高考數(shù)學(xué)文科一輪總復(fù)習(xí) 第2篇 第9節(jié) 函數(shù)模型及其應(yīng)用

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1、 精品資料 第二篇　第9節(jié) 一、選擇題 1.某電信公司推出兩種手機(jī)收費(fèi)方式：A種方式是月租20元，B種方式是月租0元．一個(gè)月的本地網(wǎng)內(nèi)通話(huà)時(shí)間t(分鐘)與電話(huà)費(fèi)s(元)的函數(shù)關(guān)系如圖所示，當(dāng)通話(huà)150分鐘時(shí)，這兩種方式電話(huà)費(fèi)相差(　　) A．10元　　　 B．20元 C．30元　 D．元 解析：依題意可設(shè)sA(t)＝20＋kt，sB(t)＝mt， 又sA(100)＝sB(100)， ∴100k＋20＝100m， 得k－m＝－0.2， 于是sA(150)－sB(150)＝20＋150k－150m ＝20＋150(

2、－0.2)＝－10， 即兩種方式電話(huà)費(fèi)相差10元，選A. 答案：A 2．在一次數(shù)學(xué)試驗(yàn)中，采集到如下一組數(shù)據(jù)： x －2 －1 0 1 2 3 y 0.24 0.51 1 2.02 3.98 8.02 則下列函數(shù)與x，y的函數(shù)關(guān)系最接近的是(其中a，b為待定系數(shù))(　　) A．y＝a＋bx　 B．y＝a＋bx C．y＝ax2＋b　 D．y＝a＋ 解析：由數(shù)據(jù)知x，y之間的函數(shù)關(guān)系近似為指數(shù)型，故選B. 答案：B 3．(2014汕頭模擬)某汽車(chē)運(yùn)輸公司購(gòu)買(mǎi)了一批豪華大客車(chē)投入營(yíng)運(yùn)，據(jù)市場(chǎng)分析每輛客車(chē)營(yíng)運(yùn)的總利潤(rùn)y(單位：10萬(wàn)元)與營(yíng)運(yùn)年數(shù)x(x∈N

3、*)為二次函數(shù)關(guān)系(如圖所示)，則每輛客車(chē)營(yíng)運(yùn)多少年時(shí)，其營(yíng)運(yùn)的平均利潤(rùn)最大(　　) A．3　 B．4 C．5　 D．6 解析：由題圖可知，營(yíng)運(yùn)總利潤(rùn)y＝－(x－6)2＋11， 則營(yíng)運(yùn)的年平均利潤(rùn)＝－x－＋12＝－＋12. ∵x∈N*，∴≤－2＋12＝2， 當(dāng)且僅當(dāng)x＝，即x＝5時(shí)取“＝”，故選C. 答案：C 4．國(guó)家規(guī)定某行業(yè)征稅如下：年收入在280萬(wàn)元及以下的稅率為p%，超過(guò)280萬(wàn)元的部分按(p＋2)%征稅，有一公司的實(shí)際繳稅比例為(p＋0.25)%，則該公司的年收入是(　　) A．560萬(wàn)元　 B．420萬(wàn)元 C．350萬(wàn)元　 D．320萬(wàn)元 解析：設(shè)該公司的年收

4、入為x，納稅額為y， 則由題意，得 y＝ 依題意有，＝(p＋0.25)%. 解之得x＝320(萬(wàn)元)．故選D. 答案：D 5．(2014東莞調(diào)研)物價(jià)上漲是當(dāng)前的主要話(huà)題，特別是菜價(jià)，我國(guó)某部門(mén)為盡快實(shí)現(xiàn)穩(wěn)定菜價(jià)，提出四種綠色運(yùn)輸方案．據(jù)預(yù)測(cè)，這四種方案均能在規(guī)定的時(shí)間T內(nèi)完成預(yù)測(cè)的運(yùn)輸任務(wù)Q0，各種方案的運(yùn)輸總量Q與時(shí)間t的函數(shù)關(guān)系如圖所示，在這四種方案中，運(yùn)輸效率(單位時(shí)間的運(yùn)輸量)逐步提高的是(　　) 解析：由題知運(yùn)輸效率即，即相當(dāng)于圖象上的點(diǎn)(t，Q)與原點(diǎn)連線(xiàn)的斜率，即連線(xiàn)斜率逐步提高．由題知選項(xiàng)A、C逐步減小，選項(xiàng)D先減小，再增大，選項(xiàng)B為逐步提高，故選B. 答

