【贏在高考】2013屆高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)9.9直線與圓錐曲線的位置關(guān)配套練習(xí)

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1、第9講直線與圓錐曲線的位置關(guān)系 隨堂演練鞏固 1 .已知直線x-y-1=0與拋物線y =ax2相切，則a等于（ ） A. 1 B. 1 C. 1 D.4 【答案】C x-y-1=0 a = 0 【解析】由2 2 消去y得ax2—x+1=0.所以《 解得a=. y = ax 1 -4a = 0. 4 2 2 2.已知雙曲線 x--y-=1 .過點(diǎn)Mm。）作垂直于雙曲線實(shí)軸的直線 與雙曲線交于兩點(diǎn) A、3.若^ AO班銳角三 3 4 角形（O為坐標(biāo)原點(diǎn)），則實(shí)數(shù)m的取值范圍是（） A. （-2,3 2、. 3） B. (-2,3 0) (0 2,3) C. ( -2,

2、. 3) 一(2、. 3 .二) d. (-2,3 一、.3) (、,3 2、,3) 【答案】D ??? OA =(m 【解析】依題意可得 A（m .2 m2-1)B(m, —1).OB=(m.—2 1m2-1). - 1) ??.△AOB1銳角三角形，必有/AOB是銳角，即OA與OB的夾角為銳角.由OAOBa0. 2 得 m -4m- 4 0 -2j3

3、2=4和（x —4）2 + y2=1上的點(diǎn)，則 |PM-| PN的最大值為 ^ 【答案】5 【解析】已知兩圓的圓心（-4,0）和（4,0）（記為E和F2）恰為雙曲線x2—上=1的兩焦點(diǎn). 15 當(dāng)| PM最大,| PN最小時(shí)，| P用| PN最大,1 PM最大值為 P到圓心F1的距離| PF11與圓F1半徑之和，同樣 12 1PN 最小=1 PF2I-1，從而(I PM-I PN)max=l PFi|+2-(| PF2|-1)=| PFil-l PF2|+3=2a+3=5. 2 4 2 y_=i有兩個(gè)交點(diǎn)，則直線i的斜率的取值范圍是 3 4.過原點(diǎn)的直線l與雙曲線

4、得1x2 4 k2 2 ^x2 =1 3 由△ A0知「更＜k〈烏. 2 2 2 5.已知雙曲線方程：X2 -當(dāng)=1.則以A（2,1）為中點(diǎn)的弦所在直線l的方程是 3 【答案】6x-y-11=0 P(X .y1)和Q(X2 .y) . 【解析】設(shè)l與雙曲線交于 ②-①,得(x2 +x1)(x2 — X1) —1(y2 + y1)(y2 — y1)=0 ?而 x1 +x2 =4.y〔 +y2 =2. 3 4(x2 -為)-2(y2 -y1)=0. 3 =6 .即 K=6. x2 -Xi ???點(diǎn)A(2,1)在雙曲線的內(nèi)部, ，直線 l 的方程為 y-1=6(

5、x-2),即 6x-y-11=0. 課后作業(yè)夯基 基礎(chǔ)鞏固 1. AB為過橢圓 2 v2 、+ —2~ =1中心的弦，F(xiàn)（ c,0）為該橢圓的焦點(diǎn) a b ，則4FAB的最大面積為（） A. b2 B. ab C. ac D.bc 【解析】設(shè)A、 B兩點(diǎn)的坐標(biāo)為（x1.y1）、（—x1 ,—y1）.則 S fab =2 Io用 2y1|=c| y1| Ebc.

6、 2 .過雙曲線x2-y2 =4上任一點(diǎn) M作它的一條漸近線的垂線段 ，垂足為 NO是坐標(biāo)原點(diǎn)，則△OMNB勺面積是 () A.1 【答案】A B.2 C.3 D.不確定 【解析】過雙曲線上任一點(diǎn) M (x0 .y0)作漸近線y = x的垂線，垂足分別為N N. | MN | MN I = xo —y I X - yo =2 = 2,故 SOMN = 1 . 3 .雙曲線X2 -y2 =1的左焦點(diǎn)為F,點(diǎn)P為其左支下半支上任意一點(diǎn) (異于頂點(diǎn))，則直線PF的斜率的變化范圍 B. （1.二） 是() A.（

