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高頻考點
考點一 測量距離問題
1．測量距離問題是高考的?？純?nèi)容，既有選擇、填空題，也有解答題，難度適中，屬中檔題．
2．高考對此類問題的考查常有以下兩個命題角度：[來源:]
(1)測量問題；[來源:]
(2)行程問題．
[例1] (1)(2011上海高考)在相距2千米的A，B兩點處測量目標C，若∠CAB＝75，∠CBA＝60，則A，C兩點之間的距離是________千米．
(2)(2013江蘇高考)
如圖，游客從某旅游景區(qū)的景點A處下山至C處有兩種路徑．一種是從A沿直線步行到C，另一種是先從A沿
2、索道乘纜車到B，然后從B沿直線步行到C.現(xiàn)有甲、乙兩位游客從A處下山，甲沿AC勻速步行，速度為50 m/min.在甲出發(fā)2 min后，乙從A乘纜車到B，在B處停留1 min后，再從B勻速步行到C.假設纜車勻速直線運動的速度為130 m/min，山路AC長為1 260 m，經(jīng)測量，cos A＝，cos C＝.
①求索道AB的長；
②問乙出發(fā)多少分鐘后，乙在纜車上與甲的距離最短？
③為使兩位游客在C處互相等待的時間不超過3 min，乙步行的速度應控制在什么范圍內(nèi)？
[自主解答] (1)如圖，∠C＝180－60－75＝45.
由正弦定理＝，得AC＝AB＝2＝ 千米．
(2)①在△AB
3、C中，因為cos A＝，cos C＝，
所以sin A＝，sin C＝.
從而sin B＝sin[π－(A＋C)]＝sin(A＋C)＝sin Acos C＋cos Asin C＝＋＝.
由正弦定理＝，
得AB＝sin C＝＝1 040 m.
所以索道AB的長為1 040 m.
②假設乙出發(fā)t min后，甲、乙兩游客距離為d，此時，甲行走了(100＋50t) m，乙距離A處130t m，所以由余弦定理得
d2＝(100＋50t)2＋(130t)2－2130t(100＋50t)＝200(37t2－70t＋50)，
因0≤t≤，即0≤t≤8，故當t＝ min時，甲、乙兩游客距離最短．
4、
③由正弦定理＝，
得BC＝sin A＝＝500 m.
乙從B出發(fā)時，甲已走了50(2＋8＋1)＝550 m，還需走710 m才能到達C.
設乙步行的速度為v m/min，由題意得－3≤－≤3，解得≤v≤，所以為使兩位游客在C處互相等待的時間不超過3 min，乙步行的速度應控制在，(單位：m/min)范圍內(nèi)．
[答案] (1)
測量距離問題的常見類型及解題策略
(1)測量問題．首先確定所求量所在的三角形，若其他量已知，則直接求解；若有未知量，則把未知量放在另一確定三角形中求解．
(2)行程問題．首先根據(jù)題意畫出圖形，建立三角函數(shù)模型，然后運用正、余弦定理求解．
1
5、． 如圖，為了測量河的寬度，在一岸邊選定兩點A，B望對岸的標記物C，測得∠CAB＝30，∠CBA＝75，AB＝120 m，則這條河的寬度為________．
解析：∵∠CAB＝30，∠CBA＝75，∴∠ACB＝75，∴AB＝AC，
∴河寬為AC＝60 m.
答案：60 m
2.如圖，某觀測站C在城A的南偏西20的方向，從城A出發(fā)有一條走向為南偏東40的公路，在C處觀測到距離C處31 km的公路上的B處有一輛汽車正沿公路向A城駛?cè)ィ旭偭?0 km后到達D處，測得C，D兩處的距離為21 km，這時此車距離A城多少千米？
解：在△BCD中，BC＝31 km，BD＝20 km，CD＝2
6、1 km，由余弦定理得cos∠BDC＝＝＝－，所以cos∠ADC＝，sin∠ADC＝，
在△ACD中，由條件知CD＝21 km，A＝60，
所以sin∠ACD＝sin(60＋∠ADC)＝＋＝.[來源:]
由正弦定理＝，所以AD＝＝15 km，
故這時此車距離A城15千米.
考點二
測量高度問題 [來源:數(shù)理化網(wǎng)]
[例2] 某人在塔的正東沿著南偏西60的方向前進40 m后，望見塔在東北方向，若沿途測得塔頂?shù)淖畲笱鼋菫?0，求塔高．
[自主解答] 如圖所示，某人在C處，AB為塔高，他沿CD前進，CD＝40 m，此時∠DBF＝45.過點B作BE⊥CD于E，則∠AEB＝
7、30.
在△BCD中，CD＝40 m，∠BCD＝30，∠DBC＝135，
由正弦定理，得＝，
則BD＝＝20.
∠BDE＝180－135－30＝15.
在Rt△BED中，
BE＝BDsin 15＝20＝10(－1) m.
在Rt△ABE中，∠AEB＝30，
則AB＝BEtan 30＝(3－) m.
故塔高為(3－)米．
【互動探究】
在本例條件下，若該人行走的速度為6 km/h，則該人到達測得仰角最大的地方時，走了幾分鐘？
解：設該人走了x m時到達測得仰角最大的地方，則xtan 30＝(40－x)tan 15，
即＝＝tan 15＝tan(45－30)＝2－3.
8、解得x＝10(3－)．
又v＝6 km/h＝100 m/min，
故所用時間t＝＝ min.
