中考數(shù)學(xué)命題研究 第三編 綜合專題闖關(guān)篇 專題六 二次函數(shù)中存在性問題試題

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1、 專題六 二次函數(shù)中存在性問題 二次函數(shù)中存在性問題是貴陽中考必考內(nèi)容，近5年共考了4次，主要與幾何圖形結(jié)合起來考查，且都以解答題形式出現(xiàn)，分值12分． 預(yù)計2017年貴陽中考對二次函數(shù)存在性問題仍會考查，且涉及到的內(nèi)容有：等腰三角形，直角三角形，相似三角形、面積最值、特殊四邊形等存在性問題． ,中考重難點突破) 相似三角形存在性問題 【經(jīng)典導(dǎo)例】 【例1】(2016貴陽模擬)如圖，已知拋物線經(jīng)過A(－2，0)，B(－3，3)及原點O，頂點為C. (1)求拋物線的函數(shù)表達式； (2)設(shè)點D在拋物線上，點E在拋物線的對稱軸上，且以AO為邊的四邊形AODE是平行四邊形，求點

2、D的坐標(biāo)； (3)P是拋物線上第一象限內(nèi)的動點，過點P作PM⊥x軸，垂足為點M，是否存在點P，使得以P，M，A為頂點的三角形與△BOC相似？若存在，求出點P的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由． 【解析】(1)由于拋物線經(jīng)過A(－2，0)，B(－3，3)及原點O，用待定系數(shù)法即可求出拋物線的表達式； (2)根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)，對邊平行且相等，可以求出點D的坐標(biāo)；(3)分兩種情況討論，①△AMP∽△BOC，②△PMA∽△BOC，根據(jù)相似三角形對應(yīng)邊的比相等可以求出點P的坐標(biāo). 【學(xué)生解答】解：(1)y＝x2 ＋2x；(2)當(dāng)AO為平行四邊形的邊時，DE∥AO，DE＝AO，由A(－2，0

3、)知：DE＝AO＝2, 若D在對稱軸直線x＝－1左側(cè)， 則D橫坐標(biāo)為－3，代入拋物線表達式得D1(－3，3), 若D在對稱軸直線x＝－1右側(cè)， 則D橫坐標(biāo)為1，代入拋物線表達式得D2(1，3). 綜上可得點D的坐標(biāo)為(－3，3)或(1，3)；(3)存在．理由如下：∵B(－3，3)，C(－1，－1), 根據(jù)勾股定理得：BO2＝18，CO2＝2，BC2 ＝20, ∵BO2＋CO2＝BC2 , ∴△BOC是直角三角形， 假設(shè)存在點P，使以P，M，A為頂點的三角形與△BOC相似， 設(shè)P(x，y)，由題意知x＞0，y＞0，且y＝x2 ＋2x, ①若△AMP∽△BOC，則＝， 即＝， 故

4、x＋2＝3(x2＋2x)，得：x1＝，x2＝－2(舍去). 當(dāng)x＝時，y＝，即P(，)；②若△PMA∽△BOC，則＝， 即＝，故x2 ＋2x＝3(x＋2), 得：x1＝3，x2＝－2(舍去)，當(dāng)x＝3時，y＝15，即P(3，15). 故符合條件的點P有兩個，分別是(，)或(3，15)． 1．(2017預(yù)測)如圖，已知拋物線y＝ax2＋bx＋c的頂點D的坐標(biāo)為(1，)，與y軸的交點C的坐標(biāo)為(0，3)，與x軸交于點A，B(A在B的左側(cè))． (1)求拋物線的表達式； (2)若過點A的直線l平分△ABC的面積，求直線l的表達式； (3)點P從點A出發(fā)，沿點A向點B運動，運動速

5、度為每秒2個單位，同時點Q從B出發(fā)沿BC向點C運動，運動速度為每秒1個單位，連接PQ，運動時間為t.當(dāng)其中一個點到達終點時，另一個點立即停止運動．求當(dāng)△PBQ與△ABC相似時t的值． 解：(1)－x2＋x＋3；(2)令y＝－x2＋x＋3＝0，解得x1＝－2，x2＝4，∴點A(－2，0)，點B(4，0)．設(shè)BC的中點為E，則點E的坐標(biāo)為(2，)．∵直線l過點A，且平分△ABC的面積，∴直線l過點A和點E，設(shè)直線l的表達式為y＝kx＋b，將點A(－2，0)，點E(2，)代入得解得∴直線l的表達式為y＝x＋；(3)∵A(－2，0)，B(4，0)，C(0，3)，∴AB＝6，BC＝5.∵點P的運

