精校版高中數(shù)學(xué)人教A版選修44學(xué)案：第2講3 直線的參數(shù)方程 Word版含解析

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1、最新資料最新資料最新資料最新資料最新資料 三　直線的參數(shù)方程 1．掌握直線的參數(shù)方程及參數(shù)的幾何意義．(重點(diǎn)、難點(diǎn)) 2．能用直線的參數(shù)方程解決簡單問題．(重點(diǎn)、易錯點(diǎn)) [基礎(chǔ)·初探] 教材整理　直線的參數(shù)方程 閱讀教材P35～P39，完成下列問題． 經(jīng)過點(diǎn)M0(x0，y0)，傾斜角為α的直線l的參數(shù)方程為(t為參數(shù))，其中參數(shù)t的幾何意義是：|t|是直線l上任一點(diǎn)M(x，y)到定點(diǎn)M0(x0，y0)的距離，即|t|＝||. 曲線(t為參數(shù))與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)是(　　) A.、 B.、 C．(0，－4)、(8,0) D.、(8,0) 【解析】　

2、當(dāng)x＝0時，t＝，而y＝1－2t，即y＝，得與y軸的交點(diǎn)為；當(dāng)y＝0時，t＝，而x＝－2＋5t，即x＝，得與x軸的交點(diǎn)為. 【答案】　B [質(zhì)疑·手記] 預(yù)習(xí)完成后，請將你的疑問記錄，并與“小伙伴們”探討交流： 疑問1：　 解惑：　 疑問2：　

3、 解惑：　 疑問3：　 解惑：　 [小組合作型] 直線參數(shù)方程的簡單應(yīng)用 　已知直線的參數(shù)方程為(t為參數(shù))，則該直線被圓x2＋y2＝9截得的弦長是多少？ 【思路探究】　考慮參數(shù)方程標(biāo)準(zhǔn)形式中參數(shù)t的幾何意義，所以首先要

4、把原參數(shù)方程轉(zhuǎn)化為標(biāo)準(zhǔn)形式再把此式代入圓的方程，整理得到一個關(guān)于t的一元二次方程，弦長即為方程兩根之差的絕對值． 【自主解答】　將參數(shù)方程(t為參數(shù))轉(zhuǎn)化為直線參數(shù)方程的標(biāo)準(zhǔn)形式為 (t′為參數(shù))， 代入圓方程x2＋y2＝9， 得＋＝9， 整理，有t′2＋8t′－4＝0. 由根與系數(shù)的關(guān)系，t′1＋t′2＝－， t′1·t′2＝－4. 根據(jù)參數(shù)t′的幾何意義． |t′1－t2′|＝＝. 故直線被圓截得的弦長為. 1．在直線參數(shù)方程的標(biāo)準(zhǔn)形式下，直線上兩點(diǎn)之間的距離可用|t1－t2|來求．本題易錯的地方是：將題目所給參數(shù)方程直接代入圓的方程求解，忽視了參數(shù)t的

5、幾何意義． 2．根據(jù)直線的參數(shù)方程的標(biāo)準(zhǔn)式中t的幾何意義，有如下常用結(jié)論： (1)直線與圓錐曲線相交，交點(diǎn)對應(yīng)的參數(shù)分別為t1，t2，則弦長l＝|t1－t2|； (2)定點(diǎn)M0是弦M1M2的中點(diǎn)?t1＋t2＝0； (3)設(shè)弦M1M2中點(diǎn)為M，則點(diǎn)M對應(yīng)的參數(shù)值tM＝(由此可求|M1M2|及中點(diǎn)坐標(biāo))． [再練一題] 1．(2016·佳木斯調(diào)研)在極坐標(biāo)系中，已知圓心C，半徑r＝1. (1)求圓的直角坐標(biāo)方程； (2)若直線(t為參數(shù))與圓交于A，B兩點(diǎn)，求弦AB的長． 【解】　(1)由已知得圓心C，半徑為1，圓的方程為2＋＝1， 即x2＋y2－3x－3y＋8＝

