高考數(shù)學浙江理科一輪【第九章】解析幾何 第7講直線與圓錐曲線的位置關系

上傳人:仙*** 文檔編號:43052490 上傳時間:2021-11-29 格式:DOC 頁數(shù):9 大小:139KB
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1、 精品資料 第7講 直線與圓錐曲線的位置關系 一、選擇題 1.直線4kx-4y-k=0與拋物線y2=x交于A,B兩點,若|AB|=4,則弦AB的中點到直線x+=0的距離等于 (  ). A. B.2 C. D.4 解析 直線4kx-4y-k=0,即y=k,即直線4kx-4y-k=0過拋物線y2=x的焦點.設A(x1,y1),B(x2,y2),則|AB|=x1+x2+=4,故x1+x2=,則弦AB的中點的橫坐標是,弦AB的中點到直線x+=0的距離是+=. 答案 C 2.設斜率為的直線l與橢

2、圓+=1(a>b>0)交于不同的兩點,且這兩個交點在x軸上的射影恰好是橢圓的兩個焦點,則該橢圓的離心率為 (  ). A. B. C. D. 解析 由于直線與橢圓的兩交點A,B在x軸上的射影分別為左、右焦點F1,F(xiàn)2,故|AF1|=|BF2|=,設直線與x軸交于C點,又直線傾斜角θ的正切值為,結(jié)合圖形易得tan θ===,故|CF1|+|CF2|==|F1F2|=2c,整理并化簡得b2=(a2-c2)=ac,即(1-e2)=e,解得e=. 答案 C 3.拋物線y2=2px與直線2x+y+a=0交于A,B兩點,其中點A的坐標為(1,2),設拋物線的焦

3、點為F,則|FA|+|FB|的值等于 (  ). A.7 B.3 C.6 D.5 解析 點A(1,2)在拋物線y2=2px和直線2x+y+a=0上,則p=2,a=-4,F(xiàn)(1,0),則B(4,-4),故|FA|+|FB|=7. 答案 A 4.設雙曲線-=1(a>0,b>0)的左、右焦點分別為F1,F(xiàn)2,離心率為e,過F2的直線與雙曲線的右支交于A,B兩點,若△F1AB是以A為直角頂點的等腰直角三角形,則e2= (  ). A.1+2 B.4-2 C.5-2 D.3+2 解析 如圖,設|AF1|=m,則|BF1|=m

4、,|AF2|=m-2a,|BF2|=m-2a,∴|AB|=|AF2|+|BF2|=m-2a+m-2a=m,得m=2a,又由|AF1|2+|AF2|2=|F1F2|2,可得m2+(m-2a)2=4c2,即得(20-8)a2=4c2,∴e2==5-2,故應選C. 答案 C 5.已知直線l:y=k(x-2)(k>0)與拋物線C:y2=8x交于A,B兩點,F(xiàn)為拋物線C的焦點,若|AF|=2|BF|,則k的值是 (  ). A. B. C.2 D. 解析 法一 據(jù)題意畫圖,作AA1⊥l′,BB1⊥l′,BD⊥AA1. 設直線l的傾斜角為θ,|AF|=2|BF|=2r

5、, 則|AA1|=2|BB1|=2|AD|=2r, 所以有|AB|=3r,|AD|=r, 則|BD|=2r,k=tan θ=tan∠BAD==2. 法二 直線y=k(x-2)恰好經(jīng)過拋物線y2=8x的焦點F(2,0),由可得ky2-8y-16k=0,因為|FA|=2|FB|,所以yA=-2yB.則yA+yB=-2yB+yB=,所以yB=-,yA·yB=-16,所以-2y=-16,即yB=±2.又k>0,故k=2. 答案 C 6.過雙曲線-=1(a>0)的右焦點F作一條直線,當直線斜率為2時,直線與雙曲線左、右兩支各有一個交點;當直線斜率為3時,直線與

