人教版 高中數(shù)學選修23 教學案1.1 第二課時　兩個計數(shù)原理的綜合應用

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1、人教版高中數(shù)學精品資料 第二課時　兩個計數(shù)原理的綜合應用 選(抽)取與分配問題 [典例]　某外語組有9人，每人至少會英語和日語中的一門，其中7人會英語，3人會日語，從中選出會英語和日語的各一人，有多少種不同的選法？ [解]　由題意9人中既會英語又會日語的“多面手”有1人．則可分三類： 第一類：“多面手”去參加英語時，選出只會日語的一人即可，有2種選法． 第二類：“多面手”去參加日語時，選出只會英語的一人即可，有6種選法． 第三類：“多面手”既不參加英語又不參加日語，則需從只會日語和只會英語中各選一人，有2×6＝12(種)方法． 故共有2＋6＋12＝20(種

2、)選法． 選(抽)取與分配問題的常見類型及其解法 (1)當涉及對象數(shù)目不大時，一般選用枚舉法、樹形圖法、框圖法或者圖表法． (2)當涉及對象數(shù)目很大時，一般有兩種方法： ①直接使用分類加法計數(shù)原理或分步乘法計數(shù)原理．一般地，若抽取是有順序的就按分步進行；若按對象特征抽取的，則按分類進行． ②間接法：去掉限制條件計算所有的抽取方法數(shù)，然后減去所有不符合條件的抽取方法數(shù)即可．　　　　　　 [活學活用] 1．甲、乙、丙3個班各有三好學生3,5,2名，現(xiàn)準備推選2名來自不同班的三好學生去參加校三好學生代表大會，共有________種不同的推選方法． 解析：分為三類：第一類，甲班選一

3、名，乙班選一名，根據(jù)分步乘法計數(shù)原理有3×5＝15種選法； 第二類，甲班選一名，丙班選一名，根據(jù)分步乘法計數(shù)原理有3×2＝6種選法； 第三類，乙班選一名，丙班選一名，根據(jù)分步乘法計數(shù)原理有5×2＝10種選法． 綜合以上三類，根據(jù)分類加法計數(shù)原理，共有15＋6＋10＝31種不同選法． 答案：31 2．圖書館有8本不同的有關勵志教育的書，任選3本分給3個同學，每人1本，有________種不同的分法． 解析：分三步進行：第一步，先分給第一個同學，從8本書中選一本，共有8種方法；第二步，再分給第二個同學，從剩下的7本中任選1本，共有7種方法；第三步，分給第三

4、個同學，從剩下的6本中任選1本，共有6種方法．所以不同分法有8×7×6＝336種． 答案：336 用計數(shù)原理解決組數(shù)問題 [典例]　用0,1,2,3,4五個數(shù)字， (1)可以排出多少個三位數(shù)字的電話號碼？ (2)可以排成多少個三位數(shù)？ (3)可以排成多少個能被2整除的無重復數(shù)字的三位數(shù)？ [解]　(1)三位數(shù)字的電話號碼，首位可以是0，數(shù)字也可以重復，每個位置都有5種排法，共有5×5×5＝53＝125(種)． (2)三位數(shù)的首位不能為0，但可以有重復數(shù)字，首先考慮首位的排法，除0外共有4種方法，第二、三位可以排0，因此，共有4&#

5、215;5×5＝100(種)． (3)被2整除的數(shù)即偶數(shù)，末位數(shù)字可取0,2,4，因此，可以分兩類，一類是末位數(shù)字是0，則有4×3＝12(種)排法；一類是末位數(shù)字不是0，則末位有2種排法，即2或4，再排首位，因0不能在首位，所以有3種排法，十位有3種排法，因此有2×3×3＝18(種)排法．因而有12＋18＝30(種)排法．即可以排成30個能被2整除的無重復數(shù)字的三位數(shù)． 組數(shù)問題的常見類型及解決原則 (1)常見的組數(shù)問題 ①組成的數(shù)為“奇數(shù)”“偶數(shù)”“被某數(shù)整除的數(shù)”； ②在某一定范圍內(nèi)的數(shù)的問題； ③各位數(shù)字和為某一定值問題； ④各位

6、數(shù)字之間滿足某種關系問題等． (2)解決原則 ①明確特殊位置或特殊數(shù)字，是我們采用“分類”還是“分步”的關鍵．一般按特殊位置(末位或首位)由誰占領分類，分類中再按特殊位置(或特殊元素)優(yōu)先的策略分步完成；如果正面分類較多，可采用間接法求解． ②要注意數(shù)字“0”不能排在兩位數(shù)字或兩位數(shù)字以上的數(shù)的最高位．　　　　　 [活學活用] 1．從0,2中選一個數(shù)字，從1,3,5中選兩個數(shù)字，組成無重復數(shù)字的三位數(shù)．其中奇數(shù)的個數(shù)為(　　) A．24　　　　　　　 　B．18 C．12 D．6 解析：選B　由于題目要求是奇數(shù)，那么對于此三位數(shù)可以分成兩種情況：奇偶奇，偶奇奇．如果是第一種

