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第二節(jié) 空間幾何體的表面積和體積
[全盤鞏固]
1．設(shè)一個(gè)球的表面積為S1，它的內(nèi)接正方體的表面積為S2，則的值等于( )
A. B. C. D.
解析：選D 設(shè)球的半徑為R，其內(nèi)接正方體的棱長為a，則易知R2＝a2，即a＝R，則＝＝.
2．某幾何體的三視圖如圖所示，則該幾何體的體積是( )
A. B. C. D．1
解析：選B 根據(jù)該三視圖可知，該幾何體是三棱錐，V＝2＝.
3．已知某幾何體的三視圖如圖
2、所示，其中正視圖中半圓的半徑為1，則該幾何體的體積為( )
A．24－ B．24－ C．24－π D．24－
解析：選A 據(jù)三視圖可得該幾何體為一長方體內(nèi)挖去一個(gè)半圓柱，其中長方體的棱長分別為：2,3,4，半圓柱的底面半徑為1，母線長為3，故其體積V＝234－π123＝24－.
4．某品牌香水瓶的三視圖如下(單位：cm)，則該幾何體的表面積為( )
A.cm2 B.cm2
C.cm2 D.cm2
解析：選C 該幾何體的上下部分為長方體，中間部分為圓柱．S表面積＝S下長方體＋S上
3、長方體＋S圓柱側(cè)－2S圓柱底＝244＋442＋233＋431＋2π1－2π2＝94＋.
5．一個(gè)球與一個(gè)正三棱柱的三個(gè)側(cè)面和兩個(gè)底面都相切，已知這個(gè)球的體積是，那么這個(gè)三棱柱的體積是( )
A．96 B．16 C．24 D．48
解析：
選D 如圖設(shè)球的半徑R，
由πR3＝π，得R＝2.
∴正三棱柱的高h(yuǎn)＝4.
設(shè)其底面邊長為a，則a＝2，
∴a＝4.
∴V＝(4)24＝48.
6．如圖是一個(gè)幾何體的三視圖，根據(jù)圖中的數(shù)據(jù)(單位：cm)，可知此幾何體的表面積是( )
A．24 cm2
4、B. cm2
C．(6＋2＋2)cm2 D．(24＋8＋8)cm2
解析：
選D 如圖所示，依題意可知四棱錐PABCD是此幾何體的直觀圖，在四棱錐P ABCD中，平面PAB與底面ABCD垂直，底面ABCD是正方形，△PAD≌△PBC，△PAB是等腰三角形，設(shè)M是AB的中點(diǎn)，N是CD的中點(diǎn)，連接PM、PN、MN，由題知PM＝AB＝4，MN＝4，則PN＝4，故此幾何體的表面積為S＝S正方形ABCD＋S△PAB＋2S△PBC＋S△PCD＝44＋44＋242＋44＝(24＋8＋8)cm2.
7．(2013新課標(biāo)全國卷Ⅰ)已知H是球O的直徑AB上一點(diǎn)，AH∶HB＝1∶2，AB
5、⊥平面α，H為垂足，α截球O所得截面的面積為π，則球O的表面積為________．
解析：如圖所示，設(shè)截面小圓的半徑為r，球的半徑為R，因?yàn)锳H∶HB＝1∶2，所以O(shè)H＝R.
由勾股定理，有R2＝r2＋OH2，又由題意得πr2＝π，
則r＝1，故R2＝1＋2，即R2＝.
由球的表面積公式，得S＝4πR2＝.
答案：
8．(2014杭州模擬)一個(gè)空間幾何體的三視圖如圖所示，則該幾何體的表面積為____________．
解析：據(jù)三視圖可知該幾何體為四棱錐，其中底面為正方形，對(duì)角線長為10，四棱錐的高為5，故側(cè)面高為h′＝＝，因此表面積S＝45＋1010＝50(1＋)．
答
6、案：50(1＋)
9．一個(gè)幾何體的三視圖如圖所示，其中的長度單位為cm，則該幾何體的體積為________cm3.
解析：由三視圖可知，該幾何體是底面為直角梯形的直四棱柱，底面直角梯形的上底為4 cm，下底為5 cm，高為3 cm，四棱柱的高為4 cm，所以該幾何體的體積為34＝54 cm3.