6、0. (2)由(t為參數(shù))得直線的直角坐標(biāo)系方程x－y＋1＝0， 圓心到直線的距離d＝＝， 所以＋d2＝1，解得|AB|＝. 參數(shù)方程與極坐標(biāo)的綜合問題 　在直角坐標(biāo)系xOy中，直線l的參數(shù)方程為(t為參數(shù))．在極坐標(biāo)系(與直角坐標(biāo)系xOy取相同的長度單位，且以原點(diǎn)O為極點(diǎn)，以x軸正半軸為極軸)中，圓C的方程為ρ＝2sin θ. (1)求圓C的直角坐標(biāo)方程； (2)設(shè)圓C與直線l交于點(diǎn)A，B，若點(diǎn)P的坐標(biāo)為(3，)，求|PA|＋|PB|. 【思路探究】　(1)利用公式可求． (2)可考慮將參數(shù)方程、極坐標(biāo)方程化為普通方程，求交點(diǎn)A、B的坐標(biāo)，也可考慮利用t的幾何意義求解

7、． 【自主解答】　(1)由ρ＝2sin θ， 得ρ2＝2ρsin θ， ∴x2＋y2－2y＝0，即x2＋(y－)2＝5. (2)法一　直線l的普通方程為y＝－x＋3＋. 與圓C：x2＋(y－)2＝5聯(lián)立，消去y，得x2－3x＋2＝0， 解得或 不妨設(shè)A(1,2＋)，B(2,1＋)． 又點(diǎn)P的坐標(biāo)為(3，)， 故|PA|＋|PB|＝＋＝3. 法二　將l的參數(shù)方程代入x2＋(y－)2＝5，得2＋2＝5， 即t2－3t＋4＝0，(*) 由于Δ＝(3)2－4×4＝2＞0. 故可設(shè)t1，t2是(*)式的兩個實根， ∴t1＋t2＝3，且t1t2＝4， ∴t1>

8、0，t2>0. 又直線l過點(diǎn)P(3，)， ∴由t的幾何意義，得|PA|＋|PB|＝|t1|＋|t2|＝3. 1．第(2)問中，法二主要運(yùn)用直線參數(shù)方程中參數(shù)t的幾何意義，簡化了計算． 2．本題將所給的方程化為考生所熟悉的普通方程，然后去解決問題，這是考生在解決參數(shù)方程和極坐標(biāo)方程相互交織問題時的一個重要的思路． [再練一題] 2．已知曲線C1的參數(shù)方程是(φ為參數(shù))，以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn)，x軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，曲線C2的極坐標(biāo)方程是ρ＝2，正方形ABCD的頂點(diǎn)都在C2上，且A，B，C，D依逆時針次序排列，點(diǎn)A的極坐標(biāo)為. (1)求點(diǎn)A，B，C，D的直角坐標(biāo)；

9、 (2)設(shè)P為C1上任意一點(diǎn)，求|PA|2＋|PB|2＋|PC|2＋|PD|2的取值范圍． 【解】　(1)由已知可得A， B， C， D， 即A(1，)，B(－，1)，C(－1，－)，D(，－1)． (2)設(shè)P(2cos φ，3sin φ)，令S＝|PA|2＋|PB|2＋|PC|2 ＋|PD|2，則S＝(2cos φ－1)2＋(－3sin φ)2＋(－－2cos φ)2＋(1－3sin φ)2＋(－1－2cos φ)2＋(－－3sin φ)2＋(－2cos φ)2＋(－1－3sin φ)2＝16cos2φ＋36sin2φ＋16＝32＋20sin2φ. ∵0≤sin2φ≤1，∴S

