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1、高考小題標準練(十八)
時間：40分鐘 分值：75分 姓名：________ 班級：________
一、選擇題(本大題共10小題，每小5分，共50分．在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的)
1．已知全集U＝{0,1,2,3,4,5,6}，集合A＝{2,3}，B＝{1,3,6}，則集合(?UA)∩B＝( )
A．{3,6} B．{1,3,6}
C．{1,6} D．{1,3}
解析：通解：因為?UA＝{0,1,4,5,6}，所以(?UA)∩B＝{1,6}，故選C.
優(yōu)解：易知2,3不是(?UA)∩B中的元素，只有C符合．
2、
答案：C
2．在復(fù)平面內(nèi)，復(fù)數(shù)＋2i5對應(yīng)的點位于( )
A．第一象限 B．第二象限
C．第三象限 D．第四象限
解析：因為＋2i5＝＋2i＝＋2i＝＋i，對應(yīng)的點是，位于第一象限，故選A.
答案：A
3．高三(1)班共有56人，學(xué)號依次為1,2,3，…，56，現(xiàn)用系統(tǒng)抽樣的方法抽取一個容量為4的樣本，已知學(xué)號為2,30,44的同學(xué)在樣本中，則還有一個同學(xué)的學(xué)號應(yīng)為( )
A．22 B．20 C．18 D．16
解析：因為用系統(tǒng)抽樣的方法抽取一個容量為4的樣本，所以＝14，也就是說每隔14名同學(xué)抽取1名，而抽取的第1名同學(xué)的學(xué)號為2，所以第2名同學(xué)的學(xué)號為
3、2＋14＝16.
答案：D
4．若方程log (a－3x)＝x－2有解，則a的最小值為( )
A．4 B．6 C．8 D．2
解析：方程log (a－3x)＝x－2等價于x－2＝a－3x，即a＝x－2＋3x＝9x＋3x≥2＝6，當且僅當9x＝3x，即x＝1時取等號，選B.
答案：B
5．執(zhí)行如圖所示的程序框圖，則輸出的結(jié)果為( )
A．32 B．25 C．21 D．15
解析：通解：可以利用程序框圖逐步處理．
第一次循環(huán)：A≤9，S＝0＋1＝1，A＝1＋2＝3；
第二次循環(huán)：A≤9，S＝1＋3＝4，A＝3＋2＝5；
第三次循環(huán)：A≤9，S＝4＋5＝9，
4、A＝5＋2＝7；
第四次循環(huán)：A≤9，S＝9＋7＝16，A＝7＋2＝9；
第五次循環(huán)：A≤9，S＝16＋9＝25，A＝9＋2＝11；
第六次循環(huán)：A＝11>9，輸出S.故輸出的結(jié)果為25.故選B.
優(yōu)解：由S＝S＋A可知，該程序框圖的功能是求和，由A＝1，A＝A＋2可知，A的值構(gòu)成一個首項為1，公差為2的等差數(shù)列．由A≤9可知，該數(shù)列的最后一項是9.故該程序框圖的功能是求等差數(shù)列1,3,5,7,9這5項的和，所以S＝1＋3＋5＋7＋9＝25，故選B.
答案：B
6.
如圖，在一個不規(guī)則多邊形內(nèi)隨機投入250粒大米(大米視為質(zhì)點，且落到任何位置的可能性相等)，若恰有150粒落入
5、半徑為1的圓內(nèi)，則該多邊形的面積約為( )
A. B．2π C. D．5π
解析：由大米落入圓內(nèi)的概率P＝＝?S多邊形＝S圓＝.
答案：C
7.
如圖，在△OAB中，點B關(guān)于點A的對稱點為C，D在線段OB上，且OD＝2DB，DC和OA相交于點E.若＝λ，則λ＝( )
A. B.
C. D.
解析：通解：設(shè)＝a，＝b，由題意得＝－＝＋－＝＋－＝2a－b.因為＝λ＝λa，設(shè)＝μ＝2μa－μb，又＝＋，所以λa＝b＋2μa－μb＝2μa＋b，所以，所以λ＝.
優(yōu)解：由題意知，AB＝AC，OD＝2DB，過點A作AF∥OB交CD于點F，則＝＝，即AF＝BD＝OD，故A
6、E＝OE，則OE＝OA，又＝λ，故λ＝.
答案：C
8．已知x，y滿足約束條件k>0，若z＝取得最小值的最優(yōu)解有無窮多個，則( )
A．k≥1 B．00，b>0)的左、右焦點，右支上一點P滿足PF1⊥PF2，若|PF1|≥3|PF2|，則雙曲線的離心率的取值范圍是( )
A．(1，＋∞) B.
C
7、. D.
