中考數(shù)學命題研究 第三編 綜合專題闖關(guān)篇 專題四 線段和的最小值問題試題

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1、 專題四 線段和的最小值問題 縱觀貴陽5年中考,2014年和2015年兩年連續(xù)考查了利用對稱求線段和最小值的幾何問題.設(shè)置在第24題、25題,以解答題的形式出現(xiàn),分值為12分,難度較大. 預(yù)計2017貴陽中考還會設(shè)計利用圖形變換考查此類問題的幾何綜合題,復(fù)習時要加大訓(xùn)練力度. ,中考重難點突破) 線段的最小值 【經(jīng)典導(dǎo)例】 【例】(六盤水中考)(1)觀察發(fā)現(xiàn) 如圖①,若點A,B在直線m同側(cè),在直線m上找一點P,使AP+BP的值最小,做法如下:作點B關(guān)于直線m的對稱點B′,連接AB′,與直線m的交點就是所求作的點P,線段AB′的長度即為AP+BP的最小值. 如圖②,

2、在等邊三角形ABC中,AB=2,點E是AB的中點,AD是高,在AD上找一點P,使BP+PE的值最小,做法如下: 作點B關(guān)于AD的對稱點,恰好與點C重合,連接CE交AD于一點,則這點就是所求作的點P,故BP+PE的最小值為________. (2)實踐運用 如圖③,已知⊙O的直徑CD為2,的度數(shù)為60,點B是的中點,在直徑CD上作出點P,使BP+AP的值最小,則BP+AP的最小值為________. (3)拓展延伸 如圖④,點P是四邊形ABCD內(nèi)一點,分別在邊AB,BC上作出點M,點N,使PM+PN的值最小,保留作圖痕跡,不寫作法. 【解析】(1)利用作法得到CE的長為BP+P

3、E的最小值;由AB=2,點E是AB的中點,根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)得到CE⊥AB,∠BCE=∠BCA=30,BE=1,再根據(jù)含30的直角三角形三邊的關(guān)系得到CE的長度.CE的長為BP+PE的最小值.∵在等邊三角形ABC中,AB=2,點E是AB的中點,∴CE⊥AB,∠BCE=∠BCA=30,BE=1,∴CE=BE=.故答案為;(2)過B點作弦BE⊥CD ,連接AE交CD于P點,連接OB,OE,OA,PB,根據(jù)垂徑定得到CD平分BE,即點E與點B關(guān)于CD對稱,則AE的長就是BP+AP的最小值. 【學生解答】解:(1);(2)實踐運用 如解圖①,過B作弦BE⊥CD,連接AE交CD于P點,連接OB

4、,OE,OA,PB.∵BE⊥CD,∴CD平分BE,即點E與點B關(guān)于CD對稱.∵的度數(shù)為60,點B是的中點,∴∠BOC=30,∠AOC=60,∴∠EOC=30,∴∠AOE=60+30=90,∵OA=OE=1,∴AE=OA=,∵AE的長就是BP+AP的最小值.故答案為; (3)分別作出點P關(guān)于AB和BC的對稱點E和F,然后連接EF,EF交AB于點M,交BC于點N.拓展延伸如解圖②. 1.(2015綏化中考)如圖,在矩形ABCD中,AB=10,BC=5.若點M,N分別是線段AC,AB上的兩個動點,則BM+MN的最小值是( B ) A.10 B.8 C.5 D.6 ,(第

5、1題圖)) ,(第2題圖)) 2.(2016貴陽模擬)如圖,正方形ABCD的邊長為4,點M在邊DC上,且DM=1,N為對角線AC上任意一點,則DN+MN的最小值為( B ) A.3 B.5 C.6 D.無法確定 3.(2016原創(chuàng))如圖,點P是邊長為1的菱形ABCD對角線AC上一個動點,點M,N分別是AB,BC邊上的中點,PM+PN的最小值是( B ) A.2 B.1 C. D. 4.(2016原創(chuàng))幾何模型: 條件:如下左圖,A,B是直線l同旁的兩個定點. 問題:在直線l上確定一點P,使PA+PB的值最?。? 方法:作點A關(guān)于直線l的對稱點A′

6、,連接A′B交l于點P,則PA+PB=A′B的值最小(不必證明). 模型應(yīng)用: (1)如圖①,正方形ABCD的邊長為2,E為AB中點,P是AC上一動點.連接BD,由正方形對稱性可知,B與D關(guān)于直線AC對稱.連接PE,PB,則PB+PE的最小值是________; (2)如圖②,⊙O的半徑為2,點A,B,C在⊙O上,OA⊥OB,∠AOC=60,P是OB上一動點,求PA+PC的最小值; (3)如圖③,∠AOB=30,P是∠AOB內(nèi)一點,PO=8,Q,R分別是OA,OB上的動點,求△PQR周長的最小值. 解:(1);(2)如圖②,延長AO交⊙O于點A′,則點A,A′關(guān)于直線OB對稱,

