浙江高考數(shù)學 理二輪專題訓練：第3部分 專題一 第1講 送分題準確解一分不丟

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1、 高考試卷雖然是選拔性的試卷，但是試卷中仍然有相當部分的送分題．所謂送分題是指知識點基礎，數(shù)據(jù)計算量小，解題方法基本的試題．這部分試題往往因為簡單，導致許多考生思想重視不夠，從而失分，特別是一些數(shù)學成績優(yōu)秀的考生更是如此．筆者以多年送考的經驗告訴大家，只要處理好以下幾個方面的問題，即可達到“送分題，一分不丟”的效果，使考生能在高考考場上取得開門紅，增強考試的信心． 問題一 使用概念要明確 [例1]　(20xx·大連模擬)若復數(shù)z＝(a2＋2a－3)＋(a＋3)i為純虛數(shù)，則a的值是(　　) A．－3

2、　　　　　　　　 　B．－3或1 C．3或－1 D．1 [嘗試解答] [錯因]　本題易混淆復數(shù)的有關概念，忽視虛部

3、不為零的限制條件． [正解]　因為復數(shù)z＝(a2＋2a－3)＋(a＋3)i為純虛數(shù)，所以解得a＝1. [答案]　D [反思領悟]　利用復數(shù)的有關概念解題時，一定要過好審題關，仔細辨析試題中的待求問題；在準確用好概念的前提下對試題進行解答，這樣才能避免應用概念出錯．如本題，若能搞清復數(shù)z為純虛數(shù)的概念，只需令復數(shù)z的實部為零，虛部不為零，從而把求參數(shù)問題轉化為求方程組解的問題，即可避開概念的陷阱． [例2]　已知：p：|x－3|≤2，q：(x－m＋1)·(x－m－1)≤0，若綈p是綈q的充分不必要條件，則實數(shù)m的取值范圍為________． [嘗試解答]

4、 [錯因]　本題的易錯點是對充要條件的概念把握不清，判斷錯誤，并且不會將充要條件進行轉化． [正解]　∵p：－2≤x－3≤2,1≤x≤5. ∴綈

5、p：x<1或x>5. 易得q：m－1≤x≤m＋1，∴綈q：x<m－1或x>m＋1. 又∵綈p是綈q的充分不必要條件， ∴∴2≤m≤4. [答案]　[2,4] [反思領悟]　對充要條件的判定需注意：(1)要善于舉出反例：如果從正面判斷或證明一個命題的正確或錯誤不易進行時，可以通過舉出恰當?shù)姆蠢齺碚f明． (2)要注意轉化：如果p是q的充分不必要條件，那么綈p是綈q的必要不充分條件．同理，如果p是q的必要不充分條件，那么綈p是綈q的充分不必要條件；如果p是q的充要條件，那么綈p是綈q的充要條件. 問題二 作圖用圖要準確 [例3]　函數(shù)f(x)＝的圖像和函

6、數(shù)g(x)＝log2 x的圖像的交點個數(shù)是(　　) A．4 B．3 C．2 D．1 [嘗試解答]

7、 [錯因]　不能準確作出兩函數(shù)在相應區(qū)間的圖像以及兩函數(shù)圖像的相對位置關系，只是想當然、沒有依據(jù)地亂作圖像，很容易導致錯誤． [正解]　分別在同一坐標系內作出兩函數(shù)的圖像．如圖所示，觀察易知兩函數(shù)圖像有且僅有3個交點． [答案]　B [反思領悟]　在判斷函數(shù)圖像交點的個數(shù)或利用函數(shù)圖像判斷方程解的個數(shù)時，一定要注意函數(shù)圖像的相對位置關系，可以取特殊值驗證一下，如取x＝時，4x－4<log2x，即此時對函數(shù)圖像上的點應在相

8、應直線的上側，因此我們可以通過取特殊值的方法相對準確地確定兩函數(shù)圖像的相對位置關系． [例4]　已知函數(shù)f(x)＝ax2＋bx－1(a，b∈R且a>0)有兩個零點，其中一個零點在區(qū)間(1,2)內，則的取值范圍為(　　) A．(－∞，1) B．(－∞，1] C．(－2,1] D．(－2,1) [嘗試解答]

