《高考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí):第三章 :第五節(jié)兩角和與差的正弦、余弦和正切突破熱點(diǎn)題型》由會(huì)員分享,可在線閱讀,更多相關(guān)《高考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí):第三章 :第五節(jié)兩角和與差的正弦、余弦和正切突破熱點(diǎn)題型(7頁(yè)珍藏版)》請(qǐng)?jiān)谘b配圖網(wǎng)上搜索。
1、 精品資料
考點(diǎn)一
三角函數(shù)的化簡(jiǎn)求值
[例1] (1)(2013重慶高考)4cos 50-tan 40=( )
A. B.
C. D.2-1
(2)化簡(jiǎn):(0<θ<π).
[自主解答] (1)4cos 50-tan 40=4sin 40-
=
=
=
=
==.
(2)原式=
=
=.
因?yàn)?<θ<π,所以0<<,
所以cos>0,故原式=-cos θ.
[答案] (1)C
【方法規(guī)律】
1.三角函數(shù)式化簡(jiǎn)的原則
2、三角函數(shù)式的化簡(jiǎn)要遵循“三看”原則,即一看角,二看名,三看式子結(jié)構(gòu)與特征.
2.解決給角求值問(wèn)題的基本思路
對(duì)于給角求值問(wèn)題,往往所給角都是非特殊角,解決這類問(wèn)題的基本思路有:
(1)化為特殊角的三角函數(shù)值;
(2)化為正、負(fù)相消的項(xiàng),消去求值;
(3)化分子、分母出現(xiàn)公約數(shù)進(jìn)行約分求值.
化簡(jiǎn):
(1)sin 50(1+tan 10);
(2).
解:(1)sin 50(1+tan 10)=sin 50(1+tan 60tan 10)
=sin 50
=sin 50[來(lái)源:]
=
===1.[來(lái)源:]
(2)原式=
==
==cos 2x.
[來(lái)源:
3、]
考點(diǎn)二[來(lái)源:]
三角函數(shù)的條件求值
[例2] (1)(2013浙江高考)已知α∈R,sin α+2cos α=,則tan 2α=( )
A. B.
C.- D.-
(2)(2013廣東高考)已知函數(shù)f(x)=cos,x∈R.
①求f的值;
②若cos θ=,θ∈,求f.
[自主解答] (1)法一:(直接法)兩邊平方,再同時(shí)除以cos2α,得3tan2α-8tan α-3=0,tan α=3或tan α=-,代入tan 2α=,得tan 2α=-.
法二:(猜想法)由給出的數(shù)據(jù)及選項(xiàng)的唯一性,記sin
4、α=,cos α=,這時(shí)sin α+2cos α=符合要求,此時(shí)tan α=3,代入二倍角公式得到答案C.
(2)①f=cos=cos=
cos =1.
②f= cos=cos=cos 2θ-sin 2θ.
因?yàn)閏os θ=,θ∈,所以sin θ=-.
所以sin 2θ=2sin θcos θ=-,cos 2θ=cos2θ-sin2θ=-.
所以f=cos 2θ-sin 2θ=--=.
[答案] (1)C
【互動(dòng)探究】
保持本例(2)②條件不變,求f的值.
解:因?yàn)棣取?,cos θ=,
所以sin θ=-=- =-.
所以f=cos=cos
=
=cos θ+sin
5、 θ=-=-.
【方法規(guī)律】
三角函數(shù)求值的兩種類型
(1)給角求值:關(guān)鍵是正確選用公式,以便把非特殊角的三角函數(shù)轉(zhuǎn)化為特殊角的三角函數(shù).
(2)給值求值:關(guān)鍵是找出已知式與待求式之間的聯(lián)系及函數(shù)的差異.
①一般可以適當(dāng)變換已知式,求得另外函數(shù)式的值,以備應(yīng)用;
②變換待求式,便于將已知式求得的函數(shù)值代入,從而達(dá)到解題的目的.
1.(2013新課標(biāo)全國(guó)卷Ⅱ)設(shè)θ為第二象限角,若tan=,則sin θ+cos θ=________.
解析:法一:由θ在第二象限,且tan=,因而sin=-,因而sin θ+cos θ= sin=-.
法二:如果將tan=利用兩
6、角和的正切公式展開(kāi),則=,求得tan θ=-.又因?yàn)棣仍诘诙笙?,則sin θ=,cos θ=-,從而sin θ+cos θ=-=-.
答案:-
2.已知0<β<<α<π,且cos=-,sin=,求cos(α+β)的值.
解:∵0<β<<α<π,
∴-<-β<,<α-<π,
∴cos= =,
sin= =,
∴cos=cos
=coscos+sinsin
=+
=,
∴cos(α+β)=2cos2-1
=2-1=-.
高頻考點(diǎn)
考點(diǎn)三 三角變換的綜合應(yīng)用
1.三角恒等變換是三角函數(shù)化簡(jiǎn)、求值、證明的主要依據(jù).高考常與三角函數(shù)的其他知識(shí)相結(jié)合命
7、題,題目難度適中,為中檔題.