7、奇偶奇的情況，可以從個位開始分析(3種情況)，之后十位(2種情況)，最后百位(2種情況)，共12種；如果是第二種情況偶奇奇：個位(3種情況)，十位(2種情況)，百位(不能是0，一種情況)，共6種．因此總共有12＋6＝18種情況．故選B． 2．如果一個三位正整數(shù)如“a1a2a3”滿足a1<a2且a3<a2，則稱這樣的三位數(shù)為凸數(shù)(如120,342,275等)，那么所有凸數(shù)個數(shù)是多少？ 解：分8類，當中間數(shù)為2時，百位只能選1，個位可選1、0，由分步乘法計數(shù)原理，有1×2＝2個； 當中間數(shù)為3時，百位可選1,2，個位可選0,1,2，由分步乘法計數(shù)原理，有2×3

8、＝6個；同理可得： 當中間數(shù)為4時，有3×4＝12個； 當中間數(shù)為5時，有4×5＝20個； 當中間數(shù)為6時，有5×6＝30個； 當中間數(shù)為7時，有6×7＝42個； 當中間數(shù)為8時，有7×8＝56個； 當中間數(shù)為9時，有8×9＝72個． 故共有2＋6＋12＋20＋30＋42＋56＋72＝240個． 用計數(shù)原理解決涂色(種植)問題 [典例]　如圖所示，要給“優(yōu)”、“化”、“指”、“導”四個區(qū)域分別涂上3種不同顏色中的某一種，允許同一種顏色使用多次，但相鄰區(qū)域必須涂不同的顏色，有多少種不同的涂色方法？ [解]

9、　優(yōu)、化、指、導四個區(qū)域依次涂色，分四步． 第1步，涂“優(yōu)”區(qū)域，有3種選擇． 第2步，涂“化”區(qū)域，有2種選擇． 第3步，涂“指”區(qū)域，由于它與“優(yōu)”、“化”區(qū)域顏色不同，有1種選擇． 第4步，涂“導”區(qū)域，由于它與“化”“指”區(qū)域顏色不同，有1種選擇． 所以根據(jù)分步乘法計數(shù)原理，得不同的涂色方法共有3×2×1×1＝6(種)． 求解涂色(種植)問題一般是直接利用兩個計數(shù)原理求解，常用方法有： (1)按區(qū)域的不同以區(qū)域為主分步計數(shù)，用分步乘法計數(shù)原理分析； (2)以顏色(種植作物)為主分類討論，適用于“區(qū)域、點、線段”問題，用分類加法計數(shù)原理分

10、析； (3)對于涂色問題將空間問題平面化，轉化為平面區(qū)域涂色問題．　　　　　　 [活學活用] 有4種不同的作物可供選擇種植在如圖所示的4塊試驗田中，每塊種植一種作物，相鄰的試驗田(有公共邊)不能種植同一種作物，共有多少種不同的種植方法？ 解：法一：第一步：種植A試驗田有4種方法； 第二步：種植B試驗田有3種方法； 第三步：若C試驗田種植的作物與B試驗田相同，則D試驗田有3種方法，此時有1×3＝3種種植方法． 若C試驗田種植的作物與B試驗田不同，則C試驗田有2種種植方法，D也有2種種植方法，共有2×2＝4種種植方法． 由分類加法計數(shù)原理知，有3＋4＝7種方

11、法． 第四步：由分步乘法計數(shù)原理有N＝4×3×7＝84種不同的種植方法． 法二：(1)若A，D種植同種作物，則A、D有4種不同的種法，B有3種種植方法，C也有3種種植方法，由分步乘法計數(shù)原理，共有4×3×3＝36種種植方法． (2)若A，D種植不同作物，則A有4種種植方法，D有3種種植方法，B有2種種植方法，C有2種種植方法，由分步乘法計數(shù)原理，共有4×3×2×2＝48種種植方法． 綜上所述，由分類加法計數(shù)原理，共有N＝36＋48＝84種種植方法． 層級一　學業(yè)水平達標 1．由數(shù)字1,2,3組成的無重復數(shù)字