7、-二.0） C.（-二 0） -（1.二） 【答案】C 【解析】數(shù)形結(jié)合法，與漸近線斜率比較.可得答案為C. 4 .拋物線的頂點(diǎn)在原點(diǎn)，焦點(diǎn)在x軸上，而且被直線 2x-y+1=0所截得的弦長等于 J15 .則拋物線的方程是 A. 2 . =-12x 或 y =4x B. 2 =-4x 或 y =12 x C. 2 =-10x 或 y =4x D. 2 =-6x或 y =10x 【解析】設(shè)所求拋物線為 y2 = ax(a w r且a 0 0). 2 , y = ax / 口 2 由 4 得2y—ay+a = 0. 2x-y 1=0

8、若弦兩端點(diǎn)縱坐標(biāo)分別為 y［和y2 .則| y1 - y2 | =-^Va2 -8a . 于是弦長=—Ja2 -8a = ^15 .解得 a=12 或 a=-4. 4 5 .已知焦點(diǎn)為Fi(-2 .0) F2Q 0)的橢圓與直線l : x+y-9=0有公共點(diǎn)，則橢圓長軸長的最小值是() A. -.170 B.170 C. 70 【答案】A 2 2 -4 . 【解析】方法一：依題意，設(shè)橢圓方程為＞0),且c=2,則b2=a2 a b 將橢圓方程與直線方程聯(lián)立，得 ■ 2 2 與丹」1 a a -4 x y -9 =0 消去參數(shù)y,整理得 (2a2

9、 -4)x2 -18a2x 85a2 -a4 = 0. 因?yàn)橹本€l與橢圓有公共點(diǎn)，所以A20. 即(18a2)2 -4(2a2 -4)(85a2 -a4) _0 整理得 2a4 -93a2 340 _0. 解得a2之85或a2 W 4(舍去), 2a _ . 170 即橢圓長軸長的最小值為 .170 . 方法二：如圖，可設(shè)P為橢圓與直線 l 的公共點(diǎn)，則 | PF1|+| PF2|=2a, 所以問題轉(zhuǎn)化為當(dāng) P在l上運(yùn)動(dòng)時(shí)，求| PF11+| PF2|的最小值. 作F2關(guān)于l的對(duì)稱點(diǎn)F2函法),則 7A2(-1) =-1 4 x0 解

10、得 j 血-9=0. 2 2 x0 =9 0 即 F2 (9,7). .y。=7 所以 | PF1|+| PF2|二| PF1|+| PF2 I " F1F2 I = J(9+2)2 +72 =7170. 即橢圓長軸長的最小值為 、170. 2 2 y=4x+m對(duì)稱，則實(shí)數(shù) m的取值范圍是 6.已知橢圓++_y_=1若在此橢圓上存，在不同白^兩點(diǎn) A B關(guān)于直線 4 3 () 2 13 2.13 8（一。廿 【解析】設(shè)A(Xi,yi),B(X2.y2).AB的中點(diǎn)為M(x,y), y2—yi 22 _一 _ 22 由題思知kAB =-——乙=—

11、1 X+X2 =2x.yi+丫2 =2y.3xi+4yi =12 ①.3x2+4y2 =12 ②.①②兩 x2 -x1 4 2 2. ., 2 2、 _ 一. ... . .一 一 .一一 式相減付 3(x2 一 X ) +4( y2 - yi) = 0 .即 yi + y2 = 3( x1十 x2).即 y=3x,與 y=4x+mfbr得 x=- m y=-3 m 而 M x, y) 在橢圓白^內(nèi)部，則m2+呼 <1.即—2133 Mm <第3. 7.當(dāng)x>1時(shí)，直線y=ax- a恒在拋物線y = x2的下方，則a的取值范圍是 ^ 【答案】(_：：. 4) 2 2 一人一 ，

12、一一 ，r — 一 一、， 、 y = x - q，，i 9 . 9 【斛析】由題息聯(lián)立 , 整理可得x -2*十2=0.由^=2 —4a = 0 .解得a=0或a=4,此時(shí)直線與 y =ax-a. 拋物線相切，因?yàn)橹本€橫過定點(diǎn)(1,0),結(jié)合圖形可知當(dāng)a w (q. 4) .x > 1時(shí)直線y=ax- a恒在拋物線y = x2的 下方. 8 .已知直線l與橢圓x2+2y2=2交于P、P2兩點(diǎn)，線段RP2的中點(diǎn)為P,設(shè)直線l的斜率為ki(ki=0) .直線 OP的斜率為k2 .則k1k2的值等于 ^ 【答案】-1 2 【解析】設(shè) F^(x1 y1) P2(x2 y2). 則