9、

10、 [錯因]　不能根據(jù)函數(shù)解析式的特點以及零點所在區(qū)間確定a，b所滿足的條件，導致找不到解決問題的突破口，或者忽視a>0的限制條件，導致錯解． [正解]　因為a>0，所以二次函數(shù)f(x)的圖像開口向上，又因為f(0)＝－1，所以要使函數(shù)f(x)的一個零點在區(qū)間(1,2)內，則有即如圖所示的陰影部分是上述不等式組所確定的平面區(qū)域，式子表示平面區(qū)域內的點P(a，b)與點Q(－1,0)連線的斜率．而直線QA的斜率k＝＝1，直線4a＋2b－1＝0的斜率為－2，顯然不等式組所表示的平面區(qū)域

11、不包括邊界，所以P，Q連線的斜率的取值范圍為(－2,1)． [答案]　D [反思領悟]　本題是一個函數(shù)的零點取值范圍與線性規(guī)劃的綜合問題，先結合函數(shù)圖像確定函數(shù)在指定區(qū)間存在零點的條件，再確定不等式組所表示的平面區(qū)域，將目標函數(shù)轉化為平面區(qū)域內的點與定點連線的斜率，根據(jù)圖形判斷其取值范圍．在作圖時要注意不等式組中各個不等式是否帶有等號，否則很容易忽視邊界值而導致錯解. 問題三 思考問題要嚴謹 [例5]　(20xx·福州模擬)已知數(shù)列{an}中an＝n2－kn(n∈N*)，且{an}單調遞增，則k的取值范圍是(　　) A．(－∞，2] B．(－∞，3) C．(

12、－∞，2) D．(－∞，3] [嘗試解答]

13、 [錯因]　

14、認為an是關于n的二次函數(shù)，定義域為整數(shù)集，又{an}遞增，則必有≤1，即k≤2，思維不嚴謹導致解題錯誤． [正解]　an＋1－an＝(n＋1)2－k(n＋1)－n2＋kn＝2n＋1－k，由于{an}單調遞增，故應有an＋1－an>0，即2n＋1－k>0恒成立，分離變量得k<2n＋1，故只需k<3即可． [答案]　B [反思領悟]　函數(shù)的單調性與數(shù)列的單調性既有聯(lián)系又有區(qū)別，即數(shù)列所對應的函數(shù)若單調則數(shù)列一定單調，反之若數(shù)列單調，其所在函數(shù)不一定單調，關鍵原因在于數(shù)列是一個定義域為正整數(shù)N*(或它的有限子集{1,2,3，…，n})的特殊函數(shù)．故對于數(shù)列的單調性的判

15、斷一般要通過比較an＋1與an的大小來判斷：若an＋1>an，則數(shù)列為遞增數(shù)列；若an＋1<an，則數(shù)列為遞減數(shù)列． [例6]　如圖，兩塊斜邊長相等的直角三角板拼在一起．若＝x＋y，則x＝________，y＝________. [嘗試解答]

16、

17、 [錯因]　本題想利用向量的基本運算，但由于計算費時，時間緊迫，所以思路出現(xiàn)阻礙，致使問題無法求解或求解失誤． [正解]　以A為原點，AB為x軸，AC為y軸建立直角坐標系，且取單位長度為AB，則問題轉化為求D點坐標(x，y)．易知BC＝，所以DE＝，所以BD＝DEsin 60°＝.易知直線BD的傾斜角是45°，所以D點縱坐標y＝BD·sin 45°＝，D

18、點的橫坐標x＝1＋BDcos 45°＝1＋，所以D點坐標為. [答案]　1＋　 [反思領悟]　在試題中不含有向量的坐標時，要善于根據(jù)問題的實際情況，在不改變問題本質的情況下建立適當?shù)淖鴺讼?，把向量問題代數(shù)化，可以降低問題的難度. 問題四 特殊情況要謹記 [例7]　已知l1：3x＋2ay－5＝0，l2：(3a－1)x－ay－2＝0，且l1∥l2，則a的值為(　　) A．0 B．－ C．6 D．0或－ [嘗試解答]