6、動速度為每秒2個單位，點Q的運動速度為每秒1個單位，∴BP＝6－2t，BQ＝t.∵∠PBQ＝∠ABC，∴若＝時，△PBQ∽△ABC或＝時，△QBP∽△ABC，①當(dāng)＝時，則＝，解得t＝；②當(dāng)＝時，則＝，解得t＝.綜上所述，△PBQ與△ABC相似時，t的值為或. 2．(2015西寧中考)如圖，拋物線y＝－x2＋x－2交x軸于A，B兩點(點A在點B的左側(cè))，交y軸于點C，分別過點B，C作y軸，x軸的平行線，兩平行線交于點D，將△BDC繞點C逆時針旋轉(zhuǎn)，使點D旋轉(zhuǎn)到y(tǒng)軸上得到△FEC，連接BF. (1)求點B，C所在直線的函數(shù)表達式； (2)求△BCF的面積； (3)在線段BC上是否

7、存在點P，使得以P，A，B為頂點的三角形與△BOC相似？若存在，求出點P的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由． 解：(1)直線BC的表達式為y＝x－2；(2)△BCF的面積為10；(3)存在．分兩種情況討論：①如圖，過A作AP1∥y軸交線段BC于點P1，則△BAP1∽△BOC.∵點A的坐標(biāo)為(2，0)，∴點P1的橫坐標(biāo)是2；∵點P1在點BC所在的直線上，∴y＝x－2＝×2－2＝－1，∴點P1的坐標(biāo)為(2，－1)；②如圖，過點A作AP2⊥BC于點P2，過點P2作P2Q⊥x軸于點Q.∴△BAP2∽△BCO，∴＝＝，∴＝＝，解得AP2＝，BP2＝；∴S△AP2B＝AB·QP2＝A

8、P2·BP2，∴2QP2＝×，解得QP2＝，∴點P2的縱坐標(biāo)是－；∵點P2在BC所在直線上，∴x＝，∴點P2的坐標(biāo)為(，－)，∴滿足條件的P點坐標(biāo)為(2，－1)或(，－)． 等腰三角形存在性問題 【經(jīng)典導(dǎo)例】 【例2】如圖，已知直線y＝3x－3分別交x軸，y軸于A，B兩點，拋物線y＝x2＋bx＋c經(jīng)過A，B兩點，點C是拋物線與x軸的另一個交點(與A點不重合)． (1)求拋物線的表達式； (2)求△ABC的面積； (3)在拋物線的對稱軸上，是否存在點M，使△ABM為等腰三角形？若不存在，請說明理由；若存在，求出點M的坐標(biāo)． 【解析】(1)根據(jù)

9、直線表達式求出點A及點B的坐標(biāo)，然后將點A及點B的坐標(biāo)代入拋物線表達式，可得出b，c的值，求出拋物線表達式；(2)由(1)求得的拋物線表達式，可求出點C的坐標(biāo)，繼而求出AC的長度，代入三角形的面積公式即可計算；(3)根據(jù)點M在拋物線對稱軸上，可設(shè)點M的坐標(biāo)為(－1，m)，分三種情況討論，①MA＝BA；②MB＝BA；③MB＝MA，求出m的值后即可得出答案． 【學(xué)生解答】 解：(1)拋物線表達式為y＝x2＋2x－3；(2)S△ABC＝AC·OB＝×4×3＝6；(3)存在，理由如下：拋物線的對稱軸為直線x＝－1，假設(shè)存在M(－1，m)滿足題意，討論：①當(dāng)MA＝AB時