5、案：B 6．(2014北京海淀區(qū)質(zhì)檢)某車(chē)間分批生產(chǎn)某種產(chǎn)品，每批的生產(chǎn)準(zhǔn)備費(fèi)用為800元．若每批生產(chǎn)x件，則平均倉(cāng)儲(chǔ)時(shí)間為天，且每件產(chǎn)品每天的倉(cāng)儲(chǔ)費(fèi)用為1元．為使平均到每件產(chǎn)品的生產(chǎn)準(zhǔn)備費(fèi)用與倉(cāng)儲(chǔ)費(fèi)用之和最小，每批應(yīng)生產(chǎn)產(chǎn)品(　　) A．60件　 B．80件 C．100件　 D．120件 解析：若每批生產(chǎn)x件產(chǎn)品，則每件產(chǎn)品的生產(chǎn)準(zhǔn)備費(fèi)用是，倉(cāng)儲(chǔ)費(fèi)用是，總的費(fèi)用是＋≥2＝20，當(dāng)且僅當(dāng)＝時(shí)取等號(hào)，即x＝80.故選B. 答案：B 二、填空題 7．某工廠(chǎng)采用高科技改革，在兩年內(nèi)產(chǎn)值的月增長(zhǎng)率都是a，則這兩年內(nèi)第二年某月的產(chǎn)值比第一年相應(yīng)月產(chǎn)值的增長(zhǎng)率為_(kāi)______________

6、_． 解析：不妨設(shè)第一年8月份的產(chǎn)值為b，則9月份的產(chǎn)值為b(1＋a)，10月份的產(chǎn)值為b(1＋a)2，依次類(lèi)推，第二年8月份的產(chǎn)值是b(1＋a)12.又由增長(zhǎng)率的概念知，這兩年內(nèi)的第二年某月的產(chǎn)值比第一年相應(yīng)月產(chǎn)值的增長(zhǎng)率為＝(1＋a)12－1. 答案：(1＋a)12－1 8．一個(gè)容器裝有細(xì)沙a cm3，細(xì)沙從容器底下一個(gè)細(xì)微的小孔慢慢地勻速漏出，t min后剩余的細(xì)沙量為y＝ae－bt(cm3)，經(jīng)過(guò)8 min后發(fā)現(xiàn)容器內(nèi)還有一半的沙子，則再經(jīng)過(guò)________min，容器中的沙子只有開(kāi)始時(shí)的八分之一． 解析：依題意有ae－b8＝a， ∴b＝， ∴y＝aet 若容器中只有開(kāi)始

7、時(shí)的八分之一， 則有aet＝a. 解得t＝24， 所以再經(jīng)過(guò)的時(shí)間為24－8＝16 min. 答案：16 9．(2014濟(jì)寧模擬)某產(chǎn)品的總成本y(萬(wàn)元)與產(chǎn)量x(臺(tái))之間的函數(shù)關(guān)系式是y＝3000＋20x－0.1x2，x∈(0,240)．若每臺(tái)產(chǎn)品的售價(jià)為25萬(wàn)元，則生產(chǎn)者不虧本時(shí)(銷(xiāo)售收入不小于總成本)的最低產(chǎn)量是______臺(tái)． 解析：依題意有25x≥3000＋20x－0.1x2， 即x2＋50x－30000≥0， 解得x≥150或x≤－200(舍去)． 答案：150 10．(2014銀川模擬)某電腦公司2013年的各項(xiàng)經(jīng)營(yíng)收入中，經(jīng)營(yíng)電腦配件的收入為400萬(wàn)元，占全