6、雙曲線右支有兩個不同交點,則雙曲線離心率的取值范圍是 (  ). A.(,5) B.(,)  C.(1,) D.(5,5) 解析 令b=,c=,則雙曲線的離心率為e=,雙曲線的漸近線的斜率為±. 據(jù)題意,2<<3,如圖所示. ∵=, ∴2<<3, ∴5<e2<10, ∴<e<. 答案 B 二、填空題 7.橢圓+y2=1的弦被點平分,則這條弦所在的直線方程是________. 解析 設弦的兩個端點為A(x1,y1),B(x2,y2), 則x1+x2=1,y1+y2=1. ∵A,B在橢圓上,∴+y=1,

7、+y=1. 兩式相減得:+(y1+y2)(y1-y2)=0, 即=-, ∵x1+x2=1,y1+y2=1, ∴=-,即直線AB的斜率為-. ∴直線AB的方程為y-=-, 即該弦所在直線的方程為2x+4y-3=0. 答案 2x+4y-3=0 8.已知橢圓C:+=1(a>b>0),F(xiàn)(,0)為其右焦點,過F垂直于x軸的直線與橢圓相交所得的弦長為2,則橢圓C的方程為________. 解析 由題意,得 解得∴橢圓C的方程為+=1. 答案?。? 9.過橢圓+=1(a>b>0)的左頂點A且斜率為1的直線與橢圓的另一個交點為M,與y軸的交點為B,若|AM|=|MB|,

8、則該橢圓的離心率為________. 解析 由題意知A點的坐標為(-a,0),l的方程為y=x+a,∴B點的坐標為(0,a),故M點的坐標為,代入橢圓方程得a2=3b2,∴c2=2b2,∴e=. 答案  10.已知曲線-=1(a·b≠0,且a≠b)與直線x+y-1=0相交于P,Q兩點,且·=0(O為原點),則-的值為________. 解析 將y=1-x代入-=1,得(b-a)x2+2ax-(a+ab)=0.設P(x1,y1),Q(x2,y2),則x1+x2=,x1x2=.·=x1x2+y1y2=x1x2+(1-x1)·(1-x2)=2x1x2-

9、(x1+x2)+1.所以-+1=0,即2a+2ab-2a+a-b=0,即b-a=2ab,所以-=2. 答案 2 三、解答題 11.在平面直角坐標系xOy中,直線l與拋物線y2=4x相交于不同的A,B兩點. (1)如果直線l過拋物線的焦點,求·的值; (2)如果·=-4,證明:直線l必過一定點,并求出該定點. (1)解 由題意:拋物線焦點為(1,0), 設l:x=ty+1,代入拋物線y2=4x, 消去x得y2-4ty-4=0,設A(x1,y1),B(x2,y2), 則y1+y2=4t,y1y2=-4, ∴·=x1x2+y1y2=(ty1+1)(t

10、y2+1)+y1y2 =t2y1y2+t(y1+y2)+1+y1y2=-4t2+4t2+1-4=-3. (2)證明 設l:x=ty+b,代入拋物線y2=4x, 消去x得y2-4ty-4b=0, 設A(x1,y1),B(x2,y2), 則y1+y2=4t,y1y2=-4b, ∴·=x1x2+y1y2=(ty1+b)(ty2+b)+y1y2 =t2y1y2+bt(y1+y2)+b2+y1y2 =-4bt2+4bt2+b2-4b=b2-4b. 令b2-4b=-4,∴b2-4b+4=0,∴b=2, ∴直線l過定點(2,0). ∴若·=-4,則直線l必過一定點.