10、的取值范圍是[32,52]． [探究共研型] 直線的參數(shù)方程 探究1　若直線l的傾斜角α＝0，則直線l的參數(shù)方程是什么？ 【提示】　參數(shù)方程為(t為參數(shù))． 探究2　如何理解直線參數(shù)方程中參數(shù)的幾何意義？ 【提示】　過定點(diǎn)M0(x0，y0)，傾斜角為α的直線l的參數(shù)方程為(t為參數(shù))，其中t表示直線l上以定點(diǎn)M0為起點(diǎn)，任意一點(diǎn)M(x，y)為終點(diǎn)的有向線段的長度，即|t|＝||. ①當(dāng)t＞0時，的方向向上； ②當(dāng)t＜0時，的方向向下； ③當(dāng)t＝0時，點(diǎn)M與點(diǎn)M0重合． 　已知直線l：(t為參數(shù))． (1)求直線l的傾斜角； (2)若點(diǎn)M(－3，0)在直線l上，求t，

11、并說明t的幾何意義． 【思路探究】　將直線l的參數(shù)方程化為標(biāo)準(zhǔn)形式，求得傾斜角，利用參數(shù)的幾何意義求得t. 【自主解答】　(1)由于直線l： (t為參數(shù))表示過點(diǎn)M0(－，2)且斜率為tan 的直線， 故直線l的傾斜角α＝. (2)由(1)知，直線l的單位方向向量 e＝＝. ∵M(jìn)0(－，2)，M(－3，0)， ∴＝(－2，－2)＝－4＝－4e， ∴點(diǎn)M對應(yīng)的參數(shù)t＝－4， 幾何意義為||＝4，且與e方向相反(即點(diǎn)M在直線l上點(diǎn)M0的左下方)． 1．一條直線可以由定點(diǎn)M0(x0，y0)，傾斜角α(0≤α＜π)惟一確定，直線上的動點(diǎn)M(x，y)的參數(shù)方程為(t為參數(shù))，這

12、是直線參數(shù)方程的標(biāo)準(zhǔn)形式． 2．直線參數(shù)方程的形式不同，參數(shù)t的幾何意義也不同，過定點(diǎn)M0(x0，y0)，斜率為的直線的參數(shù)方程是(a、b為常數(shù)，t為參數(shù))． [再練一題] 3．設(shè)直線l過點(diǎn)P(－3,3)，且傾斜角為. (1)寫出直線l的參數(shù)方程； (2)設(shè)此直線與曲線C：(θ為參數(shù))交于A，B兩點(diǎn)，求|PA|·|PB|. 【解】　(1)直線l的參數(shù)方程為 (t為參數(shù))． (2)把曲線C的參數(shù)方程中參數(shù)θ消去，得4x2＋y2－16＝0. 把直線l的參數(shù)方程代入曲線C的普通方程中，得 4＋－16＝0， 即13t2＋4(3＋12)t＋116＝0. 由t的幾何意

13、義，知 |PA|·|PB|＝|t1·t2|， 故|PA|·|PB|＝|t1·t2|＝. [構(gòu)建·體系] — 1．直線(t為參數(shù))的傾斜角α等于(　　) A．30° B．60° C．－45° D．135° 【解析】　由直線的參數(shù)方程知傾斜角α等于60°，故選B. 【答案】　B 2．直線(α為參數(shù)，0≤a＜π)必過點(diǎn)(　　) A．(1，－2) B．(－1,2) C．(－2,1) D．(2，－1) 【解析】　直線表示過點(diǎn)(1，－2)的直線． 【答案】　A 3．已知直線

14、l的參數(shù)方程為(t為參數(shù))，則直線l的斜率為(　　) A．1 B．－1 C. D．－ 【解析】　消去參數(shù)t，得方程x＋y－1＝0， ∴直線l的斜率k＝－1. 【答案】　B 4．若直線(t為參數(shù))與直線4x＋ky＝1垂直，則常數(shù)k＝________. 【解析】　將化為y＝－x＋， ∴斜率k1＝－， 顯然k＝0時，直線4x＋ky＝1與上述直線不垂直， ∴k≠0，從而直線4x＋ky＝1的斜率k2＝－. 依題意k1k2＝－1，即－×＝－1， ∴k＝－6. 【答案】　－6 5．化直線l的參數(shù)方程(t為參數(shù))為普通方程，并求傾斜角，說明|t|的幾何意義． 【解】　