19、

20、 [錯因]　本題易出現(xiàn)忽略直線斜率不存在的特殊情況致誤． [正解]　法一：當直線斜率不存在，即a＝0時，有l(wèi)1：3x－5＝0，l2：－x－2＝0，符合l1∥l2； 當直線斜率存在時， l1∥l2?－

21、＝且≠－?a＝－. 故使l1∥l2的a的值為－或0. 法二：l1∥l2?3·(－a)－(3a－1)·2a＝0， 得a＝0或a＝－. 故使l1∥l2的a的值為0或－. [答案]　D [反思領悟]　在給定直線的一般方程，利用直線的位置關系，求參數(shù)的值時，一定要注意直線斜率存在性的討論，不能想當然地以斜率存在進行求解，致使答案錯誤．為避免討論，此類題可采用法二解決． [例8]　(20xx·鄭州模擬)過點(0,3)作直線l與拋物線y2＝4x只有一個公共點，則直線l的條數(shù)為(　　) A．0 B．1 C．2 D．3 [嘗試解答]

22、

23、 [錯因]　本題易只考慮斜率k存在的情況，而忽視斜率k不存在以及直線l平行于拋物線

24、對稱軸時的兩種情形． [正解]　當斜率k存在且k≠0時，由題中條件知，直線l的方程為y＝x＋3； 當k＝0時，直線l的方程為y＝3，此時l平行于對稱軸，且與拋物線只有一個交點； 當k不存在時，直線l與拋物線也只有一個公共點，此時l的方程為x＝0. 綜上，過點(0,3)且與拋物線y2＝4x只有一個公共點的直線l的方程為y＝x＋3，y＝3，x＝0，共3條． [答案]　D [反思領悟]　解答直線與拋物線位置關系的相關問題時，注意直線與拋物線的兩種特殊的位置關系：直線和拋物線的對稱軸垂直與直線和拋物線的對稱軸平行． [例9]　數(shù)列{an}中，a1＝1，a2＝2，數(shù)列{an·an

25、＋1}是公比為q(q>0)的等比數(shù)列，則數(shù)列{an}的前2n項的和S2n＝________. [嘗試解答]

26、 [錯因]　對于等比數(shù)列的前n項和易忽略公比q＝1的特殊情況，造成概念性錯誤．再者沒有從定義出發(fā)研究條件中的

27、數(shù)列{an·an＋1}是公比為q(q>0)的等比數(shù)列，得不到數(shù)列{an}的奇數(shù)項和偶數(shù)項成等比數(shù)列，從而找不到解題的突破口，使思維受阻． [正解]　由數(shù)列{an·an＋1}是公比為q的等比數(shù)列，得＝q?＝q，這表明數(shù)列{an}的所有奇數(shù)項成等比數(shù)列，所有偶數(shù)項成等比數(shù)列，且公比都是q，又a1＝1，a2＝2， 所以，當q≠1時，S2n＝a1＋a2＋a3＋a4＋…＋a2n－1＋a2n＝(a1＋a3＋a5＋…＋a2n－1)＋(a2＋a4＋a6＋…＋a2n)＝＋＝； 當q＝1時，S2n＝a1＋a2＋a3＋a4＋…＋a2n－1＋a2n ＝(a1＋a3＋a5＋…＋a2n－

28、1)＋(a2＋a4＋a6＋…＋a2n) ＝(1＋1＋1＋…＋1)＋(2＋2＋2＋…＋2) ＝3n. [答案]　 [反思領悟]　(1)本題中拆成的兩個數(shù)列都是等比數(shù)列，其中＝q是解題的關鍵； (2)不要認為奇數(shù)項、偶數(shù)項都成等比數(shù)列，且公比相等，就是整個數(shù)列成等比數(shù)列，解題時要慎重，寫出數(shù)列的前幾項進行觀察、比較就能得出正確結論； (3)對等比數(shù)列的求和一定要注意公比為1這種特殊情況，高考往往就是在此設計陷阱，使考生考慮的問題不全面而導致解題錯誤. 問題五 問題分類要全面 [例10]　已知等比數(shù)列{an}中，a2＝1，則其前3項和S3的取值范圍是(　　) A．(－∞，

