【名校資料】人教A版理科數(shù)學(xué)高效訓(xùn)練：67 數(shù)學(xué)歸納法

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1、◆+◆◆二〇一九高考數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)資料◆+◆◆ [A組　基礎(chǔ)演練·能力提升] 一、選擇題 1．凸n多邊形有f(n)條對角線，則凸(n＋1)邊形的對角線的條數(shù)f(n＋1)為(　　) A．f(n)＋n＋1　　　　　　 B．f(n)＋n C．f(n)＋n－1 D．f(n)＋n－2 解析：邊數(shù)增加1，頂點(diǎn)也相應(yīng)增加1個(gè)，它與它不相鄰的n－2個(gè)頂點(diǎn)連接成對角線，原來的一條邊也成為對角線，因此，對角線增加n－1條． 答案：C 2．利用數(shù)學(xué)歸納法證明不等式1＋＋＋…＋＜f(n)(n≥2，n∈N*)的過程，由n＝k到n＝k＋1時(shí)，左邊增加了(　　) A．1項(xiàng) B．k項(xiàng) C．2k

2、－1項(xiàng) D．2k項(xiàng) 解析：1＋＋＋…＋－ ＝＋＋…＋，共增加了2k項(xiàng)． 答案：D 3．用數(shù)學(xué)歸納法證明“當(dāng)n為正奇數(shù)時(shí)，xn＋yn能被x＋y整除”的第二步是(　　) A．假設(shè)n＝2k＋1時(shí)正確，再推n＝2k＋3時(shí)正確(其中k∈N*) B．假設(shè)n＝2k－1時(shí)正確，再推n＝2k＋1時(shí)正確(其中k∈N*) C．假設(shè)n＝k時(shí)正確，再推n＝k＋1時(shí)正確(其中k∈N*) D．假設(shè)n≤k(k≥1)時(shí)正確，再推n＝k＋2時(shí)正確(其中k∈N*) 解析：∵n為正奇數(shù)，∴n＝2k－1(k∈N*)． 答案：B 4．在數(shù)列{an}中，a1＝，且Sn＝n(2n－1)an，通過求a2，a3，a4，猜

3、想an的表達(dá)式為(　　) A. B. C. D. 解析：由a1＝，Sn＝n(2n－1)an求得a2＝＝，a3＝＝，a4＝＝. 猜想an＝. 答案：C 5．已知n為正偶數(shù)，用數(shù)學(xué)歸納法證明1－＋－＋…－＝2時(shí)，若已假設(shè)n＝k(k≥2且k為偶數(shù))時(shí)命題為真，則還需要用歸納假設(shè)再證(　　) A．n＝k＋1時(shí)等式成立 B．n＝k＋2時(shí)等式成立 C．n＝2k＋2時(shí)等式成立 D．n＝2(k＋2)時(shí)等式成立 解析：∵n為偶數(shù)，故假設(shè)n＝k成立后，再證n＝k＋2等式成立． 答案：B 6．在用數(shù)學(xué)歸納法證明f(n)＝＋＋…＋＜1(n∈N*，n≥3)的過程中：假設(shè)當(dāng)n＝k(k∈N

4、*，k≥3)時(shí)，不等式f(k)＜1成立，則需證當(dāng)n＝k＋1時(shí)，f(k＋1)＜1也成立． 若f(k＋1)＝f(k)＋g(k)，則g(k)＝(　　) A.＋ B.＋－ C.－ D.－ 解析：∵f(k＋1)＝＋＋…＋＋＋， f(k)＝＋＋…＋， ∴f(k＋1)－f(k)＝－＋＋， ∴g(k)＝＋－.故選B. 答案：B 二、填空題 7．對大于或等于2的自然數(shù)m的n次方冪有如下分解方式： 22＝1＋3,32＝1＋3＋5,42＝1＋3＋5＋7；23＝3＋5,33＝7＋9＋11,43＝13＋15＋17＋19. 根據(jù)上述分解規(guī)律，若n2＝1＋3＋5＋…＋19，m3(m∈N*)的