即該人到達測得仰角最大的地方時，走了 分鐘．
【方法規(guī)律】
解決高度問題的注意事項
(1)在解決有關(guān)高度問題時，要理解仰角、俯角(視線在水平線上方、下方的角分別稱為仰角、俯角)是一個關(guān)鍵．
(2)在實際問題中，可能會遇到空間與平面(地面)同時研究的問題，這時最好畫兩個圖形，一個空間圖形，一個平面圖形，這樣處理起來既清楚又不容易搞錯．
(3)高度問題一般是把它轉(zhuǎn)化成三角形的問題，要注意三角形中的邊角關(guān)系的應用，若是空間的問題要注意空間圖形和平面圖形的結(jié)合．
如圖，在山頂
9、鐵塔上B處測得地面上一點A的俯角為α＝60，在塔底C處測得A處的俯角為β＝45，已知鐵塔BC部分的高為24 m，則山高CD＝________m.
解：由已知條件可得tan∠BAD＝，tan∠CAD＝，則tan ∠BAC＝tan(60－45)＝＝＝＝＝2－，解得CD＝(36＋12) m.
答案：36＋12
考點三
測量角度問題
[例3] 某港口O要將一件重要物品用小艇送到一艘正在航行的輪船上．在小艇出發(fā)時，輪船位于港口O北偏西30且與該港口相距20海里的A處，并正以30海里/小時的航行速度沿正東方向勻速行駛．假設該小艇沿直線方向以v海里/小時的航行速度勻速行駛，經(jīng)過t小
10、時與輪船相遇．
(1)若希望相遇時小艇的航行距離最小，則小艇航行速度的大小應為多少？
(2)假設小艇的最高航行速度只能達到30海里/小時，試設計航行方案(即確定航行方向和航行速度的大小)，使得小艇能以最短時間與輪船相遇，并說明理由．
[自主解答] (1)法一：設相遇時小艇航行的距離為S海里，則
S＝
＝＝ ，
故當t＝時，Smin＝10，v＝＝30 海里/小時，
即小艇以30 海里/小時的速度航行，相遇時小艇的航行距離最小．
法二：若相遇時小艇的航行距離最小，又輪船沿正東方向勻速行駛，則小艇航行方向為正北方向．設小艇與輪船在C處相遇，如圖所示．
在Rt△OAC中，OC＝2
11、0cos 30＝10，AC＝20sin 30＝10，又AC＝30 t，OC＝vt，故t＝＝，v＝＝30 海里/小時．
即小艇以30 海里/小時的速度航行，相遇時小艇的航行距離最?。?
(2)
設小艇與輪船在B處相遇，如圖所示則[來源:]
v2t2＝400＋900t2－22030tcos(90－30)，
即v2＝900－＋.
∵0＜v≤30，∴900－＋≤900，
即－≤0，解得t≥.
又t＝時，v＝30.
故v＝30時，t取得最小值，且最小值等于.
此時，在△OAB中，有OA＝OB＝AB＝20，故可設計航行方案如下：
航行方向為北偏東30，航行速度為30海里/小時，這樣
12、，小艇能以最短時間與輪船相遇．
【方法規(guī)律】
解決測量角度問題的注意事項
(1)首先應明確方位角或方向角的含義．
(2)分析題意，分清已知與所求，再根據(jù)題意畫出正確的示意圖，這是最關(guān)鍵、最重要的一步．
(3)將實際問題轉(zhuǎn)化為可用數(shù)學方法解決的問題后，注意正、余弦定理的“聯(lián)袂”使用．
如圖，位于A處的信息中心獲悉：在其正東方向相距40海里的B處有一艘漁船遇險，在原地等待營救．信息中心立即把消息告知在其南偏西30、相距20海里的C處的乙船，現(xiàn)乙船朝北偏東θ的方向沿直線CB前往B處救援，求cos θ的值．
解：如題中圖所示，在△ABC中，AB＝40，AC＝20，∠BAC＝1
13、20，由余弦定理知，BC2＝AB2＋AC2－2ABACcos 120＝2 800?BC＝20.
由正弦定理，得＝?sin∠ACB＝sin∠BAC＝.
由∠BAC＝120，知∠ACB為銳角，則cos∠ACB＝.
由θ＝∠ACB＋30，得cos θ＝cos(∠ACB＋30)＝cos∠ACBcos 30－sin∠ACBsin 30＝.
——————————[課堂歸納——通法領(lǐng)悟]————————————————
1個步驟——解三角形應用題的一般步驟
2種情形——解三角形應用題的兩種情形
(1)實際問題經(jīng)抽象概括后，已知量與未知量全部集中在一個三角形中，可用正弦定理或余弦定理求解．
(2)實際問題經(jīng)抽象概括后，已知量與未知量涉及到兩個或兩個以上的三角形，這時需作出這些三角形，先解夠條件的三角形，然后逐步求解其他三角形，有時需設出未知量，從幾個三角形中列出方程(組)，解方程(組)得出所要求的解．
2個注意點——解三角形應用題應注意的問題
(1)畫出示意圖后要注意尋找一些特殊三角形，如等邊三角形、直角三角形、等腰三角形等，這樣可以優(yōu)化解題過程．
(2)解三角形時，為避免誤差的積累，應盡可能用已知的數(shù)據(jù)(原始數(shù)據(jù))，少用間接求出的量．
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高考數(shù)學復習：第三章 ：第七節(jié)解三角形應用舉例突破熱點題型