10、，∵OA＝1，OB＝3，∴AB＝，∴＝，解得m＝±，∴M1(－1，)，M2(－1，－)；②當(dāng)MB＝BA時，＝，解得m1＝0，m2＝－6，∴M3(－1，0)，M4(－1，－6)(不符合題意舍去)；③當(dāng)MA＝MB時，＝，解得m＝－1，∴M5(－1，－1)，故共存在4個點M1(－1，)，M2(－1，－)，M3(－1，0)，M5(－1，－1)使△ABM為等腰三角形． 3．(2015貴陽模擬)如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線y＝x2＋bx＋c經(jīng)過點A(0，－6)和點C(6，0)． (1)求拋物線的表達式； (2)若拋物線與x軸的負半軸交于B，試判斷△ABC的形狀．(鈍角三角形、直角三

11、角形或銳角三角形) 解：(1)拋物線的表達式為y＝x2－5x－6；(2)△ABC為銳角三角形． 直角三角形存在性問題 【經(jīng)典導(dǎo)例】 【例3】(2016貴陽中考說明) 如圖，拋物線y＝ax2＋bx－4a經(jīng)過A(－1，0)，C(0，4)兩點，與x軸交于另一點B. (1)求拋物線的表達式； (2)已知點D(m，m＋1)在第一象限的拋物線上，連接CD，BD，把△BCD沿BC折疊， ①求點D的對應(yīng)點D′的坐標(biāo)； ②在拋物線上是否存在點P，使得△DD′P是以DD′為一直角邊的直角三角形？若存在，求出點P的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由． 【解析】(1)把A(－1，

12、0)，C(0，4)兩點的坐標(biāo)代入y＝ax2＋bx－4a，根據(jù)待定系數(shù)法可得這個拋物線的表達式；(2)①將點D(m，m＋1)代入y＝－x2＋3x＋4中，得到D點坐標(biāo)，根據(jù)等腰直角三角形的判定可得△OBC是等腰直角三角形，根據(jù)折疊的性質(zhì)進一步得到點D的對應(yīng)點D′的坐標(biāo)；②存在滿足條件的點P.過點D′作D′E∥BC交x軸于點E，交拋物線于點P1，根據(jù)待定系數(shù)法可得直線D′E的表達式，聯(lián)立方程組可得點P1的坐標(biāo)；過點D作DF∥BC交y軸于點F，交拋物線于點P2，根據(jù)待定系數(shù)法可得直線DF的表達式，聯(lián)立方程組可得點P2的坐標(biāo)． 【學(xué)生解答】 解：(1)y＝－x2＋3x＋4；(2)①如圖①，將點D(m

13、，m＋1)代入y＝－x2＋3x＋4中，得：－m2＋3m＋4＝m＋1，化簡得：m2－2m－3＝0，解得m1＝－1(舍去)，m2＝3；∴D(3，4)，∴CD∥x軸，∴∠DCO＝90°，由B(4，0)，C(0，4)可得：OB＝OC＝4，即△OBC是等腰直角三角形，得：∠OCB＝∠DCB＝45°；把△BCD沿BC折疊，點D的對稱點D′落在y軸上，且CD＝CD′＝3，OD′＝OC－CD′＝1，則點D′的坐標(biāo)為(0，1)；②存在滿足條件的點P.如圖②，過D′作D′E∥BC交x軸于點E，交拋物線于點P1.∵DD′⊥BC，∴∠DD′P1＝90°，△OD′E為等腰直角三角形，則E(

14、1，0)，設(shè)直線D′E的表達式為y＝k1x＋b1，依題意得解得∴直線D′E的表達式為y＝－x＋1.由得過D作DF∥BC交y軸于點F，交拋物線于點P2.∵DD′⊥BC，∴DD′⊥DF，∠D′DP2＝90°，△CDF為等腰直角三角形，則F(0，7)，設(shè)直線DF的表達式為y＝k2x＋b2，依題意得解得∴直線DF的表達式為y＝－x＋7.由得(不符合題意舍去)．故在拋物線上存在點P，使得△DD′P是以DD′為一直角邊的直角三角形，點P的坐標(biāo)為(2－，－1＋)或(2＋，－1－)或(1，6)． 4．(2016原創(chuàng))如圖，拋物線y＝－x2＋mx＋n與x軸交于A，B兩點，與y軸交于點C，其

