【贏在高考】2013高考數(shù)學大一輪復習3.8函數(shù)與方程配套練習蘇教版

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1、3.8 函數(shù)與方程 4 隨堂演練鞏固 1.設函數(shù)f (x) = 1 x-ln x(x>0),有下列命題 3 ①在區(qū)間(1 1).(1⑶內均有零點； e ②在區(qū)間(1 1) .(1 .e)內均無零點 e ③在區(qū)間(1 1)內有零點，在區(qū)間(1,e)內無零點； e ④在區(qū)間(1 1)內無零點，在區(qū)間(1,e)內有零點. e 正確命題的序號是 ^ 【答案］④ 由題得 f ' (x) =1_1 = x 3 .令 f '(x)>0 得 x>3;令 f ' (x)<0 得 0<x<3;令 f '

2、(x)=0 3 x 3x 得x=3，故知函數(shù)f (x)在區(qū)間(0,3) 上為減函數(shù)，在區(qū)間(3,一)上為增函數(shù)，在點x=3處有極小值 1-ln3<0.又 f (1) = 1 f (e) =— —1 <0.f(1) = 1~ +1 a 0 .故填④. 3 3 e 3e 2.若函數(shù)f(x)的零點與g(x) =4x +2x-2的零點之差的絕對值不超過 0.25,則f(x)可以 是 ^ ①f(x)=4x-1 ② f(x) =(x—1)2 ③f(x)=ex_1 ④f(x)=ln (x -^) 【答案】① 【解析】f(x)=4x-1的零點為x=-4 .f( x) =(x—1

3、2)的零點為x=1,f(x)=e x—1的零點為 x=0, f(x)=ln (x—1)的零點為 x=3. 2 2 因為g(0) = T g(9 =1 所以g(x)的零點xW(0.1). 又函數(shù)f (x)的零點與g(x) =4x +2x—2的零點之差的絕對值不超過 0.25,只有f (x)=4x-1的零 點適合. 3 .若函數(shù)f (x) =ax—x-a(a >0且a # 1)有兩個零點，則實數(shù)a的取值范圍是 . 【答案】{ a| a>1} 【解析】 設函數(shù)y =ax(a >0 .且a #1)和函數(shù)y=x+a,則函數(shù)f (x) = ax—x — a(a >

4、;0且a#1) 有兩個零點，就是函數(shù)y=ax(a >0 .且a =1)與函數(shù)y=x+a有兩個交點，由圖象可知，當0<a<1時兩 函數(shù)只有一個交點，不符合；當a>1時，因為函數(shù)y =ax(a >1)的圖象過點(0,1),而直線y=x+a所 過的點(0, a) 一定在點(0,1)的上方，所以一定有兩個交點.所以實數(shù)a的取值范圍是{a|a>1}. 4 .已知f (x)=1-( x-a)( x-b)( a<b), m, n是f (x)的零點，且m<n,則a, b,m)n從小到大的順序 是 . 【答案】m<a<b<n 【解析】利

5、用函數(shù)圖象的平移變換可得 . 課后作業(yè)夯基 1 .若函數(shù)f (x)是R±的奇函數(shù)，有且僅有三個零點 x1 .x2.x3 .則x1+x2+x3 =. 【答案】0 【解析】 由于 f (0)=0,且f (x)=0 時，f (-x)=-f (x)=0, 所以Xi .X2人中一個為零,另兩個互為相反數(shù).所以Xi + X2 + X3 = 0 . 2 .已知f(x)=ln X-2.則函數(shù)f(X)在區(qū)間(2,3)內有 個零點. X 【答案】1 【解析】分別作出函數(shù) y=ln x與y = 2的圖象，數(shù)形結合可得. x2_x_1x>2或 x < -1 3 .若f(x)

6、=4 - " "則函數(shù)g(x)=f(x)-x的零點為 ^ 1-1 ：x ：2 【答案】 x=1?、,2^x=1 【解析】即求f (x)=x的根， X 之2或x M —1. 一 「一 1 <x < 2. 2 d 或「 x-x-1=x 1=x 解得 x = 1 , ?、2 或 x=1. ，g(x)的零點為x=1+J2或x=1. 4.若方程In x-6+2x=0的解為x0 .則不等式x <x0的最大整數(shù)解是 ^ 【答案】2 【解析】 令f (x)=ln x-6+2x,則 f(1)=In1-6+2=-4<0, f(2)=In2-6+

7、4=In2-2<0, f(3)=ln3>0, ??? 2 :二 x0 ：二 3 . ，不等式xEx。的最大整數(shù)解為2. 5 .若函數(shù)f (x) = x3+x2 - ax與函數(shù)g(x) =x2 — x的圖象只有一個公共點 ，則實數(shù)a的取值范 圍是 ^ 【答案】(-二1] 【解析】 由 f (x)=g(x),得 x3 +x2 — ax = x2 —x.即 x3 - ax+ x = 0.x[x2 - (a -1)]=0.得*=0或 x2=a—1.由題意知 a -1 <0>a <1. 6 .(2011 山東高考，文 16)已知函數(shù) f(x)=log ax+

