材料力學(xué)講稿：第8章彎曲變形

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1、 第八章 彎 曲 變 形 一、教學(xué)目標(biāo) 掌握求梁變形的兩種方法：積分法和疊加法，明確疊加原理的使用條件，掌握用變形比較法求解靜不定梁。 二、教學(xué)內(nèi)容 彎曲變形的量度及符號規(guī)定； 撓曲線近似微分方程及其積分； 計算彎曲變形的兩種方法； 用變形比較法解簡單的超靜定梁 三、重點難點 梁的變形分析。 撓曲線近似微分方程。 積分法求梁的變形。 疊加法求梁的變形。 用變形比較法解簡單超靜定梁。 四、教學(xué)方式 采用啟發(fā)式教學(xué)，通過提問，引導(dǎo)學(xué)生思考，讓學(xué)生回答問題。 五、計劃學(xué)時 4 學(xué)時 六、實施學(xué)時 七、講課提綱 回顧： 彎

2、曲內(nèi)力——在外力作用下，梁的內(nèi)力沿軸線的變化規(guī)律。 彎曲應(yīng)力——在外力作用下，梁內(nèi)應(yīng)力沿橫截面高度的分布規(guī)律。 本章 彎曲變形——在外力作用下，梁在空間位置的變化規(guī)律。 研究彎曲變形的目的 ★剛度計算； ★解簡單的超靜定梁。 本章的基本內(nèi)容 ★彎曲變形的量度及符號規(guī)定； ★撓曲線近似微分方程及其積分； ★計算彎曲變形的兩種方法； ★用變形比較法解簡單的超靜定梁。 （一）、彎曲變形的量度及其符號規(guī)定 1、度量彎曲變形的兩個量： ⑴撓度：梁軸線上的點在垂直于梁軸線方向的所發(fā)生的線位移ω稱為撓度。（工程上的一般忽略水平線位移） 圖8-1 ⑵

3、轉(zhuǎn)角：梁變形后的橫截面相對于原來橫截面繞中性軸所轉(zhuǎn)過的角位移θ稱為轉(zhuǎn)角。 2、符號規(guī)定： ⑴坐標(biāo)系的建立：坐標(biāo)原點一般設(shè)在梁的左端，并規(guī)定：以變形前的梁軸線為x軸，向右為正；以y軸代表曲線的縱坐標(biāo)（撓度），向上為正。 ⑵撓度的符號規(guī)定：向上為正，向下為負(fù)。 ⑶轉(zhuǎn)角的符號規(guī)定：逆時針轉(zhuǎn)向的轉(zhuǎn)角為正； 順時針轉(zhuǎn)向的轉(zhuǎn)角為負(fù)。 （二）、撓曲線近似微分方程及其積分 1、撓曲線 在平面彎曲的情況下，梁變形后的軸線在彎曲平面內(nèi)成為一條曲線，這條曲線稱為撓曲線。 圖8-2 2、撓曲線近似微分方程 數(shù)學(xué)上：曲線的曲率與曲線方程間的關(guān)系 材力上

4、：撓曲線的曲率與梁上彎矩和抗彎剛度間的關(guān)系 顯然，撓曲線的曲線方程與梁的彎矩剛度間的關(guān)系可以用下式表示： 這個等式稱為撓曲線近似微分方程 近似解釋： ⑴忽略了剪力的影響； ⑵由于小變形，略去了曲線方程中的高次項。 3、撓曲線近似微分方程的積分 ⑴轉(zhuǎn)角方程和撓曲線方程 對撓曲線近似微分方程積分一次，得轉(zhuǎn)角方程： 再積分一次，得撓曲線方程： ⑵積分常數(shù)的確定及其物理意義和幾何意義 ①積分常數(shù)的數(shù)目——取決于的分段數(shù) ——n段 積分常數(shù)——2n個 舉例： 圖8-3 分2段，則積分常數(shù)2x2=4個 ②積分常數(shù)的確定——邊界條件和

5、連續(xù)條件： 邊界條件：梁在其支承處的撓度或轉(zhuǎn)角是已知的，這樣的已知條件稱為邊界條件。 連續(xù)條件：梁的撓曲線是一條連續(xù)、光滑、平坦的曲線。因此，在梁的同一截面上不可能有兩個不同的撓度值或轉(zhuǎn)角值，這樣的已知條件稱為連續(xù)條件。 ③積分常數(shù)與邊界條件、連續(xù)條件之間的關(guān)系： 積分常數(shù)2n個=2n個 邊界條件 連續(xù)條件 圖8-3所示的例題中： 邊界條件： 連續(xù)條件： 例題： 列出圖8-4所示結(jié)構(gòu)的邊界條件和連續(xù)條件。 圖80-4 解：邊界條件： 連續(xù)條件： ④積分常數(shù)的物理意義和幾何意義 物理意義：將x=0代入轉(zhuǎn)角方程和撓曲線方程，得