13、P（Y 1） k2 二代心 kkk2 2 2 V2 — yi 2 2 & -xi 2 2 由產(chǎn)2y1 X2 +2y； 2 ,相減得 y2 - yj = 一工（x； -x2）. =2 2 故 kk =-2. 9 .已知有公共焦點(diǎn)的橢圓與雙曲線中心為原點(diǎn) ，焦點(diǎn)在x軸上，左、右焦點(diǎn)分別為 F1、F2 .且它們?cè)诘谝幌笙? 的交點(diǎn)為 P, △pf〔f2是以PF1為底邊的等腰三角形.若| PF1|=10,雙曲線的離心率的取值范圍為 (1,2),則 該橢圓的離心率的取值范圍是 【答案】(1 2) (3 5) 【解析】設(shè)它們的焦距為 2c,則 | PF

14、2l=l F1F2 |=2c,雙曲線的離心率 e = 2c 10 -2c 5-c .由 5-c W (12)得 5 10 -0)的焦點(diǎn)作斜率為1的直線與該拋物線交于 A,B兩點(diǎn),A,B在x軸上的正射影分別 為D,C.若梯形ABCD勺面積為12J2,則p= . 【答案】2 【解析】拋物線的焦點(diǎn)為 (04).設(shè)A(x ) Ed牝) .直線AB的方程為y— = xW y=x+~p. 聯(lián)立［y=x+會(huì)消去 x2 =2p

15、y . y,得 x2 -2 px - p2 = 0 . ?? x =(1 、2)px2 =(1-、、2)p. y〔 y2 " x2 =2p p =3p | CD=| 為 一 x2| =2 2p. 由 S梯形ABCD =1(|AD+| BC) CD =2 3p 2、2P = 12.2 解得 p2 =4 p = 2. 1 .- p>0, p=2. 2 11 .已知點(diǎn)A(0,2)和拋物線C: y =6x.求過點(diǎn)A且與拋物線C相切的直線l的方程. ? , ，、一 、八、一， ,,, ，、一 …一， y = kx2 【解】設(shè)直線l的方程為y=kx+2，這個(gè)方程與拋物線 C的方程聯(lián)

16、立，得方程組4y 2 y = 6x 當(dāng)k=0時(shí)，由方程組得6x =4.x .可知此時(shí)直線l與拋物線相交于點(diǎn)(2 .2). 3 3 當(dāng)k #0時(shí)，由方程組消去x,得方程 , 2 一 一一 ky -6y 12 = 0.(*) 關(guān)于y的二次方程(*)的判別式△ =36-48k .由△ =0,得k=3 .可知此日^直線l與拋物線C有一個(gè)公共點(diǎn) 4 即它們相切.直線l的方程為3x-4y+8=0. 當(dāng)直線l的斜率不存在時(shí)，直線l就是y軸，其方程為x=0. 所以，直線l的方程為3x-4y+8=0,或x=0. 12 .已知橢圓 x_+4=i(a >b >0)的一個(gè)焦點(diǎn)在直線l：x=i上，

17、其離心率e = 1.設(shè)P、Q為橢圓上不同的兩 a2 b2 2 點(diǎn)，且弦PQ勺中點(diǎn)T在直線l上，點(diǎn)R(14 .0). (1)求橢圓的方程； (2)試證：對(duì)于所有滿足條件的 P、Q恒有| RP=| RQ 【解】(1)橢圓的一個(gè)焦點(diǎn)在直線 l :x=1上，所以c=1. 又因?yàn)殡x心率e = l jp c =1 .所以a=2,從而b2=3l 2 a 2 所以橢圓的方程為 W-=1. 4 3 (2)證明：設(shè) T(1 ,y。)P(x1 M) Q(x2 皿). 則 RT =(3 y。)PQ =(x2 -x〔 y2 -y1) 3 RT PQ =3(x2 -x1)y(y2 -y) 又因?yàn)?/p>