15、由消去參數(shù)t，得 直線l的普通方程為x－y＋3＋1＝0. 故k＝＝tan α，即α＝， 因此直線l的傾斜角為. 又得(x＋3)2＋(y－1)2＝4t2， ∴|t|＝. 故|t|是t對應(yīng)點(diǎn)M到定點(diǎn)M0(－3,1)的向量的模的一半． 我還有這些不足： (1)　 (2)　 我的課下提升方案： (1)　

16、 (2)　 學(xué)業(yè)分層測評(八) (建議用時：45分鐘) [學(xué)業(yè)達(dá)標(biāo)] 一、選擇題 1．下列可以作為直線2x－y＋1＝0的參數(shù)方程的是(　　) A.(t為參數(shù)) B.(t為參數(shù)) C.(t為參數(shù)) D.(t為參數(shù)) 【解析】　題目所給的直線的斜率為2，選項A中直線斜率為1，選項D中直線斜率為，所以可排除選項A、D.而選項B中直線的普通方程為2x－y＋3＝0，故選C

17、. 【答案】　C 2．直線(t為參數(shù))上對應(yīng)t＝0，t＝1兩點(diǎn)間的距離是(　　) A．1　　　 B. C．10 D．2 【解析】　因為題目所給方程不是參數(shù)方程的標(biāo)準(zhǔn)形式，參數(shù)t不具有幾何意義，故不能直接由1－0＝1來得距離，應(yīng)將t＝0，t＝1分別代入方程得到兩點(diǎn)坐標(biāo)(2，－1)和(5,0)，由兩點(diǎn)間距離公式來求出距離，即＝. 【答案】　B 3．極坐標(biāo)方程ρ＝cos θ和參數(shù)方程(t為參數(shù))所表示的圖形分別是(　　) A．直線、直線 B．直線、圓 C．圓、圓 D．圓、直線 【解析】　∵ρ＝cos θ，∴ρ2＝ρcos θ， 即x2＋y2＝x，即＋y2＝， ∴ρ＝cos θ

18、所表示的圖形是圓． 由(t為參數(shù))消參得：x＋y＝1，表示直線． 【答案】　D 4．直線與曲線ρ＝2cos θ相交，截得的弦長為(　　) A. B. C. D. 【解析】　曲線ρ＝2cos θ的直角坐標(biāo)方程為x2＋y2＝2x，標(biāo)準(zhǔn)方程為(x－1)2＋y2＝1，表示以點(diǎn)(1,0)為圓心，半徑長為1的圓，直線的一般式方程為x＋2y－3＝0，則圓心到直線的距離為d＝＝，因此直線與圓相交所得的弦長為2＝2＝. 【答案】　A 5．直線(t為參數(shù))和圓x2＋y2＝16交于A、B兩點(diǎn)，則AB的中點(diǎn)坐標(biāo)為(　　) A．(3，－3) B．(－，3) C．(，－3) D．(3，－) 【

19、解析】　將x＝1＋，y＝－3＋t代入圓方程， 得＋＝16， ∴t2－8t＋12＝0，則t1＝2，t2＝6， 因此AB的中點(diǎn)M對應(yīng)參數(shù)t＝＝4， ∴x＝1＋×4＝3，y＝－3＋×4＝－， 故AB中點(diǎn)M的坐標(biāo)為(3，－)． 【答案】　D 二、填空題 6．在平面直角坐標(biāo)系xOy中，若直線l：(t為參數(shù))過橢圓C：(φ為參數(shù))的右頂點(diǎn)，則常數(shù)a的值為________． 【解析】　直線l：消去參數(shù)t后得y＝x－a. 橢圓C：消去參數(shù)φ后得＋＝1. 又橢圓C的右頂點(diǎn)為(3,0)，代入y＝x－a得a＝3. 【答案】　3 7．若直線l的參數(shù)方程為(t為參數(shù))，則直

