【創(chuàng)新設計】屆高考數(shù)學一輪總復習 第四篇 第7講 解三角形應用舉例 理 湘教版

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1、 第7講 解三角形應用舉例 A級　基礎演練(時間：30分鐘　滿分：55分) 一、選擇題(每小題5分，共20分) 1．(2013滄州模擬)有一長為1的斜坡，它的傾斜角為20，現(xiàn)高不變，將傾斜角改為10，則斜坡長為 (　　)． A．1 B．2sin 10 C．2cos 10 D．cos 20 解析　如圖，∠ABC＝20，AB＝1，∠ADC＝10，∴∠ABD＝160. 在△ABD中，由正弦定理得 ＝， ∴AD＝AB＝＝2cos 10. 答案　C 2．某人向正東方向走x km后，向右轉150，然后朝新方向走3 km，結果他離出發(fā)點恰好是

2、 km，那么x的值為 (　　)． A. B．2 C.或2 D．3 解析　如圖所示，設此人從A出發(fā)，則AB＝x，BC＝3，AC＝，∠ABC＝30，由余弦定理得()2＝x2＋32－2x3cos 30，整理得x2－3x＋6＝0，解得x＝或2. 答案　C 3．一艘海輪從A處出發(fā)，以每小時40海里的速度沿南偏東40的方向直線航行，30分鐘后到達B處，在C處有一座燈塔，海輪在A處觀察燈塔，其方向是南偏東70，在B處觀察燈塔，其方向是北偏東65，那么B，C兩點間的距離是 (　　)． A．10海里 B．10海里 C．20

3、海里 D．20海里 解析　如圖所示，易知，在△ABC中，AB＝20海里，∠CAB＝30，∠ACB＝45，根據(jù)正弦定理得＝，解得BC＝10(海里)． 答案　A 4.(2012吉林部分重點中學質量檢測)如圖，兩座相距60 m的建筑物AB、CD的高度分別為20 m、50 m，BD為水平面，則從建筑物AB的頂端A看建筑物CD的張角為 (　　)． A．30 B．45 C．60 D．75 解析　依題意可得AD＝20(m)，AC＝30(m)，又CD＝50(m)，所以在△ACD中，由余弦定理得cos∠CAD＝＝＝＝，又0<∠CAD<180，所以∠CAD＝45，所以從

4、頂端A看建筑物CD的張角為45. 答案　B 二、填空題(每小題5分，共10分) 5．(2011上海)在相距2千米的A，B兩點處測量目標點C，若∠CAB＝75，∠CBA＝60，則A，C兩點之間的距離為________千米． 解析　由已知條件∠CAB＝75，∠CBA＝60，得∠ACB＝45.結合正弦定理得＝，即＝，解得AC＝(千米)． 答案　 6.(2013云陽模擬)如圖，一艘船上午9：30在A處測得燈塔S在它的北偏東30處，之后它繼續(xù)沿正北方向勻速航行，上午10：00到達B處，此時又測得燈塔S在它的北偏東75處，且與它相距8 n mile.此船的航速是________ n mile/

5、h. 解析　設航速為v n mile/h， 在△ABS中，AB＝v，BS＝8 n mile， ∠BSA＝45， 由正弦定理得：＝，∴v＝32 n mile/h. 答案　32 三、解答題(共25分) 7．(12分)某廣場有一塊不規(guī)則的綠地如圖所示，城建部門欲在該地上建造一個底座為三角形的環(huán)保標志，小李、小王設計的底座形狀分別為△ABC、△ABD，經測量AD＝BD＝7米，BC＝5米，AC＝8米，∠C＝∠D.求AB的長度． 解　在△ABC中，由余弦定理得 cos C＝＝， 在△ABD中，由余弦定理得 cos D＝＝. 由∠C＝∠D，得cos∠C＝cos∠D， 解得AB＝7，

6、所以AB長度為7米． 8．(13分)如圖所示，位于A處的信息中心獲悉：在其正東方向相距40海里的B處有一艘漁船遇險，在原地等待營救．信息中心立即把消息告知在其南偏西30、相距20海里的C處的乙船，現(xiàn)乙船朝北偏東θ的方向沿直線CB前往B處救援，求cos θ的值． 解　如題圖所示，在△ABC中，AB＝40海里，AC＝20海里，∠BAC＝120，由余弦定理知，BC2＝AB2＋AC2－2ABACcos 120＝2 800，故BC＝20(海里)． 由正弦定理得＝， 所以sin∠ACB＝sin∠BAC＝. 由∠BAC＝120，知∠ACB為銳角，則cos∠ACB＝. 易知θ＝∠ACB＋30，故c

7、os θ＝cos(∠ACB＋30) ＝cos∠ACBcos 30－sin∠ACBsin 30 ＝. B級　能力突破(時間：30分鐘　滿分：45分) 一、選擇題(每小題5分，共10分) 1．一個大型噴水池的中央有一個強力噴水柱，為了測量噴水柱噴出的水柱的高度，某人在噴水柱正西方向的點A測得水柱頂端的仰角為45，沿點A向北偏東30前進100 m到達點B，在B點測得水柱頂端的仰角為30，則水柱的高度是 (　　)． A．50 m B．100 m C．120 m D．150 m 解析　設水柱高度是h m，水柱底端為C，則在△ABC中，A＝