29、－1] B．(－∞，0)∪(1，＋∞) C．[3，＋∞) D．(－∞，－1]∪[3，＋∞) [嘗試解答]

30、 [錯因]　本題易忽視對公比大于0和小于0的討論． [正解]　因為等比數(shù)列{an}中a2＝1， 所

31、以S3＝a1＋a2＋a3＝a2＝1＋q＋. 所以當公比q>0時， S3＝1＋q＋≥1＋2＝3(當且僅當q＝1時，等號成立)； 當公比q<0時， S3＝1－≤1－2＝－1(當且僅當q＝－1時，等號成立)． 所以S3∈(－∞，－1]∪[3，＋∞)． [答案]　D [反思領悟]　在利用基本不等式解決函數(shù)的值域問題時，要注意其使用條件和等號成立的條件，即所謂“一正、二定、三相等”．例如，求函數(shù)y＝x＋的值域和＋的取值范圍問題時，要注意分類討論． [例11]　(20xx·濱州模擬)設函數(shù)f(x)＝x－－aln x(a∈R)． (1)當a＝3時，求f(x)的極值；

32、 (2)討論函數(shù)f(x)的單調性． [嘗試解答]

33、 [錯因]　本題的易錯點是在討論函數(shù)y＝f(x)的單調性時，因缺乏分類討論意識，導致解題錯誤；或者有分類討論意識，但分類標準模糊導致分類不全致誤． [正解]　(1)函數(shù)f

34、(x)的定義域為(0，＋∞)． 當a＝3時，f′(x)＝1＋－＝＝，令f′(x)＝0，解得x1＝1，x2＝2. f′(x)與f(x)隨x的變化如下表： x (0,1) 1 (1,2) 2 (2，＋∞) f′(x) ＋ 0 － 0 ＋ f(x) 遞增 極大值 遞減 極小值 遞增 所以f(x)在x＝1處取得極大值f(1)＝－1； 在x＝2處取得極小值，f(2)＝1－3ln 2. (2)f′(x)＝1＋－＝. 令g(x)＝x2－ax＋2，其判別式Δ＝a2－8， ①當|a|≤2時，Δ≤0，f′(x)≥0，故f(x)在(0，＋∞)上單調遞增； ②當a&

35、lt;－2時，Δ>0，g(x)＝0的兩根都小于0，所以在(0，＋∞)上，f′(x)>0，故f(x)在(0，＋∞)上單調遞增； ③當a>2時，Δ>0，g(x)＝0的兩根為x1＝，x2＝，且都大于0， f′(x)與f(x)隨x的變化如下表： x (0，x1) x1 (x1，x2) x2 (x2，＋∞) f′(x) ＋ 0 － 0 ＋ f(x) 遞增 極大值 遞減 極小值 遞增 故f(x)在，上單調遞增，在上單調遞減． 綜上，當a≤2時，f(x)在(0，＋∞)上單調遞增；當a>2時，f(x)在，上單調遞增，在上單調遞減．

36、 [反思領悟]　判斷含參數(shù)的單調性問題應注意：先樹立分類討論的思想意識，做題時應先對問題作深入的研究，明確其分類的標準，如本題中要討論函數(shù)f(x)的單調性，應討論f′(x)的符號，即討論x2－ax＋2的符號，從而應分Δ≤0與Δ>0兩種情況討論；由于考慮到函數(shù)的定義域為(0，＋∞)，應討論f′(x)＝0的兩根與定義域的關系，故再次分a<－2和a>2兩種情況．一般地，與y＝ax2＋bx＋c有關的討論有三種依據(jù)：a取值，Δ取值，根的大小. 問題六 等價轉化要嚴謹 [例12]　曲線y＝與直線y＝x＋b沒有公共點，則實數(shù)b的取值范圍為________． [嘗試解答]