18、P Q都在橢圓 "+貴=1上 4 3 2 2 2 2 所以~a +y~=1與+多=1兩式相減得 4 3 4 3 1(x1 -x2)(x[ "2) 1(y1 -y2)(y1 72) =0 4 3 因?yàn)辄c(diǎn)T是PQ的中點(diǎn)，所以x1 +x2 - 2 .y1 + y2 - 2yo. 于是 1(x1 -x2) 2y0(y1 一y2) 二0 2 3 所以 3(x1 W) y0(y1 -y2) =0 4 T — T T 即RT PQ =0,所以RT _L PQ ,即RT是線段PQ勺垂直平分線，所以恒有| RP=| RQ 2 2 13.已知橢圓Ci：與+冬=1(a >b >0)的右頂點(diǎn)為

19、A(l,0),過Ci的焦點(diǎn)且垂直長軸的弦長為 1. a b ⑴求橢圓Ci的方程. (2)設(shè)點(diǎn)P在拋物線C2 : 2 y=x2+h( hWR)上C2在點(diǎn)P處的切線與C1交于點(diǎn)MN當(dāng)線段AP的中點(diǎn)與MN的 中點(diǎn)的橫坐標(biāo)相等時(shí)，求h的最小值. b =1 【解】(1)由題意.,得，b a a = 2 從而 b =1 2 因此，所求的橢圓方程為 二+x2 =1. 4 2 (2)設(shè) M(X .y1).N(x2 .y2) .P(t t +h), 則拋物線C2在點(diǎn)p處的切線斜率為y I x生 =2t. 2 . 直線MN勺方程為y=2tx-t h I

20、將上式代入橢圓C1的方程中，得4x2+(2tx—t2+h)2—4 = 0. 即 4(1 +t2)x2 -4t(t2 -h)x +(t2 -h)2 -4=0.① 因?yàn)橹本€ MNW橢圓Ci有兩個(gè)不同的交點(diǎn)， 所以①式中的 △1 =16[T4 +2(h +2)t2 -h2 +4] >0. ② 設(shè)線段MN勺中點(diǎn)的橫坐標(biāo)是 x3 .則 ，，，2 ,、 Xi X2 t(t -h) x3 =^=2TT5. 設(shè)線段PA的中點(diǎn)的橫坐標(biāo)是 x4 .則x4 = 吟. 由題意，得x3 = x4. 即 t2 +(1 +h)t + 1=0.③ 由③式中的 42 =(1+h)2 —4之0.得h之1

21、.或h 3. 當(dāng) h 時(shí),h +2 <04-h2 <0. 則不等式②不成立，所以h至1. 當(dāng)h=l時(shí),代入方程③得t=-1, 將h=1,t=-1代入不等式②，檢驗(yàn)成立. 所以,h的最小值為1. 拓展延伸 14.(2012江西宜春三校聯(lián)考)已知橢圓E的中心在坐標(biāo)原點(diǎn)，焦點(diǎn)在x軸上，離心率為〈.且橢圓E上一點(diǎn)到兩 個(gè)焦點(diǎn)距離之和為 4啟的是過點(diǎn)P(0,2)且互相垂直的兩條直線 E交E于A,B兩點(diǎn) 八交E于C,D兩點(diǎn)，AB CD 的中點(diǎn)分別為MN (1)求橢圓E的方程； (2)求11的斜率k的取值范圍； T T ⑶求OM ON的取值范圍. 【解】(1)設(shè)橢圓方程為《+*=

22、1但>b >0), a b c = 1 a 2 - 由 2a =4 2 .2 . 2 a =b +c 橢圓方程為x2 y- 4 3 =1. (2)由題意知，直線|1的斜率存在且不為零 ?1 11: y=kx+2, I2: y = _1x +2 . k 2 V2 x . y 1 由《彳至一1 .消去y并化簡整理， y =kx 2 得(3 4k2)x2 16kx 4 =0. 根據(jù)題意 4=(16k)2 -16(3+4k2) >0 .解得 k2 >1 4 同理得T)2.4必4 - 4 二 k2 :二4 k (一2 -1) .. (2 .2). ⑶設(shè) A

23、(x1 ,y1) B(x2 j2)M(X0 %), 那么x1 x2 - 16k yo = kxo 2 = 3 4k2 6 x1 x2 8k 同理得N( 即N(」 2 3 4k2 2 8k 2 3 4k2 3 4k2 2 3 4 k2 ). -8( -1) 3 4(-1)2 3 4(-1)2 k k )? 4 k2 OM ON 8k 3 4k2 3 k __6 A 3 4k2 k2 28 3 -4 k2 25 12(k2 j) 1