8、年經(jīng)營(yíng)總收入的40%.該公司預(yù)計(jì)2015年經(jīng)營(yíng)總收入要達(dá)到1690萬(wàn)元，且計(jì)劃從2013年到2015年，每年經(jīng)營(yíng)總收入的年增長(zhǎng)率相同，2014年預(yù)計(jì)經(jīng)營(yíng)總收入為_(kāi)_______萬(wàn)元． 解析：設(shè)增長(zhǎng)率為x， 則有(1＋x)2＝1690,1＋x＝， 因此2014年預(yù)計(jì)經(jīng)營(yíng)總收入為＝1300(萬(wàn)元)． 答案：1300 三、解答題 11．設(shè)某旅游景點(diǎn)每天的固定成本為500元，門(mén)票每張為30元，變動(dòng)成本與購(gòu)票進(jìn)入旅游景點(diǎn)的人數(shù)的算術(shù)平方根成正比．一天購(gòu)票人數(shù)為25時(shí)，該旅游景點(diǎn)收支平衡；一天購(gòu)票人數(shù)超過(guò)100時(shí)，該旅游景點(diǎn)需另交保險(xiǎn)費(fèi)200元．設(shè)每天的購(gòu)票人數(shù)為x，盈利額為y元． (1)求

9、y與x之間的函數(shù)關(guān)系； (2)該旅游景點(diǎn)希望在人數(shù)達(dá)到20人時(shí)就不出現(xiàn)虧損，若用提高門(mén)票價(jià)格的措施，則每張門(mén)票至少要多少元(取整數(shù))? (參考數(shù)據(jù)：≈1.41，≈1.73，≈2.24) 解：(1)根據(jù)題意，當(dāng)購(gòu)票人數(shù)不多于100時(shí)， 可設(shè)y與x之間的函數(shù)關(guān)系為 y＝30x－500－k(k為常數(shù)，k∈R且k≠0)． ∵人數(shù)為25時(shí)，該旅游景點(diǎn)收支平衡， ∴3025－500－k＝0， 解得k＝50. ∴y＝ (2)設(shè)每張門(mén)票價(jià)格提高為m元，根據(jù)題意， 得m20－50－500≥0， ∴m≥25＋5≈36.2， 故每張門(mén)票最少要37元． 12．(2014安慶模擬)某沿海地區(qū)

10、養(yǎng)殖的一種特色海鮮上市時(shí)間僅能持續(xù)5個(gè)月，預(yù)測(cè)上市初期和后期會(huì)因供應(yīng)不足使價(jià)格呈持續(xù)上漲趨勢(shì)，而中期又將出現(xiàn)供大于求使價(jià)格連續(xù)下跌．現(xiàn)有三種價(jià)格模擬函數(shù)可供選擇． ①f(x)＝pqx；②f(x)＝px2＋qx＋1；③f(x)＝x(x－q)2＋p(以上三式中，p，q均為常數(shù)，且q>1)． (1)為合理研究其價(jià)格趨勢(shì)，應(yīng)選上面哪種價(jià)格模擬函數(shù)(不必說(shuō)明理由)； (2)若f(0)＝4，f(2)＝6，求出(1)中所選函數(shù)f(x)的解析式(注：函數(shù)的定義域是[0,5]．其中x＝0表示8月1日，x＝1表示9月1日，…以此類(lèi)推)； (3)在(2)的條件下研究問(wèn)題：為保證養(yǎng)殖戶(hù)的經(jīng)濟(jì)效益，當(dāng)?shù)卣?jì)劃在價(jià)格下跌期間積極拓寬外銷(xiāo)，請(qǐng)你預(yù)測(cè)該海鮮將在哪幾個(gè)月份內(nèi)價(jià)格下跌． 解：(1)根據(jù)題意，應(yīng)選模擬函數(shù)f(x)＝x(x－q)2＋p. (2)由f(0)＝4，f(2)＝6，得 解得 所以f(x)＝x3－6x2＋9x＋4(0≤x≤5)． (3)f(x)＝x3－6x2＋9x＋4(0≤x≤5)， f′(x)＝3x2－12x＋9. 令f′(x)>0，得x>3或x<1. 又因?yàn)?≤x≤5， 所以f(x)在(0,1)和(3,5)上單調(diào)遞增，在(1,3)上單調(diào)遞減，所以預(yù)測(cè)該海鮮將在9月、10月兩個(gè)月份內(nèi)價(jià)格下跌．