37、

38、 [錯因]　本題易直接聯(lián)立y＝與y＝x＋b，整理為2x2＋2bx＋b2－1＝0，然后錯誤地認為曲線y＝與直線y＝x＋b沒有公共點等價于方程2x2＋2bx＋b2－1＝0無解，從而導致解題錯誤． [正解]　如圖，根據(jù)圖像可知：當b>或b<－1時，方程組無解，即曲線y＝與直線y＝x＋b沒有交點．故b的取值范圍為(－∞，－1)∪(，＋∞)． [答案]　(－∞，－1)∪(，＋∞) [反思領悟]　在研究直線與圓或直線與圓錐曲線的公共點的個數(shù)時，通常聯(lián)立與曲線的方程，通過方程組解的個數(shù)來判斷．但是在解決此類問題時，一定要注意圓或圓錐曲線是否為完

39、整的圓或圓錐曲線，否則應畫出圖形，利用數(shù)形結合法解決，如本例中曲線y＝表示的圖形為半圓而不是整個圓，故應采用數(shù)形結合的方法求解． [例13]　若sin x＋sin y＝，則sin y－cos2x的最大值為________． [嘗試解答]

40、

41、 [錯因]　本題易將sin y－cos2x轉化為－cos2x＝sin2x－sin x－，誤認為sin x∈[－1，1]，致使問題轉化不等價而導致解題錯誤． [正解]　由已知條件有sin y＝－sin x， 且sin y＝∈[－1,1]，結合sin x∈[－1,1]，得－≤sin x≤1， 而sin y－cos2x＝－sin x－cos2x＝sin2x－sin x－， 令t＝sin x， 則原式＝t2－t－＝2－， 因為對稱軸為t＝， 故當t＝－，即sin x＝－時，原式取得最大值. [答案]　 [反思領悟]　在利用換元法解決問題時，要注意換元后自變量取值范圍

42、的變化，當題目條件中出現(xiàn)多個變元時，要注意變元之間的相互約束條件，如本例中易忽視等式sin x＋sin y＝中兩個變量的相互制約，即由于－1≤sin y≤1，所以sin x必需滿足－1≤－sin x≤1這個隱含的約束條件. 問題七 推理論證要嚴謹 [例14]　(20xx·南京師大附中模擬)如圖，正方形ABCD和三角形ACE所在的平面互相垂直，EF∥BD，AB＝EF. (1)求證：BF∥平面ACE； (2)求證：BF⊥BD. [嘗試解答]

43、

44、 [錯因]　本題易失分的原因有以下兩點： (1)推理論證不嚴謹，在使用線面位置關系的判定定理、性質定理時忽視定理的使用條件，如證明BF∥平面ACE時，易忽視指明BF?平面ACE； (2)線面位置關系的證明思路出錯，缺乏轉化意識，不知道要證明線線垂直可以通過線面垂直達到目的． [正解]　(1)設AC與BD交于O點，連接EO. 在正方形ABCD

45、中，BO＝AB，又因為AB＝EF， ∴BO＝EF. 又∵EF∥BD， ∴四邊形EFBO是平行四邊形，∴BF∥EO， 又∵BF?平面ACE，EO?平面ACE， ∴BF∥平面ACE. (2)在正方形ABCD中，AC⊥BD， 又∵正方形ABCD和三角形ACE所在的平面互相垂直，BD?平面ABCD，平面ABCD∩平面ACE＝AC， ∴BD⊥平面ACE. ∵EO?平面ACE，∴BD⊥EO. ∵EO∥BF，∴BF⊥BD. [反思領悟]　證明空間線面位置關系的基本思想是轉化與化歸，根據(jù)線面平行、垂直關系的判定和性質，進行相互之間的轉化，如本題第(2)問是證明線線垂直，但分析問題時不能只