5、分解中最小的數(shù)是21，則m＋n的值為________． 解析：∵依題意得n2＝＝100，∴n＝10.易知m3＝21m＋×2，整理得(m－5)(m＋4)＝0， 又m∈N*，所以m＝5，所以m＋n＝15. 答案：15 8．設(shè)數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，且對任意的自然數(shù)n都有：(Sn－1)2＝anSn.通過計(jì)算S1，S2，S3，猜想Sn＝________. 解析：由(S1－1)2＝S得：S1＝； 由(S2－1)2＝(S2－S1)S2得：S2＝； 由(S3－1)2＝(S3－S2)S3得：S3＝. 猜想：Sn＝. 答案： 9．(2014年三亞模擬)用數(shù)學(xué)歸納法證明1＋2＋

6、3＋…＋n2＝，則當(dāng)n＝k＋1時(shí)左端應(yīng)在n＝k的基礎(chǔ)上加上的項(xiàng)為________． 解析：當(dāng)n＝k時(shí)，左端為 1＋2＋3＋…＋k＋(k＋1)＋(k＋2)＋…＋k2， 則當(dāng)n＝k＋1時(shí)，左端為 1＋2＋3＋…＋k2＋(k2＋1)＋(k2＋2)＋…＋(k＋1)2， 故增加(k2＋1)＋(k2＋2)＋…＋(k＋1)2. 答案：(k2＋1)＋(k2＋2)＋…＋(k＋1)2 三、解答題 10．設(shè)f(n)＝1＋＋＋…＋(n∈N*)． 求證：f(1)＋f(2)＋…＋f(n－1)＝n·[f(n)－1](n≥2，n∈N*)． 證明：(1)當(dāng)n＝2時(shí)，左邊＝f(1)＝1， 右邊＝2

7、＝1， 左邊＝右邊，等式成立． (2)假設(shè)n＝k時(shí)，結(jié)論成立，即 f(1)＋f(2)＋…＋f(k－1)＝k[f(k)－1]， 那么，當(dāng)n＝k＋1時(shí)，[來源:] f(1)＋f(2)＋…＋f(k－1)＋f(k)＝k[f(k)－1]＋f(k) ＝(k＋1)f(k)－k ＝(k＋1)－k ＝(k＋1)f(k＋1)－(k＋1) ＝(k＋1)[f(k＋1)－1]， ∴當(dāng)n＝k＋1時(shí)結(jié)論仍然成立． ∴f(1)＋f(2)＋…＋f(n－1)＝n[f(n)－1](n≥2，n∈N*)． 11．是否存在正整數(shù)m使得f(n)＝(2n＋7)·3n＋9對任意自然數(shù)n都能被m整除？若存在，求

8、出最大的m的值，并證明你的結(jié)論；若不存在，說明理由． 解析：由f(n)＝(2n＋7)·3n＋9得， f(1)＝36，f(2)＝3×36，f(3)＝10×36，f(4)＝34×36，由此猜想：m＝36. 下面用數(shù)學(xué)歸納法證明： ①當(dāng)n＝1時(shí)，顯然成立； ②假設(shè)n＝k時(shí)，f(k)能被36整除，即 f(k)＝(2k＋7)·3k＋9能被36整除； 當(dāng)n＝k＋1時(shí)，[2(k＋1)＋7]·3k＋1＋9 ＝(2k＋7)·3k＋1＋27－27＋2·3k＋1＋9 ＝3[(2k＋7)·3k＋9]＋18(3k