解析：由雙曲線的定義得|PF1|－|PF2|＝2a.又|PF1|≥3|PF2|，設(shè)|PF2|＝m，則|PF1|＝2a＋m，從而2a＋m≥3m，即a≥m.因為PF1⊥PF2，由勾股定理可得|PF1|2＋|PF2|2＝|F1F2|2，得4c2≤10a2，解得－≤e＝≤.又e>1，所以雙曲線的離心率的取值范圍是.
答案：C
10．已知函數(shù)f(x)＝x＋－2alnx在區(qū)間(1,2)上單調(diào)遞增，則實數(shù)a的取值范圍為( )
A．[0,1) B.
C. D.
解析：因為f ′(x)＝1－－＝，要使函數(shù)f(x)＝x＋－2alnx在區(qū)間(1,2)上單調(diào)遞增，需≥0在(1,2)上恒
8、成立，即x2－2ax－3a2≥0在(1,2)上恒成立，設(shè)h(x)＝x2－2ax－3a2，則它的圖象的對稱軸為x＝a，當a≤1時，h(1)＝1－2a－3a2≥0，解得－1≤a≤，當10，不滿足題意，當a≥2時，h(2)＝4－4a－3a2≥0，無解．綜上，實數(shù)a的取值范圍為.
答案：B
二、填空題(本大題共5小題，每小5分，共25分．請把正確答案填在題中橫線上)
11．設(shè)α∈(0，π)，若sin＝，則tan2α＝__________.
解析：由sin＝，得(sinα－cosα)＝，所以sinα－cosα＝，解方程組，得或.
因為α∈(0，π)，所以sin
9、α>0，所以，tanα＝，所以tan2α＝＝＝－.
答案：－
12．若Sn＝12－22＋32－42＋…＋(－1)n－1n2，則(n－7)S2n－1的最小值為__________．
解析：由題意知S2n－1＝12－22＋32－42＋…－(2n－2)2＋(2n－1)2＝－[1＋2＋3＋4＋…＋(2n－3)＋(2n－2)]＋(2n－1)2＝－＋(2n－1)2＝2n2－n，f(n)＝(n－7)S2n－1＝(n－7)(2n2－n)＝2n3－15n2＋7n，令f(x)＝2x3－15x2＋7x(x≥1)，則f′(x)＝6x2－30x＋7，令f ′(x)＝0，得x＝，f(x)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，
10、而4<<5，因此f(n)在n＝4或n＝5時取得最小值，f(4)＝－84，f(5)＝－90，所以f(n)的最小值為－90.
答案：－90
13．某幾何體的三視圖如圖所示，則該幾何體的體積為__________．
解析：通解：根據(jù)三視圖可得該幾何體的直觀圖如圖中幾何體A1ABB1C1C所示，且AA1，BB1，CC1都與平面ABC垂直，所以平面AA1B1B，平面BB1C1C，平面CC1A1A都與平面ABC垂直，又AB2＋AC2＝BC2，所以AB⊥AC，所以AB⊥平面CC1A1A.
過點B1作平行于平面ABC的平面分割幾何體，則該幾何體的體積V＝VABC－EB1F＋VB1－FEA1C1＝3
11、42＋433＝24.
優(yōu)解：根據(jù)三視圖可得該幾何體的直觀圖如圖中幾何體A1ABB1C1C所示，且AA1，BB1，CC1都與平面ABC垂直，所以平面AA1B1B，平面BB1C1C，平面CC1A1A都與平面ABC垂直，又AB2＋AC2＝BC2，所以AB⊥AC，所以AB⊥平面CC1A1A.連接AB1，CB1分割幾何體，則該幾何體的體積V＝VB1－ABC＋VB1－CAA1C1＝234＋453＝24.
答案：24
14．在鈍角三角形ABC中，a，b，c分別為角A，B，C的對邊，若sinB＝sinC，a＝2，sin＝，則該三角形的面積為__________．
解析：在鈍角三角形ABC中
12、，由sin＝
，－<2A－<，得2A－＝或2A－＝，解得A＝或A＝(舍去)，所以A＝.又由sinB＝sinC得b＝c，又a＝2，由余弦定理a2＝b2＋c2－2bccosA得4＝3c2＋c2－2c2＝c2，所以c＝2，b＝2，所以該三角形的面積S△ABC＝bcsinA＝22＝.
答案：
15．已知四面體PABC的外接球的球心O在AB上，且PO⊥平面ABC,2AC＝AB，若四面體的體積為，則該球的體積為__________．
解析：設(shè)該球的半徑為R，則AB＝2R,2AC＝AB＝2R，所以AC＝R，由于AB是球O的直徑，所以三角形ABC在過球心的平面內(nèi)，且AC⊥BC，在直角三角形ABC中，由勾股定理得BC2＝AB2－AC2＝R2，BC＝R，所以直角三角形ABC的面積S＝BCAC＝R2，又PO⊥平面ABC，且PO＝R，四面體的體積為，所以VP－ABC＝RR2＝，即R3＝9，R3＝3，所以球的體積為πR3＝4π.
答案：4π
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