12、的整數(shù)中，偶數(shù)的個數(shù)為(　　) A．15　　　　　　　　 　B．12 C．10 D．5 解析：選D　分三類，第一類組成一位整數(shù)，偶數(shù)有1個；第二類組成兩位整數(shù)，其中偶數(shù)有2個；第三類組成3位整數(shù)，其中偶數(shù)有2個．由分類加法計數(shù)原理知共有偶數(shù)5個． 2．三人踢毽子，互相傳遞，每人每次只能踢一下．由甲開始踢，經(jīng)過4次傳遞后，毽子又被踢回甲，則不同的傳遞方式共有(　　) A．4種 B．5種 C．6種 D．12種 解析：選C　若甲先傳給乙，則有甲→乙→甲→乙→甲，甲→乙→甲→丙→甲，甲→乙→丙→乙→甲3種不同的傳法；同理，甲先傳給丙也有3種不同的傳法，故共有6種不同的傳法．

13、 3．若三角形的三邊長均為正整數(shù)，其中一邊長為4，另外兩邊長分別為b，c，且滿足b≤4≤c，則這樣的三角形有(　　) A．10個 B．14個 C．15個 D．21個 解析：選A　當b＝1時，c＝4；當b＝2時，c＝4,5；當b＝3時，c＝4,5,6；當b＝4時，c＝4,5,6,7．故共有10個這樣的三角形．選A． 4．已知集合M＝{1，－2,3}，N＝{－4,5,6，－7}，從兩個集合中各取一個元素作為點的坐標，則在直角坐標系中，第一、二象限不同點的個數(shù)為(　　) A．18 B．16 C．14 D．10 解析：選C　分兩類：一是以集合M中的元素為橫坐標，以集合N中

14、的元素為縱坐標有3×2＝6個不同的點，二是以集合N中的元素為橫坐標，以集合M中的元素為縱坐標有4×2＝8個不同的點，故由分類加法計數(shù)原理得共有6＋8＝14個不同的點． 5．如圖，某電子器件是由三個電阻組成的回路，其中共有6個焊接點A，B，C，D，E，F(xiàn)，如果某個焊接點脫落，整個電路就會不通，現(xiàn)在電路不通了，那么焊接點脫落的可能性共有(　　) A．6種 B．36種 C．63種 D．64種 解析：選C　每個焊接點都有正常與脫落兩種情況，只要有一個脫落電路即不通，∴共有26－1＝63種．故選C． 6．如圖所示為一電路圖，則從A到B共有________條不同的單支

15、線路可通電． 解析：按上、中、下三條線路可分為三類：從上線路中有3條，中線路中有1條，下線路中有2×2＝4(條)．根據(jù)分類加法計數(shù)原理，共有3＋1＋4＝8(條)． 答案：8 7．將4種蔬菜種植在如圖所示的5塊試驗田里，每塊試驗田種植一種蔬菜，相鄰試驗田不能種植同一種蔬菜，不同的種法有________種．(種植品種可以不全) 解析：分五步，由左到右依次種植，種法分別為4,3,3,3,3． 由分步乘法計數(shù)原理共有4×3×3×3×3＝324(種) ． 答案：324 8．古人用天干、地支來表示年、月、日、時的次序．用天干的“甲、丙、戊

16、、庚、壬”和地支的“子、寅、辰、午、申、戌”相配，用天干的“乙、丁、己、辛、癸”和地支的“丑、卯、巳、未、酉、亥”相配，共可配成______組． 解析：分兩類：第一類，由天干的“甲、丙、戊、庚、壬”和地支的“子、寅、辰、午、申、戌”相配，則有5×6＝30組不同的結果；同理，第二類也有30組不同的結果，共可得到30＋30＝60組． 答案：60 9．某高中畢業(yè)生填報志愿時，了解到甲、乙兩所大學有自己感興趣的專業(yè)，具體情況如下： 甲大學 乙大學 專 業(yè) 生物學 數(shù)學 化學 會計學 醫(yī)學 信息技術學 工商管理學 物理學 如果這名同學只能選擇一所

17、大學的一個專業(yè)，那么他的專業(yè)選擇共有多少種？ 解：由圖表可知，分兩類，第一類：甲所大學有5個專業(yè)，共有5種專業(yè)選擇方法； 第二類：乙所大學有3個專業(yè)，共有3種專業(yè)選擇方法． 由分類加法計數(shù)原理知，這名同學可能的專業(yè)選擇有N＝5＋3＝8(種) ． 10．若直線方程Ax＋By＝0中的A，B可以從0,1,2,3,5這五個數(shù)字中任取兩個不同的數(shù)字，則方程所表示的不同直線共有多少條？ 解：分兩類完成． 第1類，當A或B中有一個為0時，表示的直線為x＝0或y＝0，共2條． 第2類，當A，B不為0時，直線Ax＋By＝0被確定需分兩步完成． 第1步，確定A的值，有4種不同的方法； 第2步，確