8、60，AC＝h，AB＝100，BC＝h，根據(jù)余弦定理得，(h)2＝h2＋1002－2h100cos 60，即h2＋50h－5 000＝0，即(h－50)(h＋100)＝0，即h＝50，故水柱的高度是50 m. 答案　A 2.(2013榆林模擬)如圖，在湖面上高為10 m處測得天空中一朵云的仰角為30，測得湖中之影的俯角為45，則云距湖面的高度為(精確到0.1 m) (　　)． A．2.7 m B．17.3 m C．37.3 m D．373 m 解析　在△ACE中， tan 30＝＝.∴AE＝(m)． 在△AED中，tan 45＝＝， ∴AE＝(m)

9、，∴＝， ∴CM＝＝10(2＋)≈37.3(m)． 答案　C 二、填空題(每小題5分，共10分) 3.在2012年7月12日倫敦奧運會上舉行升旗儀式．如圖，在坡度為15的觀禮臺上，某一列座位所在直線AB與旗桿所在直線MN共面，在該列的第一個座位A和最后一個座位B測得旗桿頂端N的仰角分別為60和30，且座位A，B的距離為10米，則旗桿的高度為________米． 解析　由題可知∠BAN＝105，∠BNA＝30，由正弦定理得＝，解得AN＝20(米)，在Rt△AMN中，MN＝20 sin 60＝30(米)．故旗桿的高度為30米． 答案　30 4.(2013合肥一檢)如圖，一船在海上自西

10、向東航行，在A處測得某島M的方位角為北偏東α角，前進m海里后在B處測得該島的方位角為北偏東β角，已知該島周圍n海里范圍內(包括邊界)有暗礁，現(xiàn)該船繼續(xù)東行，當α與β滿足條件________時，該船沒有觸礁危險． 解析　由題可知，在△ABM中，根據(jù)正弦定理得＝，解得BM＝，要使該船沒有觸礁危險需滿足BMsin(90－β)＝＞n，所以當α與β的關系滿足mcos αcos β＞nsin(α－β)時，該船沒有觸礁危險． 答案　mcos αcos β＞nsin(α－β) 三、解答題(共25分) 5．(12分)(2012肇慶二模)如圖，某測量人員為了測量西江北岸不能到達的兩點A，B之間的距離，她在

11、西江南岸找到一個點C，從C點可以觀察到點A，B；找到一個點D，從D點可以觀察到點A，C；找到一個點E，從E點可以觀察到點B，C；并測量得到數(shù)據(jù)：∠ACD＝90，∠ADC＝60，∠ACB＝15，∠BCE＝105，∠CEB＝45，DC＝CE＝1百米． (1)求△CDE的面積； (2)求A，B之間的距離． 解　(1)在△CDE中，∠DCE＝360－90－15－105＝150，S△CDE＝DCCEsin 150＝sin 30＝＝(平方百米)． (2)連接AB，依題意知，在Rt△ACD中， AC＝DCtan∠ADC＝1tan 60＝(百米)， 在△BCE中，∠CBE＝180－∠BCE－∠CE

12、B＝180－105－45＝30， 由正弦定理＝，得 BC＝sin∠CEB＝sin 45＝(百米)． ∵cos 15＝cos(60－45)＝cos 60cos 45＋sin 60sin 45 ＝＋＝， 在△ABC中，由余弦定理AB2＝AC2＋BC2－2ACBCcos∠ACB， 可得AB2＝()2＋()2－2＝2－， ∴AB＝百米． 6．(13分)某港口O要將一件重要物品用小艇送到一艘正在航行的輪船上．在小艇出發(fā)時，輪船位于港口O北偏西30且與該港口相距20海里的A處，并正以30海里/時的航行速度沿正東方向勻速行駛．假設該小艇沿直線方向以v海里/時的航行速度勻速行駛，經過t小時與輪

13、船相遇． (1)若希望相遇時小艇的航行距離最小，則小艇航行速度的大小應為多少？ (2)假設小艇的最高航行速度只能達到30海里/時，試設計航行方案(即確定航行方向和航行速度的大小)，使得小艇能以最短時間與輪船相遇． 解　(1)設相遇時小艇航行的距離為S海里，則 S＝ ＝＝ . 故當t＝時，Smin＝10(海里)， 此時v＝＝30(海里/時)． 即小艇以30海里/時的速度航行，相遇時小艇的航行距離最?。? (2)設小艇與輪船在B處相遇，則v2t2＝400＋900t2－22030tcos(90－30)， 故v2＝900－＋，∵0＜v≤30， ∴900－＋≤900，即－≤0，解得t≥. 又t＝時，v＝30海里/時． 故v＝30海里/時時，t取得最小值，且最小值等于. 此時，在△OAB中，有OA＝OB＝AB＝20海里，故可設計航行方案如下： 航行方向為北偏東30，航行速度為30海里/時，小艇能以最短時間與輪船相遇. 6