20、線l的斜率為________． 【解析】　由參數(shù)方程可知，cos θ＝－，sin θ＝(θ為傾斜角)， ∴tan θ＝－，即為直線斜率． 【答案】?。? 8．在平面直角坐標(biāo)系xOy中，曲線C1和C2的參數(shù)方程分別為和(t為參數(shù))，則曲線C1與C2的交點(diǎn)坐標(biāo)為________． 【解析】　曲線C1和C2的普通方程分別為 (0≤x≤，0≤y≤)， 聯(lián)立①②解得 ∴C1與C2的交點(diǎn)坐標(biāo)為(2,1)． 【答案】　(2,1) 三、解答題 9．(2016·揚(yáng)州月考)在直角坐標(biāo)系中，參數(shù)方程為(t為參數(shù))的直線l被以原點(diǎn)為極點(diǎn)，x軸的正半軸為極軸，極坐標(biāo)方程為ρ＝2cos θ的

21、曲線C所截，求截得的弦長． 【解】　參數(shù)方程為(t為參數(shù))表示的直線l是過點(diǎn)A(2,0)，傾斜角為30°，極坐標(biāo)方程ρ＝2cos θ表示的曲線C為圓x2＋y2－2x＝0. 此圓的圓心為(1,0)，半徑為1，且圓C也過點(diǎn)A(2,0)；設(shè)直線l與圓C的另一個交點(diǎn)為B，在Rt△OAB中，|AB|＝2cos 30°＝. 10．在平面直角坐標(biāo)系xOy中，直線l的參數(shù)方程為(t為參數(shù))，曲線C的參數(shù)方程為(θ為參數(shù))．試求直線l和曲線C的普通方程，并求出它們的公共點(diǎn)的坐標(biāo)． 【解】　因為直線l的參數(shù)方程為(t為參數(shù))，由x＝t＋1，得t＝x－1，代入y＝2t，得到直線l的普通方

22、程為2x－y－2＝0. 同理得到曲線C的普通方程為y2＝2x. 聯(lián)立方程組 解得公共點(diǎn)的坐標(biāo)為(2,2)，. [能力提升] 1．直線的參數(shù)方程為M0(－1,2)和M(x，y)是該直線上的定點(diǎn)和動點(diǎn)，則t的幾何意義是(　　) A．有向線段M0M的數(shù)量 B．有向線段MM0的數(shù)量 C．|M0M| D．以上都不是 【解析】　參數(shù)方程可化為 【答案】　B 2．若直線(t為參數(shù))與圓(φ為參數(shù))相切，那么直線的傾斜角α為(　　) A. B. C. D.或 【解析】　直線化為＝tan α，即y＝tan α·x， 圓方程化為(x－4)2＋y2＝4， ∴由＝2

23、?tan2α＝， ∴tan α＝±，又α∈[0，π)，∴α＝或. 【答案】　D 3．直線(t為參數(shù))被圓x2＋y2＝4截得的弦長為________． 【解析】　直線為x＋y－1＝0，圓心到直線的距離d＝＝， 弦長的一半為＝， 得弦長為. 【答案】　 4．已知直線l的參數(shù)方程為(t為參數(shù))，曲線C的極坐標(biāo)方程是ρ＝，以極點(diǎn)為原點(diǎn)，極軸為x軸正方向建立直角坐標(biāo)系，點(diǎn)M(－1,0)，直線l與曲線C交于A、B兩點(diǎn)． (1)求直線l的極坐標(biāo)方程與曲線C的普通方程； (2)線段MA，MB長度分別記為|MA|，|MB|，求|MA|· |MB|的值． 【解】　(1)直線l：(t為參數(shù))的直角坐標(biāo)方程為x－y＋1＝0，所以極坐標(biāo)方程為ρcos＝－1， 曲線C：ρ＝即(ρcos θ)2＝ρsin θ， 所以曲線的普通方程為y＝x2. (2)將(t為參數(shù)) 代入y＝x2得t2－3t＋2＝0， ∴t1t2＝2， ∴|MA|·|MB|＝|t1t2|＝2. 最新精品資料