15、對稱軸與x軸的交點為D，已知A(－1，0)，C(0，2)． (1)求拋物線的表達式； (2)判斷△ACD的形狀，并說明理由； (3)在拋物線對稱軸上是否存在一點P，使得△PBC是以點P為直角頂點的直角三角形，若存在，求點P的坐標(biāo)；若不存在，說明理由． 解：(1)拋物線的表達式為y＝－x2＋x＋2；(2)△ACD是等腰三角形，理由如下：∵拋物線y＝－x2＋x＋2的對稱軸為直線x＝，∴點D(，0)．∵A(－1，0)，C(0，2)，∴AC＝，AD＝1＋＝，CD＝＝，∴AD＝CD≠AC，∴△ACD是等腰三角形；(3)存在．令拋物線y＝－x2＋x＋2＝0，得x1＝－1，x2＝4，∴點B的坐

16、標(biāo)為(4，0)，則BC＝＝2，如圖，取BC的中點為S，則點S的坐標(biāo)為(2，1)．設(shè)對稱軸上存在點P(，t)，使得△PBC是以點P為直角頂點的直角三角形，則PS＝BC＝，即(2－)2＋(t－1)2＝5，解得t1＝1＋，t2＝1－，∴存在這樣的點P滿足條件，其坐標(biāo)為(，1＋)或(，1－)． 面積最值存在性問題 【經(jīng)典導(dǎo)例】 【例4】(2015安順中考)如圖，拋物線y＝ax2＋bx＋與直線AB交于點A(－1，0)，B(4，)．點D是拋物線A，B兩點間部分上的一個動點(不與點A，B重合)，直線CD與y軸平行，交直線AB于點C，連接AD，BD. (1)求拋物線的表達式； (2)設(shè)

17、點D的橫坐標(biāo)為m，△ADB的面積為S，求S關(guān)于m的函數(shù)關(guān)系式，并求出當(dāng)S取最大值時的點C的坐標(biāo)． 【解析】(1)將拋物線上兩點A，B的坐標(biāo)分別代入拋物線表達式列方程組求解即可；(2)先根據(jù)直線過A，B兩點列方程組并求出直線表達式，再用m表示出C，D兩點的縱坐標(biāo)得線段CD的長，由圖可知，S＝S△ACD＋S△BCD，根據(jù)三角形面積公式可得S關(guān)于m的二次函數(shù)，利用配方法求出S最大時m的值即可計算此時C點的坐標(biāo)． 【學(xué)生解答】 解：(1)拋物線的表達式為y＝－x2＋2x＋；(2)設(shè)直線AB為y＝kx＋d，則有解得∴y＝x＋.則D(m，－m2＋2m＋)，C(m，m＋)，CD＝(－m2＋2m＋)－(

18、m＋)＝－m2＋m＋2.∴S＝(m＋1)·CD＋(4－m)·CD＝×5×CD＝×5×(－m2＋m＋2)＝－m2＋m＋5.∵－<0，∴拋物線開口向下．故當(dāng)m＝時，S有最大值．當(dāng)m＝時，m＋＝×＋＝，∴點C(，)．當(dāng)S取最大值時的點C的坐標(biāo)為(，)． 5．(2016白銀中考)如圖，已知拋物線y＝－x2 ＋bx＋c經(jīng)過A(3，0)，B(0，3)兩點． (1)求此拋物線的表達式和直線AB的表達式； (2)如圖①，動點E從O點出發(fā)，沿著OA方向以1個單位/s的速度向終點A勻速運動，同時，動點F從A點出發(fā)，沿著AB

19、方向以個單位/s的速度向終點B勻速運動，當(dāng)E，F(xiàn)中任意一點到達終點時另一點也隨之停止運動，連接EF，設(shè)運動時間為t s，當(dāng)t為何值時，△AEF為直角三角形？ (3)如圖②，取一根橡皮筋兩端點分別固定在A，B處，用鉛筆拉著這根橡皮筋使筆尖P在直線AB上方的拋物線上移動，動點P與A，B兩點構(gòu)成無數(shù)個三角形，在這些三角形中是否存在一個面積最大的三角形？如果存在，求出最大面積，并指出此時點P的坐標(biāo)；如果不存在，請簡要說明理由． 解：(1)直線AB的表達式為y＝－x＋3，拋物線的表達式為y＝－x2＋2x＋3；(2)∵OA＝OB＝3，∠BOA＝90°，∴∠EAF＝45°，設(shè)運