11、 12.給出雙曲線x2-=1. (1)求以A(2,1)為中點的弦所在的直線方程; (2)若過點A(2,1)的直線l與所給雙曲線交于P1,P2兩點,求線段P1P2的中點P的軌跡方程; (3)過點B(1,1)能否作直線m,使得m與雙曲線交于兩點Q1,Q2,且B是Q1Q2的中點?這樣的直線m若存在,求出它的方程;若不存在,說明理由. 解 (1)設弦的兩端點為P1(x1,y1),P2(x2,y2),則兩式相減得到2(x1-x2)(x1+x2)=(y1-y2)(y1+y2),又x1+x2=4,y1+y2=2, 所以直線斜率k==4. 故求得直線方程為4x-y-7=0. (2)設P(x,y

12、),P1(x1,y1),P2(x2,y2), 按照(1)的解法可得=, ① 由于P1,P2,P,A四點共線, 得=, ② 由①②可得=,整理得2x2-y2-4x+y=0,檢驗當x1=x2時,x=2,y=0也滿足方程,故P1P2的中點P的軌跡方程是2x2-y2-4x+y=0. (3)假設滿足題設條件的直線m存在,按照(1)的解法可得直線m的方程為y=2x-1. 考慮到方程組無解, 因此滿足題設條件的直線m是不存在的. 13.在平面直角坐標系xOy中,已知雙曲線C1:2x2-y2=1. (1)過C1的左頂點引C1的一條漸近線的平行線,

13、求該直線與另一條漸近線及x軸圍成的三角形的面積. (2)設斜率為1的直線l交C1于P、Q兩點.若l與圓x2+y2=1相切,求證:OP⊥OQ. (3)設橢圓C2:4x2+y2=1.若M、N分別是C1、C2上的動點,且OM⊥ON,求證:O到直線MN的距離是定值. (1)解 雙曲線C1:-y2=1,左頂點A,漸近線方程:y=±x. 不妨取過點A與漸近線y=x平行的直線方程為 y=,即y=x+1. 解方程組得 所以所求三角形的面積為S=|OA||y|=. (2)證明 設直線PQ的方程是y=x+b. 因為直線PQ與已知圓相切,故=1,即b2=2. 由得x2-2bx-b2-1

14、=0. 設P(x1,y1)、Q(x2,y2),則 又y1y2=(x1+b)(x2+b),所以 ·=x1x2+y1y2=2x1x2+b(x1+x2)+b2 =2(-1-b2)+2b2+b2=b2-2=0. 故OP⊥OQ. (3)證明 當直線ON垂直于x軸時, |ON|=1,|OM|=,則O到直線MN的距離為. 當直線ON不垂直于x軸時,設直線ON的方程為y=kx, 則直線OM的方程為y=-x. 由得所以|ON|2=. 同理|OM|2=. 設O到直線MN的距離為d, 因為(|OM|2+|ON|2)d2=|OM|2|ON|2, 所以=+==3,即d=. 綜上,

15、O到直線MN的距離是定值. 14.在圓x2+y2=4上任取一點P,過點P作x軸的垂線段,D為垂足,點M在線段PD上,且|DP|=|DM|,點P在圓上運動. (1)求點M的軌跡方程; (2)過定點C(-1,0)的直線與點M的軌跡交于A,B兩點,在x軸上是否存在點N,使·為常數(shù),若存在,求出點N的坐標;若不存在,請說明理由. 解 (1)設P(x0,y0),M(x,y),則x0=x,y0=y(tǒng). ∵P(x0,y0)在x2+y2=4上,∴x+y=4. ∴x2+2y2=4,即+=1. 點M的軌跡方程為+=1(x≠±2). (2)假設存在.當直線AB與x軸不垂直時, 設

16、直線AB的方程為y=k(x+1)(k≠0),A(x1,y1),B(x2,y2),N(n,0), 聯(lián)立方程組 整理得(1+2k2)x2+4k2x+2k2-4=0, ∴x1+x2=-,x1x2=. ∴·=(x1-n,y1)·(x2-n,y2) =(1+k2)x1·x2+(x1+x2)(k2-n)+n2+k2 =(1+k2)×+(k2-n)×+k2+n2 =+n2 =+n2 =(2n2+4n-1)-. ∵·是與k無關的常數(shù),∴2n+=0. ∴n=-,即N,此時·=-. 當直線AB與x軸垂直時,若n=-,則·=-. 綜上所述,在x軸上存在定點N,使·為常數(shù).

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