2.高考對(duì)三角恒等變換綜合問(wèn)題的考查常有以下幾個(gè)命題角度:
(1)與三角函數(shù)的圖象和性質(zhì)相結(jié)合命題;
(2)與向量相結(jié)合命題;
(3)與解三角形相結(jié)合命題(見(jiàn)本章第六節(jié)).
[例3] (1)(2013天津高考)已知函數(shù)f(x)=-sin+6sin xcos x-2cos2x+1,x∈R.
①求f(x)的最小正周期;
②求f(x)在區(qū)間上的最大值和最小值.
(2)(2013遼寧高考)設(shè)向量a=(sin x,sin x),b=(cos x,sin x),x∈.
①若|a|=|b|,求x的值;
②設(shè)函數(shù)f(x)=ab,求f(x)的最大值.
[自主解
8、答] (1)①f(x)=-sin 2xcos-cos 2xsin+3sin 2x-cos 2x=2sin 2x-2cos 2x=2sin.
所以f(x)的最小正周期T==π.
②因?yàn)閒(x)在區(qū)間上是增函數(shù),在區(qū)間,上是減函數(shù),又f(0)=-2,f=2,f=2,故函數(shù)f(x)在上的最大值為2,最小值為-2.
(2)①由|a|2=(sin x)2+sin2x=4sin2x,
|b|2=cos2x+sin2x=1,及|a|=|b|,得4sin2x=1.
又x∈,從而sin x=,
所以x=.
②f(x)=ab=sin xcos x+sin2x=sin 2x-cos 2x+=sin+,
9、
當(dāng)x=∈時(shí),sin取最大值1.
所以f(x)的最大值為.
三角恒等變換綜合應(yīng)用問(wèn)題的常見(jiàn)類型及解題策略
(1)與三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)相結(jié)合的綜合問(wèn)題.借助三角恒等變換將已知條件中的函數(shù)解析式整理為f(x)=Asin(ωx+φ)的形式,然后借助三角函數(shù)圖象解決.
(2)與向量相結(jié)合的綜合問(wèn)題.此類問(wèn)題通常是先利用向量的運(yùn)算轉(zhuǎn)化為三角函數(shù)問(wèn)題,然后再利用三角恒等變換轉(zhuǎn)化為三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)等問(wèn)題解決.
1.已知平面向量a=(sin2x,cos2x),b=(sin2x,-cos2x),R是實(shí)數(shù)集,f(x)=ab+4cos2x+2sin xcos x,如果存在m∈R,任意的x∈
10、R,f(x)≥f(m),那么f(m)=( )
A.2+2 B.3 C.0 D.2-2
解析:選C 依題意得f(x)=sin4x-cos4x+4cos2x+sin 2x=sin2x+3cos2x+sin 2x=cos 2x+sin 2x+2=2sin+2,因此函數(shù)f(x)的最小值是-2+2=0,即有f(m)=0.
2.已知x0,x0+是函數(shù)f(x)=cos2-sin2ωx(ω>0)的兩個(gè)相鄰的零點(diǎn).
(1)求f的值;
(2)若對(duì)?x∈,都有|f(x)-m|≤1,求實(shí)數(shù)m的取值范圍.
解:(1)f(x)=-
=
=
=
=
=sin
11、.
由題意可知,f(x)的最小正周期T=π,∴=π,
又∵ω>0,∴ω=1,∴f(x)=sin.
∴f=sin=sin=.
(2)|f(x)-m|≤1,即f(x)-1≤m≤f(x)+1,
∵對(duì)?x∈,都有|f(x)-m|≤1,
∴m≥f(x)max-1且m≤f(x)min+1,
∵-≤x≤0,∴-≤2x+≤,
∴-1≤sin≤,
∴-≤sin≤,即f(x)max=,f(x)min=-,
∴-≤m≤1-.
故實(shí)數(shù)m的取值范圍為.
———————————[課堂歸納——通法領(lǐng)悟]————————————————
1組關(guān)系——兩角和與差的正弦、余弦、正切公式與倍角 公式的關(guān)
12、系
2個(gè)技巧——拼角、湊角的技巧
(1)用已知角表示未知角
2α=(α+β)+(α-β);2β=(α+β)-(α-β);
α=(α+β)-β=(α-β)+β;
α=+,β=-;
=-等.
(2)互余與互補(bǔ)關(guān)系
+=;
+=;
+=π;
+=π; …
3個(gè)變換——應(yīng)用公式解決問(wèn)題的三個(gè)變換角度
(1)變角:目的是溝通題設(shè)條件與結(jié)論中所涉及的角,其手法通常是“配湊”.
(2)變名:通過(guò)變換函數(shù)名稱達(dá)到減少函數(shù)種類的目的,其手法通常有“切化弦”、“升冪與降冪”等.
(3)變式:根據(jù)式子的結(jié)構(gòu)特征進(jìn)行變形,使其更貼近某個(gè)公式或某個(gè)期待的目標(biāo),其手法通常有:“常值代換”、“逆用變用公式”、“通分約分”、“分解與組合”、“配方與平方”等.[來(lái)源:數(shù)理化網(wǎng)]