20、動時間t s，則AF＝t，AE＝3－t；(Ⅰ)當(dāng)∠EFA＝90°時，在Rt△EAF中，cos45°＝＝，即＝.解得t＝1.(Ⅱ)當(dāng)∠FEA＝90°時，在Rt△AEF中，cos45°＝＝，即＝.解得t＝.綜上所述，當(dāng)t＝1或t＝時，△AEF是直角三角形；(3)存在．過點P作PN∥y軸，交直線AB于點N，交x軸于點D，過點B作BC⊥PN于點C.設(shè)點P(x，－x2＋2x＋3)，則點N(x，－x＋3)，∴PN＝－x2＋2x＋3－(－x＋3)＝－x2＋3x，∴S△ABP＝S△BPN＋S△APN＝PN·BC＋PN·AD＝(－x2＋3x)·

21、;x＋(－x2＋3x)(3－x)＝－(x－)2＋，當(dāng)x＝時，△ABP的面積最大，最大面積為，此時點P(，)． 特殊四邊形存在性問題 【經(jīng)典導(dǎo)例】 【例5】如圖所示，在平面直角坐標(biāo)系中xOy中，矩形OABC的邊長OA，OC分別為12 cm，6 cm，點A，C分別在y軸的負半軸和x軸的正半軸上，拋物線y＝ax2＋bx＋c經(jīng)過點A，B，且18a＋c＝0. (1)求拋物線的表達式； (2)如果點P由點A開始沿AB邊以1 cm/s的速度向終點B移動，同時點Q由點B開始沿BC邊以2 cm/s的速度向終點C移動； ①移動開始后第t s時，設(shè)△PBQ的面積為S，試寫出S與t之間的函數(shù)

22、關(guān)系式，并寫出t的取值范圍； ②當(dāng)S取得最大值時，在拋物線上是否存在點R，使得以P，B，Q，R為頂點的四邊形是平行四邊形？如果存在，求出R點的坐標(biāo)；如果不存在，請說明理由． 【解析】(1)由OA的長從而求出點A的坐標(biāo)，代入表達式得c＝－12，再與18a＋c＝0聯(lián)立從而求出a的值，再利用對稱軸為直線x＝－＝3求得b的值，繼而求得二次函數(shù)的表達式；(2)①由題意得AP＝t1PB＝6－t，QB＝2t，所以S＝PB·BQ＝×(6－t)×2t＝－t2＋6t(0<t<6)；②由S與t的函數(shù)關(guān)系式可得到S的最大值，當(dāng)以P，B，Q，R為頂點的四邊形為平行四邊形時，

23、要分三種情況加以討論． 【學(xué)生解答】 解：(1)由題意知點A的坐標(biāo)為(0，－12)，∴c＝－12，又∵18a＋c＝0，∴a＝，∵AB∥OC且AB＝OC＝6，∴拋物線的對稱軸是直線x＝3，∴x＝－＝3，∴b＝－4，∴拋物線的表達式為y＝x2－4x－12；(2)①由題意得AP＝t，PB＝6－t，QB＝2t，∴S＝PB·BQ＝×(6－t)×2t＝－t2＋6t，t的取值范圍：0<t<6；②∵S＝－t2＋6t＝－(t－3)2＋9，∴當(dāng)t＝3時，S取最大值為9，這時點P的坐標(biāo)為(3，－12)，點Q的坐標(biāo)為(6，－6)，若以P，B，Q，R為頂點的四邊形是平行四邊

24、形，有以下三種情況：(Ⅰ)當(dāng)點R在BQ的左邊，且在PB下方時，點R的坐標(biāo)為(3，－18)，將(3，－18)代入拋物線的表達式中，滿足表達式，所以存在，點R的坐標(biāo)就是(3，－18)；(Ⅱ)當(dāng)點R在BQ的左邊，且在PB上方時，點R的坐標(biāo)為(3，－6)，將(3，－6)代入拋物線的表達式中，不滿足表達式，所以點R不滿足條件；(Ⅲ)當(dāng)點R在BQ的右邊，且在PB上方時，點R的坐標(biāo)為(9，－6)，將(9，－6)代入拋物線的表達式中，不滿足表達式，所以點R不滿足條件．綜上所述，點R坐標(biāo)為(3，－18)． 6．(2016安順中考)如圖，拋物線經(jīng)過A(－1，0)，B(5，0)，C(0，－)三點． (