答案：54
10.如圖所示，已知E、F分別是棱長為a的正方體ABCDA1B1C1D1的棱A1A、CC1的中點(diǎn)，求四棱錐C1B1EDF的體積．
解：連接EF，B1D.
設(shè)B1到平面C1EF的距離為h1，D到平面C1EF的距離為h2，則h1＋h2＝B1D1＝a.
由題意得，
VC1B
7、1EDF＝VB1C1EF＋VDC1EF＝S△C1EF(h1＋h2)＝a3.
11．一個(gè)幾何體的三視圖如圖所示．已知正視圖是底邊長為1的平行四邊形，側(cè)視圖是一個(gè)長為，寬為1的矩形，俯視圖為兩個(gè)邊長為1的正方形拼成的矩形．
(1)求該幾何體的體積V；
(2)求該幾何體的表面積S.[來源:數(shù)理化網(wǎng)]
解：
(1)由三視圖可知，該幾何體是一個(gè)平行六面體(如圖)，其底面是邊長為1的正方形，高為.
所以V＝11＝.
(2)由三視圖可知，該平行六面體中，A1D⊥平面ABCD，CD⊥平面BCC1B1，所以AA1＝2，側(cè)面ABB1A1，CDD1C1均為矩形，
所以S＝2(11＋1＋12)
8、＝6＋2.
12.如圖，在平行四邊形ABCD中，BC＝2，BD⊥CD，四邊形ADEF為正方形，平面ADEF⊥平面ABCD.記CD＝x，V(x)表示四棱錐FABCD的體積．[來源:]
(1)求V(x)的表達(dá)式．
(2)求V(x)的最大值．
解：(1)∵平面ADEF⊥平面ABCD，交線為AD且FA⊥AD，
∴FA⊥平面ABCD.
∵BD⊥CD，BC＝2，CD＝x，
∴FA＝2，BD＝(0
9、V(x)取得最大值，且V(x)max＝.
[沖擊名校]
1．已知三棱錐SABC的所有頂點(diǎn)都在球O的球面上，△ABC是邊長為1的正三角形，SC為球O的直徑，且SC＝2，則此棱錐的體積為( )
A. B. C. D.
解析：選A 由于三棱錐SABC與三棱錐OABC的底面都是△ABC，O是SC的中點(diǎn)，因此三棱錐SABC的高是三棱錐OABC高的2倍．所以三棱錐SABC的體積也是三棱錐OABC體積的2倍．
在三棱錐OABC中，其棱長都是1，如圖所示，
S△ABC＝AB2＝，高OD＝＝，
故VSABC＝2VOABC＝2＝.
2.如圖所
10、示，動(dòng)點(diǎn)P在正方體ABCDA1B1C1D1的對(duì)角線BD1上．過點(diǎn)P作垂直于平面BB1D1D的直線，與正方體表面相交于M，N兩點(diǎn)．設(shè)BP＝x，MN＝y(tǒng)，則函數(shù)y＝f(x)的圖象大致是( )
解析：選B 顯然，只有當(dāng)P移動(dòng)到中心O時(shí)，MN有唯一的最大值，排除選項(xiàng)A、C；P點(diǎn)移動(dòng)時(shí)，取AA1的中點(diǎn)E，CC1的中點(diǎn)Q，平面D1EBQ垂直于平面BB1D1D，且M、N兩點(diǎn)在菱形D1EBQ的邊界上運(yùn)動(dòng)，故x與y的關(guān)系應(yīng)該是線性的，排除選項(xiàng)D，選B.
[高頻滾動(dòng)]
1．將長方體截去一個(gè)四棱錐，得到的幾何體如圖所示，則該幾何體的側(cè)視圖為( )[來源:數(shù)理化網(wǎng)]
[來源:]
解析：選C 側(cè)視圖是從圖形的左邊向右邊看，看到一個(gè)矩形的面，在面上有一條對(duì)角線，對(duì)角線是左下角與右上角的連線，故選C.
2．如圖所示，在四棱錐PABCD中，底面ABCD為正方形，PC與底面垂直．若該四棱錐的正視圖和側(cè)視圖都是腰長為1的等腰直角三角形，則該四棱錐中最長的棱的長度為( )
A．1 B. C. D．2
解析：選C 在四棱錐PABCD中，連接AC，由正視圖和側(cè)視圖可得PC＝BC＝CD＝1，故AC＝，最長的棱為PA＝＝.
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