廣州一模)已知兩個(gè)非零向量a與b,定義|a×b|=|a||b|sin θ,其中θ為a與b的夾角.若a=(-3,4),b=(0,2),則|a×b|的值為(  ) A.-8 B.-6 C.8 D.6 解析:由已知可得|a|=5,|b|=2,則cos θ===,∴sin θ=.∴|a×b|=|a||b|sin θ=5×2×=6.故選D. 答案:D 2.(2013·韶關(guān)二模)已知平面向量a,b,|a|=1,|b|=2,a⊥(a-b);則cos〈a,b〉的值是________. 解析:由題意可得a·(a-b)=a2-a·b=0, 即1-1×2×cos〈a,b〉=0, 解得cos〈a,b〉=. 答案: 希望對(duì)大家有所幫助,多謝您的瀏覽!

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