46、局限在線上，要把相關的線歸結到某個平面上(或是把與這些線平行的直線歸結到某個平面上)，通過證明線面的垂直達到證明線線垂直的目的，但證明線面垂直又要借助于線線垂直，在不斷的相互轉化中達到最終目的．解決這類問題時要注意推理嚴謹，使用定理時要找足條件，書寫規(guī)范等． [例15]　已知點A(x1，ax1)，B(x2，ax2) 是函數(shù)y＝ax(a>1)的圖像上任意不同兩點，依據(jù)圖像，可知線段AB總是位于A，B兩點之間函數(shù)圖像的上方，因此有結論>a成立．運用類比思想，可知若點C(x1，sin x1)，D(x2，sin x2)是函數(shù)y＝sin x(x∈(0，π))的圖像上的不同兩點，則類似地有_

47、___________成立． [嘗試解答]

48、 [錯因]　本題通過類比推理，易得“>sin”的錯誤結論，其錯誤的原因是類比推理不嚴謹，未真正讀懂題意，未能把握兩曲線之間相似的性質，導致得出錯誤結論． [正解]　運用類比推理與數(shù)形結合，可知y＝sin x(x∈(0，π))的圖像是上凸，因此線段CD的中點的縱坐標總是小于函數(shù)y＝sin x(x∈(0，π))圖像上的點的縱坐標，即<sin成立． [答案]　<sin [反思領悟]　類比推理是從特殊到特殊的推理，求解有關類比推理題時，應找出兩類事物之間的相似性和一致性，用一類事物的性

49、質去推測另一類事物的性質，得出一個明確的命題．類比推理的關鍵是找到合適的類比對象，否則就失去了類比的意義. 問題八 運算過程要合理 [例16]　在△ABC中，角A、B、C所對的邊分別為a、b、c，且a＝1，c＝. (1)若角C＝，則角A＝________； (2)若角A＝，則b＝________. [嘗試解答]

50、

51、 [錯因]　在用正弦定理解三角形時，易出現(xiàn)丟解或多解的錯誤，如第(1)問中沒有考慮c邊比a邊大，在求得sin A＝＝后，得出角A＝或；在第(2)問中又因為沒有考慮角C有兩解，由sin C＝＝，只得出角C＝，所以角B＝，解得b＝2，這樣就出現(xiàn)了丟解的錯誤． [正解]　(1)由正弦定理＝，得sin A＝＝，又a<c，∴A<C，∴A＝. (2)由＝，得sin C＝＝，得C＝或. 當C＝時，B＝，可得b＝2； 當C＝時，B＝，此時得b＝1. [答案]　(1)　(2)2或1

52、 [反思領悟]　已知兩邊及其中一邊的對角解三角形時，注意要對解的情況進行討論，討論的根據(jù)：一是所求的正弦值是否大于1，當正弦值小于或等于1時，還應判斷各角之和與180°的關系；二是兩邊的大小關系． [例17]　雙曲線－＝1(a>0，b>0)的兩個焦點為F1、F2，若P為其上一點，且|PF1|＝2|PF2|，則雙曲線離心率的取值范圍為________． [嘗試解答]

53、

54、 [錯因]　本題容易因忽視特殊情況而出錯．因為當點P在右頂點處，∠F1PF2＝π，所以0<∠F1PF2≤π.如果忽視特殊情況，就會出現(xiàn)0<∠F1PF2<π的錯誤． [正解]　如圖所示，設|PF2|＝m，∠F1PF2＝θ(0<θ≤π)，當點P在右頂點處時，θ＝π. 由條件，得|PF1|＝2m，|F1F2|2＝m2＋(2m)2－4m2cos θ，且||PF1|－|PF2||＝m＝2a. 所以e＝ ＝ ＝. 又－1≤cos θ<1，所以e∈(1,3]． [答案]　(1,3] [反思領悟]　本題在求解中稍不注意，就會出現(xiàn)漏掉特殊情況的錯誤．在平時的訓練中應該加強對解題的監(jiān)控，注意多研究問題的各種情況，以形成全面思考，周密答題的良好習慣．這對考生來說，是非常重要的．