《高考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)：第五章 ：第三節(jié) 等比數(shù)列及其前n項(xiàng)和回扣主干知識(shí)提升學(xué)科素養(yǎng)》由會(huì)員分享，可在線閱讀，更多相關(guān)《高考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)：第五章 ：第三節(jié) 等比數(shù)列及其前n項(xiàng)和回扣主干知識(shí)提升學(xué)科素養(yǎng)（4頁(yè)珍藏版）》請(qǐng)?jiān)谘b配圖網(wǎng)上搜索。
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第三節(jié) 等比數(shù)列及其前n項(xiàng)和
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1．理解等比數(shù)列的概念．
2．掌握等比數(shù)列的通項(xiàng)公式與前n項(xiàng)和公式．
3．能在具體的問(wèn)題情境中識(shí)別數(shù)列的等比關(guān)系，并能用有關(guān)知識(shí)解決相應(yīng)的問(wèn)題．[來(lái)源:]
4．了解等比數(shù)列與指數(shù)函數(shù)的關(guān)系．
1．等比數(shù)列的相關(guān)概念
(1)定義：一般地，如果一個(gè)數(shù)列從第2項(xiàng)起，每一項(xiàng)與它的前一項(xiàng)的比等于同一常數(shù)，那么這個(gè)數(shù)列叫做等比數(shù)列．
(2)公比：指定義中的“同一常數(shù)”，通常用字母q(q≠0)表示．
(3)定義的符號(hào)表示：＝q(q是常數(shù)且q≠0，n∈N*)，或＝q(n≥2，n∈N*
2、，q為常數(shù)且q≠0)．
2．等比數(shù)列的通項(xiàng)公式及其推廣
(1)等比數(shù)列的通項(xiàng)公式[來(lái)源:]
設(shè)等比數(shù)列{an}的首項(xiàng)為a1，公比為q，q≠0，則它的通項(xiàng)公式an＝a1qn－1.
(2)通項(xiàng)公式的推廣
an＝amqn－m.
3．等比中項(xiàng)
如果三個(gè)數(shù)a，G，b成等比數(shù)列，則G叫做a和b的等比中項(xiàng)，那么＝，即G2＝ab.
4．等比數(shù)列的前n項(xiàng)和公式
等比數(shù)列{an}的首項(xiàng)為a1，公比為q(q≠0)，其前n項(xiàng)和為Sn，當(dāng)q＝1時(shí)，Sn＝na1；當(dāng)q≠1時(shí)，Sn＝＝.
5．等比數(shù)列的性質(zhì)
(1)對(duì)任意的正整數(shù)m，n，p，q，若m＋n＝p＋q，則aman＝apaq.
特別地，若m＋
3、n＝2p，則aman＝a.
(2)若等比數(shù)列前n項(xiàng)和為Sn，則Sm，S2m－Sm，S3m－S2m仍成等比數(shù)列，即(S2m－Sm)2＝Sm(S3m－S2m)(m∈N*，公比q≠－1)．
(3)數(shù)列{an}是等比數(shù)列，則數(shù)列{pan}(p≠0，p是常數(shù))也是等比數(shù)列．
(4)在等比數(shù)列{an}中，等距離取出若干項(xiàng)也構(gòu)成一個(gè)等比數(shù)列，即an，an＋k，an＋2k，an＋3k，…為等比數(shù)列，公比為qk.
1．b2＝ac是a，b，c成等比數(shù)列的充要條件嗎？
提示：不是．b2＝ac是a，b，c成等比數(shù)列的必要不充分條件，因?yàn)楫?dāng)b＝0，a，c至少有一個(gè)為零時(shí)，b2＝ac成立，但a，b，c不成等
4、比數(shù)列；若a，b，c成等比數(shù)列，則必有b2＝ac.[來(lái)源:]
2．若a≠0，則數(shù)列a，a2，a3，…，an，…的前n項(xiàng)和為Sn＝嗎？
提示：不一定．當(dāng)a＝1時(shí)，Sn＝na1＝n；當(dāng)a≠1時(shí)，Sn＝.
1．(2013江西高考)等比數(shù)列x,3x＋3,6x＋6，…的第四項(xiàng)等于( )
A．－24 B．0 C．12 D．24
解析：選A 由x,3x＋3,6x＋6成等比數(shù)列，知(3x＋3)2＝x(6x＋6)，解得x＝－3或x＝－1(舍去)．所以此等比數(shù)列的前三項(xiàng)為－3，－6，－12.故第四項(xiàng)為－24.