6、即坐標(biāo)原點處梁的轉(zhuǎn)角，它的EI倍就是積分常數(shù)C； 即坐標(biāo)原點處梁的撓度的EI倍就是積分常數(shù)D。 幾何意義：C——轉(zhuǎn)角 D——撓度 舉例： （三）、計算彎曲變形的兩種方法 1、積分法——基本辦法 利用積

7、分法求梁變形的一般步驟： ⑴建立坐標(biāo)系（一般：坐標(biāo)原點設(shè)在梁的左端），求支座反力，分段列彎矩方程； ⑵分段列出梁的撓曲線近似微分方程，并對其積分兩次； ⑶利用邊界條件，連續(xù)條件確定積分常數(shù)； ⑷建立轉(zhuǎn)角方程和撓曲線方程； ⑸計算指定截面的轉(zhuǎn)角和撓度值，特別注意和及其所在截面。 積分法求梁變形舉例：用積分法求圖示梁、、、： 圖8-5 解：⑴分段建立彎矩方程 AB段： （0

8、──⑴ ───────────────⑵ BC段： ─────────────⑶ ──────────⑷ ⑶利用邊界條件、連續(xù)條件確定積分常數(shù) 由邊界條件確定C1、D1： 當(dāng)時，， 由（1）式得 C1=0 ； 當(dāng)時，， 由（2）式得 D1=0 。 由連續(xù)條件確定C2、D2： 當(dāng)時，，即聯(lián)立⑴、⑶式子： 得 當(dāng)時，，即聯(lián)立⑵、⑷式： 得 D2=0 ⑷分段建立轉(zhuǎn)角方程、撓曲線方程： AB段： ──────────────────────⑸ ──────────────────────⑹ BC段：──────────────

9、────⑺ ─────────────────⑻ ⑸求梁指定截面上的轉(zhuǎn)角和撓度 當(dāng)時，由⑸式得， ； 由⑹式得， 當(dāng)時，由⑺式得， ； 由⑻式得， 2、疊加法——簡捷方法 記住梁在簡單荷載作用下的變形——撓曲線方程、轉(zhuǎn)角、撓度計算方式。 疊加法的兩種處理方法： ⑴荷載疊加 圖10-6 ⑵變形疊加 圖8-7 荷載疊加法求梁變形舉例： 圖8-8 ⑴求、（圖8-8，b） ∴ 則 ⑵求、（圖8-8，b） ⑶求、

10、（圖8-8，c） ⑷求、（圖8-8，c） ， = 最后： 求 、 、 、 （四）、用變形比較法解簡單超靜定梁 1、超靜定的概念 2、用變形比較法解簡單超靜定梁的基本思想： ⑴解除多余約束，變超靜定梁為靜定梁； ⑵用靜定梁與超靜定梁在解除約束處的變形比較，建立協(xié)調(diào)方程； ⑶通過協(xié)調(diào)方程（即補充方程），求出多余的約束反力。 3、簡單超靜定梁求解舉列。 求圖示梁的FQ、M圖 圖8-9(a)示結(jié)構(gòu)為簡單（一次）超靜定梁 圖8-9(a) 解：⑴選基本靜定梁 圖8-9(b

11、)解除c端約束，代之以約束力Fc 圖8-9(b) ⑵建立變形協(xié)調(diào)條件 ⑶采用荷載疊加法，并對原梁做如下圖8-9(c)等效變換： 圖8-9(c) 此時的變形協(xié)調(diào)條件可以寫成： ─────────────────────⑴ 查表得： 將查表所得結(jié)果代入⑴式，解出 ⑷求A端的約束反力 ⑸作該梁的FQ、M圖 用變形比較法解超靜定梁舉例 兩端固定的水平梁AB，在其左端轉(zhuǎn)動了一個微小角度θ，如圖所示，試求其約束反力。 圖8-10

12、 解：⑴解除A端約束，使超靜梁變成靜定梁——基本靜定梁 ⑵把解除的多余約束用約束反力來代替： ⑶列出基本靜定梁在多余約束反力作用處梁變形的計算式： 在MA的作用下， 在FA的作用下， 并與原超靜定梁在該約束處的變形進行比較，建立變形協(xié)調(diào)方程，求出多余約束反力： 比較： 則 ───────────────────────⑴ ───────────────────────⑵ 聯(lián)立解⑴、⑵式，得；

13、