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課時訓練06 組合的應用
(限時：10分鐘)
1．樓道里有12盞燈，為了節(jié)約用電，需關掉3盞不相鄰的燈，則關燈方案有( )
A．72種 B．84種
C．120種 D．168種
答案：C
2．今有甲、乙、丙三項任務，甲需2人承擔，乙、丙各需1人承擔，現(xiàn)從10人中選派4人承擔這三項任務，不同的選派方法有( )
A．1 260種 B．2 025種
C．2 520種 D．5 054種
答案：C
3．甲、乙兩人從4門課程中各選修2門，則甲、乙所選的課程中恰有1門相同的選法有( )
A．6種 B．12種
C．24種
2、 D．30種
答案：C
4．某科技小組有女同學2名、男同學x名，現(xiàn)從中選出3名去參加展覽．若恰有1名女生入選時的不同選法有20種，則該科技小組中男生的人數(shù)為__________．
答案：5
5．課外活動小組共13人，其中男生8人，女生5人，并且男、女生各指定一名隊長，現(xiàn)從中選5人主持某種活動，依下列條件各有多少種選法？
(1)只有1名女生當選．
(2)兩名隊長當選．
(3)至少有1名隊長當選．
(4)至多有2名女生當選．
(5)既要有隊長，又要有女生當選．
解析：(1)1名女生，4名男生，
故共有CC＝350(種)．
(2)將兩名隊長作為一類，其他11人作為一類，故共有
3、CC＝165(種)．
(3)方法一：至少有1名隊長含有兩類：只有1名隊長；2名隊長，故共有選法CC＋CC＝825(種)．
方法二：采用間接法共有C－C＝825(種)．
(4)至多有2名女生含有三類：有2名女生；只有1名女生；沒有女生．
故選法共有CC＋CC＋C＝966(種)．
(5)分類：第1類，女隊長當選：C種；第2類，女隊長不當選：CC＋CC＋CC＋C種．故選法共有C＋CC＋CC＋CC＋C＝790(種)．
(限時：30分鐘)
一、選擇題
1．若將9名會員分成三組討論問題，每組3人，共有不同的分組方法種數(shù)為( )
A．CC B．AA
C. D．AAC
4、答案：C
2．如圖所示，使電路接通，開關不同的開閉方式有( )
A．11種 B．20種
C．21種 D．12種
答案：C
3．4名同學到某景點旅游，該景點有4條路線可供游覽，其中恰有1條路線沒有被這4個同學中的任何1人游覽的情況有( )
A．36種 B．72種
C．81種 D．144種
答案：D
4．用0,1，…，9十個數(shù)字，可以組成有重復數(shù)字的三位數(shù)的個數(shù)為( )
A．243 B．252
C．261 D．279
答案：B
5．用數(shù)字0,1,2,3組成數(shù)字可以重復的四位數(shù)，其中有且只有一個數(shù)字出現(xiàn)兩次的四位數(shù)的個數(shù)為( )
A．144 B．
5、120
C．108 D．72
解析：若四位數(shù)中不含0，則有CCA＝36(種)；若四位數(shù)中含有一個0，則有CCCC＝54(種)；若四位數(shù)中含有兩個0，則有CA＝18(種)，所以共有36＋54＋18＝108(種)．
答案：C
二、填空題
6．以一個長方體的頂點為頂點的四棱錐共有__________個．
解析：長方體有8個頂點，任取5個頂點的組合數(shù)為C＝56(個)．
答案：56
7．男女生共8人，從中任選3人，出現(xiàn)2個男生，1個女生的概率為，則其中女生人數(shù)是________．
解析：男女生共8人，從中任選3人，總的方法數(shù)是C＝56，而出現(xiàn)2個男生，1個女生的概率是，所以，男女生共
6、8人，從中任選3人，出現(xiàn)2個男生，1個女生的方法數(shù)是30，設女生有x人，則CC＝30，＝30，x(8－x)(7－x)＝265＝354，所以，女生有2人或3人．
答案：2或3