9、－1－1)， 由于3k－1－1是2的倍數(shù)，故18(3k－1－1)能被36整除，所以當(dāng)n＝k＋1時(shí)，f(k＋1)也能被36整除． 由①②可知對一切正整數(shù)n都有f(n)＝(2n＋7)·3n＋9能被36整除，m的最大值為36. 12．(能力提升)(2014年徐州模擬)已知數(shù)列{an}中，a1＝a(a＞2)，對一切n∈N*，an＞0，an＋1＝. 求證：an＞2且an＋1<an. 證明：證法一　∵an＋1＝>0，[來源:] ∴an>1， ∴an－2＝－2＝≥0， ∴an≥2.若存在ak＝2，則ak－1＝2， 可推出ak－2＝2，…，a1＝2， 與a1＝a

10、>2矛盾，故an>2. ∵an＋1－an＝<0， ∴an＋1<an. 證法二　(用數(shù)學(xué)歸納法證明an>2) ①當(dāng)n＝1時(shí)，a1＝a＞2，故命題an＞2成立； ②假設(shè)當(dāng)n＝k時(shí)命題成立，即ak＞2， 那么，ak＋1－2＝－2＝＞0. 所以ak＋1＞2，即n＝k＋1時(shí)命題也成立． 綜上所述，命題an＞2對一切正整數(shù)成立． ∵an＋1－an＝<0，∴an＋1<an. [B組　因材施教·備選練習(xí)] 1．(2014年余華調(diào)研)若不等式＋＋…＋>對一切正整數(shù)n都成立，猜想正整數(shù)a的最大值，并證明結(jié)論． 解析：當(dāng)n＝1時(shí)，＋＋

11、>， 即>，所以a<26，而a是正整數(shù)， 所以取a＝25. 下面用數(shù)學(xué)歸納法證明： ＋＋…＋>. ①當(dāng)n＝1時(shí)，已證；[來源:] ②假設(shè)當(dāng)n＝k時(shí)，不等式成立， 即＋＋…＋>. 則當(dāng)n＝k＋1時(shí)，有 ＋＋…＋ ＝＋＋…＋＋＋＋－>＋. 因?yàn)椋?gt;.[來源:] 所以＋－>0， 所以當(dāng)n＝k＋1時(shí)，不等式也成立． 由①②知，對一切正整數(shù)n， 都有＋＋…＋>， 所以a的最大值等于25. 2.如圖，P1(x1，y1)，P2(x2，y2)，…，Pn(xn，yn)(0<y1<y2<…<yn)

12、是曲線C：y2＝3x(y≥0)上的n個(gè)點(diǎn)，點(diǎn)Ai(ai,0)(i＝1,2,3，…，n)在x軸的正半軸上，且△Ai－1AiPi是正三角形(A0是坐標(biāo)原點(diǎn))．[來源:] (1)寫出a1，a2，a3； (2)求出點(diǎn)An(an,0)(n∈N*)的橫坐標(biāo)an關(guān)于n的表達(dá)式并證明． 解析：(1)a1＝2，a2＝6，a3＝12. (2)依題意，得xn＝，yn＝·， 由此及y＝3·xn得2＝(an＋an－1)， 即(an－an－1)2＝2(an－1＋an)． 由(1)可猜想：an＝n(n＋1)(n∈N*)． 下面用數(shù)學(xué)歸納法予以證明： ①當(dāng)n＝1時(shí)，命題顯然成立． ②假設(shè)當(dāng)n＝k(k∈N*)時(shí)命題成立，即有ak＝k(k＋1)，則當(dāng)n＝k＋1時(shí)，由歸納假設(shè)及(ak＋1－ak)2＝2(ak＋ak＋1)， 得[ak＋1－k(k＋1)]2＝2[k(k＋1)＋ak＋1]， 即a－2(k2＋k＋1)ak＋1＋[k(k－1)]·[(k＋1)(k＋2)]＝0， 解之，得ak＋1＝(k＋1)(k＋2)[ak＋1＝k(k－1)<ak不合題意，舍去]，即當(dāng)n＝k＋1時(shí)，命題成立． 由①、②可知，命題an＝n(n＋1)(n∈N*)成立． 高考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)精品 高考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)精品