8、x —b(a>0,且 a =1).當2<a<3<b<4時，函數(shù)f (x) 的零點 X0 w (n .n + 1) .n w N*.則 n=. 【答案】2 【解析】a>2, ..f (x)=log ax+x—b在(0、+=叼上為增函數(shù)， 且f(2)=log a2 2 -b .f ( 3)=log a3 3-b 2<a<3<b<4, 0<log a2<1「2 <2-b<-1. -2<log a2 +2 -b <0 . 又 1<log a3 <2 ,-1 <3 -b<0

9、, ?1- 0<log a3+3-b <2 .即 f (2)<0, f (3)>0. 又;“*)在(0,y)上是單調函數(shù)，，f(x)在(2,3)內必存在唯一零點. 7 .若函數(shù)f (x) =mx2 -2x+1有且僅有一個正實數(shù)的零點，則實數(shù)m的取值范圍 是 ^ 【答案】(-[0]- {1} 【解析】 當m=0時x=2為函數(shù)的零點；當mr0時，若△ =0,即m=l時，x=i是函數(shù)唯一的零點， 且滿足題意；若△ # 0時，顯然函數(shù)x=0不是函數(shù)的零點，這樣函數(shù)有且僅有一個正實數(shù)零點等價 于方程mx2 -2 x + 1 =0有一個正 根和一個 負根,即。<0且

10、△ =4 —4m>0.即m<0.故填 m (-二 0] 一.{1}. 8 .設f(x)是連續(xù)的偶函數(shù)，且當x>0時，f(x)是單調函數(shù)，則滿足f(2x)= f (立1)的所有x之和 x 4 為 . 【答案】-8 【解析】f(x)是偶函數(shù)且x>0時f(x)單調， ???|2x|=| -x-1|， x 4 即 2x(x 4) =「(x 1). - 2 2 一 , 一 2x +9x+1=0或 2x +7x—1=0. ??.共有四根. ? ? x x2 - - 2 . x3 x4 = -2 . ，所有x之和為一9+( -7) = 一8. 2 ( 2)

11、 9 .方程x2 -mx +4 =0在閉區(qū)間[-1,1]上有解，則實數(shù) M取值范圍是 ^ 【答案】(石「5] 一 [5 .二) 【解析】 設f (x) = x2 -mx+4 .則由題意，得 f (-1) f (1)<0 即(m+5)(5 -m) <0 所以(n+5)(m -5)之0 .解得m E —5或m之5. 10 .已知關于 x的二次函數(shù) f(x)=x2 +(2t -1)x + 1-2t. (1)求證：對于任意t WR方程f(x)=1必有實數(shù)根； (2)若1 < t < 3 .求證：方程f (x)=0在區(qū)間(-1,0)及(0 g)內各有一個實數(shù)根.

12、 【證明】(1)由f (1)=1知f(x)=1必有實數(shù)根. (2)當 2 <t <4 時，因為 f(-1) =3—4t =4(4—t) A 0, f(0) =1-2t=2(1-t) ；0 f (1) =1 ? 1(2t-1) ? 1-2t =3-t 0 2 2 4 2 4 所以方程f (x)=0在區(qū)間(-1,0)及(0 .1)內各有一個實數(shù)根. 11 .若方程V3sin x+cosx=a^ x w [0 .2 n]上有兩個不同的實數(shù)解 x1、x2 .求a的取值范圍，以及 此時x +x2的值. 【解】 設 f (x)=也sin x+cosx=2sin (x +—) .

13、x [0 ,2 n] 6 令t = x +— .則y=2sin t,且t三[系"絲力,在同一坐標系中作出y=2sin t與y=a的圖象. 6 6 6 從圖象上可看出,當1<a<2或-2< a<1時兩圖象有兩個交點,即方程J3 sin x+cosx=a^ x w [0 .2 n] 上有兩解. 此時 1<a<2或-2< a<1. 由圖象的對稱性，當1<a<2時t1 +t2 = n, 即 x1 +三 + x2 +— = n.，x1 +x2 =呼. 6 6 3 當-2<a<1 時 t1 ? t2

14、 =3 二， 即 x1 +三 + x2 +— =3 n，x1 +x2 =—. 6 6 3 ??.a的取值范圍是(1 2) (-2 1). 當a w(12)時兇+x2 =立； 3 當 a w (-2 1)時,x1 + x2 =—. 3 12.對于函數(shù)f (x),若存在x0 W R,使f (x0)= x0 .則稱x0是f (x)的一個不動點，已知函數(shù) - 2 ? 一 f (x) = ax (b 1) x b-1 )(a = 0). (1)當a=1, b=-2時,求函數(shù)f (x)的不動點; (2)對任意實數(shù)b,函數(shù)f(x)恒有兩個相異的不動點，求a的取值范圍. 【解】(1)當 a=1,b=-2 時 f(x) =x2-x-3. 于是由 f (x)=x,即 x2 — 2x —3 = 0 . 解得x=-1或x=3. 故函數(shù)f (x)的不動點為-1和3. (2)由題意f (x)—x =ax2+bx+(b-1)= 0對任意實數(shù)b亙有兩個相異實根， 2 2 所以 A=b —4a(b—1)=b —4ab+4a>0^^b=R值成立. 2 所以(4 a) -16a <0 .解得 0<a<1. 故a的取值范圍是(0,1).