25、1)求拋物線的表達式； (2)在拋物線的對稱軸上有一點P，使PA＋PC的值最小，求點P的坐標(biāo)； (3)點M為x軸上一動點，在拋物線上是否存在一點N，使以A，C，M，N四點構(gòu)成的四邊形為平行四邊形？若存在，求點N的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由． 解：(1)拋物線的表達式為：y＝x2－2x－；(2)由題意知，點A關(guān)于拋物線對稱軸的對稱點為點B，連接BC交拋物線的對稱軸于點P，則P點即為所求．設(shè)直線BC的表達式為y＝kx＋b1，由題意，得解得∴直線BC的表達式為y＝x－.∵拋物線y＝x2－2x－的對稱軸是直線x＝2，∴當(dāng)x＝2時，y＝x－＝－，∴點P的坐標(biāo)是(2，－)；(3)存在．(Ⅰ)當(dāng)

26、存在的點N1在x軸的下方時，如圖所示．∵四邊形ACN1M1是平行四邊形，∴CN1∥x軸，∴點C與點N1關(guān)于對稱軸直線x＝2對稱，∵C點的坐標(biāo)為(0，－)，∴點N1的坐標(biāo)為(4，－)；(Ⅱ)當(dāng)存在的點N2在x軸上方時，如圖所示，作N2H⊥x軸于點H，∵四邊形ACM2N2是平行四邊形，∴AC＝M2N2，∠N2M2H＝∠CAO，∴Rt△CAO≌Rt△N2M2H，∴N2H＝OC，∵點C的坐標(biāo)為(0，－)，∴N2H＝，即N點的縱坐標(biāo)為，∴x2－2x－＝，解得x1＝2＋，x2＝2－，∴點N的坐標(biāo)為N2(2－，)或N3(2＋，)，綜上所述，滿足題目條件的點N共有三個，分別為N1(4，－)，N2(2－，)，N

27、3(2＋，)． 7．(2016龍巖中考)已知拋物線y＝－x2＋bx＋c與y軸交于點C，與x軸的兩個交點分別為A(－4，0), B(1，0)． (1)求拋物線的表達式； (2)已知點P在拋物線上，連接PC，PB，若△PBC是以BC為直角邊的直角三角形，求點P的坐標(biāo)； (3)已知點E在x軸上，點F在拋物線上，是否存在以A，C，E，F(xiàn)為頂點的四邊形是平行四邊形？若存在，請直接寫出點E的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由． 解：(1)把A(－4，0)，B(1，0)分別代入y＝－x2＋bx＋c，得解得∴y＝－x2－x＋2；(2)由(1)知拋物線的表達式為y＝－x2－x＋2，令x＝0，y＝

28、2∴C(0，2)，∴OC＝2.∵A(－4，0)，B(1，0)，∴OA＝4，OB＝1，AB＝5，分兩種情況：①當(dāng)∠PCB＝90°時，解法一：在Rt△AOC和Rt△COB中，AC2＝AO2＋OC2＝42＋22＝20，BC2＝OC2＋OB2＝22＋12＝5.又∵AB2＝52＝25，∴AC2＋BC2＝AB2，∴△ACB是直角三角形，∴∠ACB＝90°，∴當(dāng)點P1與點A重合時，即P1(－4，0)時，△P1CB是直角三角形；②當(dāng)∠PBC＝90°時，過點B作BP2∥AC交拋物線于點P2.∵A(－4，0)，C(0，2)易得直線AC的表達式y(tǒng)AC＝x＋2.∵BP2∥AC，設(shè)直線BP2的表達式為y＝x＋b，把B(1，0)代入得b＝－，∴yBP2＝x－，∴解得(舍去)或∴P2(－5，－3)．綜上所述，點P1(－4，0)，P2(－5，－3)；(3)存在點E，E1(－7，0)，E2(－1，0)，E3(，0)，E4(，0)． 6