【備戰(zhàn)】湖北版高考數(shù)學分項匯編 專題03 導數(shù)含解析

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1、專題3 導數(shù) 一．選擇題 1. 【2005年普通高等學校招生全國統(tǒng)一考試湖北卷11】在函數(shù)的圖象上，其切線的傾斜角小 于的點中，坐標為整數(shù)的點的個數(shù)是（ ） A．3 B．2 C．1 D．0 2.【2013年普通高等學校招生全國統(tǒng)一考試湖北卷10】已知函數(shù)有兩個極值點，則實數(shù)的取值范圍是（ ） A． B． C． D． 二．填空題 1.【2006年普通高等學校招生全國統(tǒng)一考試湖北卷15】半徑為r的圓的面積S(r)＝r2,周長C(r)=2r，若將r看作(0，＋∞)上的變量，則(r2)`＝2r ， 式可以用語言敘

2、述為：圓的面積函數(shù)的導數(shù)等于圓的周長函數(shù). 對于半徑為R的球，若將R看作(0，＋∞)上的變量，請你寫出類似于 ②的式子： . 式可以用語言敘述為： . 2.【2007年普通高等學校招生全國統(tǒng)一考試湖北卷13】已知函數(shù)的圖象在M（1，f（1））處的切線方程是+2， . 三．解答題 1.【2005年普通高等學校招生全國統(tǒng)一考試湖北卷17】已知向量在區(qū)間（－1，1）上是增函數(shù)，求t的取值范圍. 【解析】依題意 若函數(shù)在上是增函數(shù)，則在上

3、， 所以在恒成立，設， 由于的圖象是對稱軸為直線且開口向上的拋物線， 故要使在區(qū)間（－1，1）上恒成立 故實數(shù)的取值范圍是. 2.【2006年普通高等學校招生全國統(tǒng)一考試湖北卷19】設函數(shù)f(x)=x3+ax2+bx+c在x＝1處取得極值－2，試用c表示a和b，并求f(x)的單調區(qū)間. 3. 【2007年普通高等學校招生全國統(tǒng)一考試湖北卷18】某商品每件成本9元，售價30元，每星期賣出432件.如果降低價格。銷售量可以增加，且每星期多賣出的商品件數(shù)與商品單價的降低銷x（單位：元，）的平方成正比.已知商品單價降低2元時，一星期多賣出24件. （Ⅰ）將一個星期的商品銷售利潤表示成

4、x的函數(shù); （Ⅱ）如何定價才能使一個星期的商品銷售利潤最大？ 【解析】（Ⅰ）設商品降價元，則多賣的商品數(shù)為，若記商品在一個星期的獲利為， 則依題意有， 又由已知條件，，于是有， 所以． （Ⅱ）根據(jù)（Ⅰ），我們有． 2 12 0 0 極小 極大 故時，達到極大值．因為，，所以定價為元能使一個星期的商品銷售利潤最大． 4. 【2008年普通高等學校招生全國統(tǒng)一考試湖北卷17】已知函數(shù)（為常數(shù)，且）有極大值9. （Ⅰ）求的值； （Ⅱ）若斜率為－5的直線是曲線的切線，求此直線方程. 【解析】(Ⅰ) f’(x)＝3x2+2

5、mx－m2=(x+m)(3x－m)=0,則x=－m或x=m, 當x變化時，f’(x)與f(x)的變化情況如下表： x (－∞,－m) －m (－m,) (,+∞) f’(x) + 0 － 0 + f (x) 極大值 極小值 從而可知，當x=－m時，函數(shù)f(x)取得極大值9， 即f(－m)＝－m3+m3+m3+1=9,∴m＝2. (Ⅱ)由(Ⅰ)知，f(x)=x3+2x2－4x+1, 依題意知f’(x)＝3x2＋4x－4＝－5，∴x＝－1或x＝－. 又f(－1)＝6，f(－)＝， 所以切線方程為y－6＝－5(x＋1),或y－＝－5(

6、x＋)， 即5x＋y－1＝0，或135x＋27y－23＝0. 5. 【2009年普通高等學校招生全國統(tǒng)一考試湖北卷22】已知關于x的函數(shù)f(x)＝＋bx2＋cx＋bc,其導函數(shù)為f+(x).令g(x)＝∣f+(x) ∣,記函數(shù)g(x)在區(qū)間[-1、1]上的最大值為M. (Ⅰ)如果函數(shù)f(x)在x＝1處有極值-，試確定b、c的值： （Ⅱ）若∣b∣>1,證明對任意的c,都有M>2: (Ⅲ)若M≧K對任意的b、c恒成立，試求k的最大值。 【解析】（I），由在處有極值 可得，解得或 若，則，此時沒有極值； 若，則 當變化時，，的變化情況如下表：