8．將A，B，C，D，E，F(xiàn)六個字母排成一排，且A，B均在C的同側(cè)，則不同的排法共有__________種(用數(shù)字作答)．
解析：分兩步：(1)任意選3個空排A，B，C，共有CAA種排法；
(2)再排其余3個字母，共有A種排法；所以一共有CAAA＝480(種)排法．
答案：480
三、解答題
9．現(xiàn)有10個保送上大學的名額，分配給7所學校，每校至少有1個名額，問名額分配的方法共有多少種？
解析：解法一：每個
7、學校有一個名額，則分出去7個，還剩3個名額分到7所學校的方法種數(shù)就是要求的分配方法種數(shù)．
分類：若3個名額分到一所學校有C種方法；若分配到2所學校有C2＝42(種)方法；若分配到3所學校有C＝35(種)方法．所以共有7＋42＋35＝84(種)方法．
解法二：10個元素之間有9個間隔，要求分成7份，相當于用6塊擋板插在9個間隔中，共有C＝84(種)不同分法．
10．有4個不同的球，四個不同的盒子，把球全部放入盒內(nèi)．
(1)共有多少種放法？
(2)恰有一個盒子不放球，有多少種放法？
(3)恰有一個盒內(nèi)放2個球，有多少種放法？
(4)恰有兩個盒不放球，有多少種放法？
解析：(1)一個
8、球一個球地放到盒子里去，每只球都可有4種獨立放法，由分步乘法計數(shù)原理，放法共有：44＝256(種)．
(2)為保證“恰有一個盒子不放球”，先從四個盒子中任意拿出去1個，有C種，再將4個球分成2,1,1的三組，有C種分法；然后再從三個盒子中選一個放兩個球，其余兩個球，兩個盒子，全排列即可．由分步乘法計數(shù)原理，共有放法：CCCA＝144(種)．
(3)“恰有一個盒內(nèi)放2個球”，即另外三個盒子中恰有一個空盒．因此“恰有一個盒內(nèi)放2球”與“恰有一個盒子不放球”是一回事，故也有144種放法．
(4)從先四個盒子中任意拿走兩個有C種，問題轉(zhuǎn)化為：“4個球，兩個盒子，每盒必放球，有幾種放法？”從放球數(shù)
9、目看，可分為(3,1)，(2,2)兩類．第一類：可從4個球中先選3個，然后放入指定的一個盒子中即可，有CC(種)放法；第二類：有C種放法．因此共有CC＋C＝14(種)．由分步乘法計數(shù)原理得“恰有兩個盒子不放球”的放法有：C14＝84(種)．
11．現(xiàn)有5位同學準備一起做一項游戲，他們的身高各不相同．現(xiàn)在要從他們5個人當中選出若干人組成A，B兩個小組，每個小組都至少有1人，并且要求B組中最矮的那個同學的身高要比A組中最高的那個同學還要高．則不同的選法共有多少種？
解析：給5位同學按身高的不同由矮到高分別編號為1,2,3,4,5，組成集合M＝{1,2,3,4,5}．
①若小組A中最高者為1，
10、則能使B中最矮者高于A中最高者的小組B是{2,3,4,5}的非空子集，這樣的子集有C＋C＋C＋C＝24－1＝15(個)，所以不同的選法有15種；
②若A中最高者為2，則這樣的小組A有2個：{2}，{1,2}，能使B中最矮者高于A中最高者的小組B是{3,4,5}的非空子集，這樣的子集(小組B)有23－1＝7(個)，所以不同的選法有27＝14(種)；
③若A中最高者為3，則這樣的小組A有4個：{3}，{1,3}，{2,3}，{1,2,3}，能使B中最矮者高于A中最高者的小組B是{4,5}的非空子集，這樣的子集(小組B)有22－1＝3(個)，所以不同的選法有43＝12(種)；
④若A中最高者為4，則這樣的小組A有8個：{4}，{1,4}，{2,4}，{3,4}，{1,2,4}，{1,3,4}，{2,3,4}，{1,2,3,4}，能使B中最矮者高于A中最高者的小組B只有{5}1個，所以不同的選法有8種．
綜上，所以不同的選法有15＋14＋12＋8＝49(種)．
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