2．已知{an}是等比數(shù)列，a2＝2，
5、a5＝，則公比q等于( )
A．－ B．－2 C．2 D.
解析：選D ∵a2＝2，a5＝，∴＝＝＝q3，∴q＝.
3．在等比數(shù)列{an}中，已知a7a12＝5，則a8a9a10a11＝( )
A．10 B．25 C．50 D．75
解析：選B ∵a7a12＝5，∴a8a9a10a11＝(a8a11)(a9a10)＝(a7a12)2＝25.[來(lái)源:]
4．已知等比數(shù)列的前n項(xiàng)和Sn＝4n＋a，則a＝________.
解析：當(dāng)n＝1時(shí)，a1＝S1＝4＋a，當(dāng)n≥2時(shí)，an＝Sn－Sn－1
6、＝(4n＋a)－(4n－1＋a)＝4n－4n－1＝34n－1.
又∵該數(shù)列為等比數(shù)列，∴4＋a＝340，即a＝－1.
答案：－1
5．設(shè)Sn為等比數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和，8a2＋a5＝0，則＝________.
解析：∵8a2＋a5＝0，∴8a2＝－a5，即＝－8.
∴q3＝－8，∴q＝－2.
∴＝＝＝＝－11.
答案：－11
數(shù)學(xué)思想(八)
分類討論思想在等比數(shù)列中的應(yīng)用
分類討論思想在等比數(shù)列中應(yīng)用較多，常見(jiàn)的分類討論有：
(1)已知Sn與an的關(guān)系，要分n＝1，n≥2兩種情況．
(2)等比數(shù)列中遇到求和問(wèn)題要分公比q＝1，q≠1討論．
(3)項(xiàng)數(shù)的奇、
7、偶數(shù)討論．
(4)等比數(shù)列的單調(diào)性的判斷注意與a1，q的取值的討論．
[典例] (2013天津高考)已知首項(xiàng)為的等比數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn(n∈N*)，且－2S2，S3,4S4成等差數(shù)列．
(1)求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式；
(2)證明Sn＋≤(n∈N*)．[來(lái)源:]
[解題指導(dǎo)] (1)利用等差數(shù)列的性質(zhì)求出等比數(shù)列的公比，寫(xiě)出通項(xiàng)公式；
(2)求出前n項(xiàng)和，根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性證明．
[解] (1)設(shè)等比數(shù)列{an}的公比為q，因?yàn)椋?S2，S3,4S4成等差數(shù)列，所以S3＋2S2＝4S4－S3，即S4－S3＝S2－S4，可得2a4＝－a3，于是q＝＝－.
又a1＝，所以等
8、比數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式為an＝n－1＝(－1)n－1.
(2)證明：Sn＝1－n，
Sn＋＝1－n＋
＝
當(dāng)n為奇數(shù)時(shí)，Sn＋隨n的增大而減小，
所以Sn＋≤S1＋＝.
當(dāng)n為偶數(shù)時(shí)，Sn＋隨n的增大而減小，
所以Sn＋≤S2＋＝.
故對(duì)于n∈N*，有Sn＋≤.
[題后悟道] 1.數(shù)列與函數(shù)有密切的聯(lián)系，證明與數(shù)列有關(guān)的不等式，一般是求數(shù)列中的最大項(xiàng)或最小項(xiàng)，可以利用圖象或者數(shù)列的增減性求解，同時(shí)注意數(shù)列的增減性與函數(shù)單調(diào)性的區(qū)別．
2．本題易忽視對(duì)n的分類討論，導(dǎo)致問(wèn)題無(wú)法證明或證明過(guò)程錯(cuò)誤．
已知數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和Sn＝an－1(a≠0)，則{an}( )
A．一定是等差數(shù)列
B．一定是等比數(shù)列
C．或者是等差數(shù)列，或者是等比數(shù)列
D．既不可能是等差數(shù)列，也不可能是等比數(shù)列
解析：選C ∵Sn＝an－1(a≠0)，
∴an＝
即an＝
當(dāng)a＝1時(shí)，an＝0，數(shù)列{an}是一個(gè)常數(shù)列，也是等差數(shù)列；當(dāng)a≠1時(shí)，數(shù)列{an}是一個(gè)等比數(shù)列．
高考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)精品
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高考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)：第五章 ：第三節(jié) 等比數(shù)列及其前n項(xiàng)和回扣主干知識(shí)提升學(xué)科素養(yǎng)