18、定B的值，有3種不同的方法． 由分步乘法計數(shù)原理知，共可確定4×3＝12條直線． 由分類加法計數(shù)原理知，方程所表示的不同直線共有2＋12＝14條． 層級二　應試能力達標 1．把10個蘋果分成三堆，要求每堆至少有1個，至多5個，則不同的分法共有(　　) A．4種　　　　　　　 　B．5種 C．6種 D．7種 解析：選A　分類考慮，若最少一堆是1個，由至多5個知另兩堆分別為4個、5個，只有一種分法；若最少一堆是2個，則由3＋5＝4＋4知有2種分法；若最少一堆是3個，則另兩堆為3個、4個共1種分法，故共有分法1＋2＋1＝4種． 2．要把3張不同的電影票分給10個人，每人

19、最多一張，則有不同的分法種數(shù)是(　　) A．2 160 B．720 C．240 D．120 解析：選B　可分三步： 第一步，任取一張電影票分給一人，有10種不同分法； 第二步，從剩下的兩張中任取一張，由于一人已得電影票，不能再參與，故有9種不同分法． 第三步，前面兩人已得電影票，不再參與，因而剩余最后一張有8種不同分法．所以不同的分法種數(shù)是10×9×8＝720(種) ． 3．用1,2,3三個數(shù)字組成一個四位數(shù)，規(guī)定這三個數(shù)必須全部使用，且同一數(shù)字不能相鄰，這樣的四位數(shù)有(　　) A．36個 B．18個 C．9個 D．6個 解析：選B　分三

20、步完成，第一步，確定哪一個數(shù)字被使用2次，有3種方法；第二步，把這2個相同的數(shù)字排在四位數(shù)不相鄰的兩個位置上，有3種方法；第三步，將余下的2個數(shù)字排在四位數(shù)余下的兩個位置上，有2種方法．故有3×3×2＝18個不同的四位數(shù)． 4．用4種不同的顏色涂入圖中的矩形A，B，C，D中，要求相鄰的矩形涂色不同，則不同的涂色方法共有(　　) A．12種 B．24種 C．48種 D．72種 解析：選D　先涂C，有4種涂法，涂D有3種涂法，涂A有3種涂法，涂B有2種涂法．由分步乘法計數(shù)原理，共有4×3×3×2＝72(種)涂法． 5．從2,3,4

21、,5,6,7,8,9這8個數(shù)中任取2個不同的數(shù)分別作為一個對數(shù)的底數(shù)和真數(shù)，則可以組成________個不同的對數(shù)值． 解析：要確定一個對數(shù)值，確定它的底數(shù)和真數(shù)即可，分兩步完成： 第1步，從這8個數(shù)中任取1個作為對數(shù)的底數(shù)，有8種不同取法； 第2步，從剩下的7個數(shù)中任取1個作為對數(shù)的真數(shù)，有7種不同取法． 根據(jù)分步乘法計數(shù)原理，可以組成8×7＝56個對數(shù)值． 在上述56個對數(shù)值中，log24＝log39，log42＝log93，log23＝log49，log32＝log94，所以滿足條件的對數(shù)值共有56－4＝52個． 答案：52 6．用6種不同的顏色給圖中的“笑臉”涂

22、色，要求“眼睛”(如圖A，B所示區(qū)域)用相同顏色，則不同的涂色方法共有________種． 解析：第1步涂眼睛有6種涂法，第2步涂鼻子有6種涂法，第3步涂嘴有6種涂法，所以共有63＝216種涂法． 答案：216 7．用6種不同顏色為如圖所示的廣告牌著色，要求在A，B，C，D四個區(qū)域中相鄰(有公共邊的)區(qū)域不用同一種顏色，求共有多少種不同的著色方法？ 解：(1)法一：分類： 第一類，A，D涂同色，有6×5×4＝120(種)涂法， 第二類，A，D涂異色，有6×5×4×3＝360(種)涂法， 共有120＋360＝480(種)涂法． 法

23、二：分步：先涂B區(qū)，有6(種)涂法，再涂C區(qū)，有5(種)涂法，最后涂A，D區(qū)域，各有4(種)涂法， 所以共有6×5×4×4＝480(種)涂法． 8．用1,2,3,4四個數(shù)字(可重復)排成三位數(shù)，并把這些三位數(shù)由小到大排成一個數(shù)列{an}． (1)寫出這個數(shù)列的前11項； (2)這個數(shù)列共有多少項？ (3)若an＝341，求n． 解：(1)111,112,113,114,121,122,123,124,131,132,133．　 (2)這個數(shù)列的項數(shù)就是用1,2,3,4排成的三位數(shù)的個數(shù)，每個位上都有4種排法，則共有4×4×4＝64項． (3)比an＝341小的數(shù)有兩類： 共有2×4×4＋1×3×4＝44項． ∴n＝44＋1＝45(項) ．