7、 1 0 + 0 極小值 極大值 當時，有極大值，故，即為所求。 （Ⅱ）證法1： 當時，函數(shù)的對稱軸位于區(qū)間之外。 在上的最值在兩端點處取得 故應是和中較大的一個 即 證法2（反證法）：因為，所以函數(shù)的對稱軸位于區(qū)間之外， 在上的最值在兩端點處取得。 故應是和中較大的一個 假設，則 （1）當時，由（Ⅱ）可知； （2）當時，函數(shù)的對稱軸位于區(qū)間內(nèi)， 此時 ，即 下同解法1. 6. 【2010年普通高等學校招生全國統(tǒng)一考試湖北卷21】設函數(shù)，其中a＞0，曲線在點P（0，）處的切線方程為y=1

8、. （Ⅰ）確定b、c的值； （Ⅱ）設曲線在點（）及（）處的切線都過點（0,2）證明：當時，； （Ⅲ）若過點（0,2）可作曲線的三條不同切線，求a的取值范圍. 由(1)-(2)得 又 ∴，此時，與矛盾，所以. （Ⅲ）由（Ⅱ）知，過點(0,2)可作的三條切線，等價于方程有三個相異的實根，即等價于方程有三個相異的實根. 設，則. 令＝0得 列表如下： 0 ＋ 0 － 0 ＋ ↗ 極大值1 ↘ 極小值 ↗ 由的單調性知，要使=0有三個相異的實根，當且僅當，即. ∴a的取值范圍是. 7.【2011年普通高等學校招生全國統(tǒng)

9、一考試湖北卷20】設函數(shù)，，其中，、為常數(shù)．已知曲線與在點處有相同的切線． （Ⅰ）求、的值，并寫出切線的方程； （Ⅱ）若方程有三個互不相同的實根0、、，其中，且對任意的， 恒成立，求實數(shù)的取值范圍． 【解析】（Ⅰ），． 8.【2012年普通高等學校招生全國統(tǒng)一考試湖北卷22】設函數(shù)，為正整數(shù)，a，b為常數(shù). 曲線在 處的切線方程為. （Ⅰ）求a，b的值； （Ⅱ）求函數(shù)的最大值； （Ⅲ）證明：. 【解析】（Ⅰ）因為，由點在上，可得，即. 因為，所以. 9.【2013年普通高等學校招生全國統(tǒng)一考試湖北卷21】設，，已知函數(shù). （Ⅰ）當時，討論函數(shù)的單調性；

10、 （Ⅱ）當時，稱為、關于的加權平均數(shù). （i）判斷, ,是否成等比數(shù)列，并證明； （ii）、的幾何平均數(shù)記為G. 稱為、的調和平均數(shù)，記為H. 若，求 的取值范圍. 【解析】(1)f(x)的定義域為(－∞，－1)∪(－1，＋∞)， f′(x)＝. 當a＞b時，f′(x)＞0，函數(shù)f(x)在(－∞，－1)，(－1，＋∞)上單調遞增； 當a＜b時，f′(x)＜0，函數(shù)f(x)在(－∞，－1)，(－1，＋∞)上單調遞減． (2)①計算得f(1)＝＞0，，， 故， 得，即x的取值范圍為. 10.【2014年普通高等學校招生全國統(tǒng)一考試湖北卷21】為圓周率，為自然對數(shù)的底數(shù)

11、. （1）求函數(shù)的單調區(qū)間； （2）求，，，，，這6個數(shù)中的最大數(shù)與最小數(shù)； （3）將，，，，，這6個數(shù)按從小到大的順序排列，并證明你的結論. 11. 【2015高考湖北，文21】設函數(shù)，的定義域均為，且是奇函數(shù)，是偶函數(shù)， ，其中e為自然對數(shù)的底數(shù). （Ⅰ）求，的解析式，并證明：當時，，； （Ⅱ）設，，證明：當時，. 【答案】（Ⅰ），.證明：當時，，，故 又由基本不等式，有，即 （Ⅱ）由（Ⅰ）得 ⑤⑥ 當時，等價于 ⑦ 等價于 ⑧于是設函數(shù) ，由⑤⑥，有 當時，（1）若，由③④，得，故在上為增函數(shù)，從而，即，故⑦成立.（2）若，由③④，得，故在上為減函數(shù)，從而，即，故⑧成立.綜合⑦⑧，得 .