7、連接A′C與OB相交于點P,連接AC.∵OA=OC=2,∠AOC=60,∴△AOC是等邊三角形,∴AC=2.∵AA′=4,∠ACA′=90,∴PA+PC=PA′+PC=A′C=2,即PA+PC的最小值是2; (3)如圖③,分別作P點關(guān)于OB,OA的對稱點P1,P2,連接P1P2交OA于點Q,交OB于點R,∴OP=OP1=OP2,∠P1OB=∠POB,∠P2OA=∠POA,∴∠P1OP2=2∠AOB=60,∴△P1OP2是等邊三角形,P1P2=OP=8,∴三角形PQR的周長=PR+PQ+RQ=P1R+P2Q+RQ=P1P2=8,即△PQR的周長的最小值為8. 5.(2014貴陽中考)如

8、圖,將一副直角三角形拼放在一起得到四邊形ABCD,其中∠BAC=45,∠ACD=30,點E為CD邊上的中點,連接AE,將△ADE沿AE所在直線翻折得到△AD′E,D′E交AC于F點.若AB=6 cm. (1)AE的長為__4__cm; (2)試在線段AC上確定一點P,使得DP+EP的值最小,并求出這個最小值; (3)求點D′到BC的距離. 解:(1)4;(2)∵Rt△ADC中,∠ACD=30, ∴∠ADC=60. ∵E為CD邊上的中點, ∴DE=AE, ∴△ADE為等邊三角形.∵將△ADE沿AE所在直線翻折得△AD′E, ∴△AD′E為等邊三角形, ∠AED′=60, ∵∠EAC

9、=∠EAD-∠DAC=30, ∴∠EFA=90, 即AC所在的直線垂直平分線段ED′, ∴點E,D′關(guān)于直線AC對稱, 連接DD′交AC于點P, ∴此時DP+EP值為最小,且DP+EP=DD′, ∵△ADE是等邊三角形,AD=AE=4, ∴DD′=2AD=26=12, 即DP+EP最小值為12 cm;(3)連接CD′,BD′,過點D′作D′G⊥BC于點G, ∵AC垂直平分線ED′, ∴AE=AD′,CE=CD′, ∵AE=EC,∴AD′=CD′=4, 在△ABD′和△CBD′中,∴△ABD′≌△CBD′(SSS), ∴∠D′BG=45, ∴D′G=GB, 設(shè)D′G長為x cm,則CG長為(6

10、-x)cm,在Rt△GD′C中,x2 +(6-x)2 =(4)2 , 解得x1=3-,x2=3+(不合題意舍去), ∴點D′到BC邊的距離為(3-)cm. 6.(2016貴陽中考)如圖,在矩形紙片ABCD中,AB=4,AD=12,將矩形紙片折疊,使點C落在AD邊上的點M處,折痕為PE,此時PD=3. (1)求MP的值; (2)在AB邊上有一個動點F,且不與點A,B重合,當AF等于多少時,△MEF的周長最小? (3)若點G,Q是AB邊上的兩個動點,且不與點A,B重合,GQ=2,當四邊形MEQG的周長最小時,求最小周長值.(計算結(jié)果保留根號) 解:(1)MP==5;(2)如圖1,

11、作點M關(guān)于AB的對稱點M′,連接M′E交AB于點F,則點F即為所求, 過點E作EN⊥AD,垂足為N.∵AM=AD-MP-PD=15-5-3=4,∴AM=AM′=4.∵矩形ABCD折疊,使點C落在AD邊上的點M處,折痕為PE,∴∠CEP=∠MEP,而∠CEP=∠MPE,∴∠MEP=∠MPE,∴ME=MP=5,在Rt△ENM中,MN===3,∴NM′=11.∵AF∥NE,∴△AFM′∽△NEM′,∴=,即=,解得AF=,即AF=時,△MEF的周長最小;(3)如圖2,由(2)知點M′是點M關(guān)于AB的對稱點,連接MG,在EN上截取ER=2,連接M′R交AB于點G,再過點E作EQ∥RG,交AB于點Q, ∵EQ∥RG,ER∥GQ,∴四邊形ERGQ是平行四邊形,∴QE=GR.∵GM=GM′,∴MG+QE=GM′+GR=M′R,此時MG+EQ最小,四邊形MEQG的周長最小,在Rt△M′RN中,NR=4-2=2,M′R==5,∵ME=5,GQ=2,∴四邊形MEQG的最小周長值是7+5. 3

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