【贏在高考】2013屆高考物理一輪配套練習(xí)8.7雙曲線理蘇教版

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1、第七節(jié)雙曲線 x2 y2 1 .已知雙曲線 與-―\=1(b >0)的左、右焦點(diǎn)分別是F「F2 .其中一條漸近線方程為 y=x 2 b2 ，點(diǎn)P(J3.y0)在雙曲線上，則石荒石工等于() A.-12 B.-2 C.0 D.4 答案:C 解析：由漸近線方程為y=x知雙曲線是等軸雙曲線，雙曲線方程是 x2 - y2 = 2 .于是兩焦點(diǎn)坐 標(biāo) 分別是(-2,0) 和(2,0), 且 P(J3.1)或 P(J3,—1).不妨設(shè) P(3 .1 則 PF1 =(-2-,;3.-1) PF2 =(2-\3「1). ??? PF1 PF2 =(-2 - ,3 .-1) (2 - ,3 .

2、-1) = -(2 ,3)(2 - . 3) 1=0. 2 2.設(shè)雙曲線x- a2 等于…() A. .3 c. .5 答案:C y2 b2 = 1(a>0.b>0)的漸近線與拋物線 y = x2 +1相切，則該雙曲線的離心率 B.2 D」6 用心愛(ài)心專心 7 2 y2 解析：由題可知雙曲線 x--y-=1(a >0.b>0)的一條漸近線方程為 y =號(hào).代入拋物線方程整 a2 b2 理得 ax2 — hx-cL-O,因漸近線與拋物線相切 ，所以b2 — 4a2 =0 .即c2 =5a2u e= J5. 故選C. 3.已知雙曲線x2-y- =1的離心率

3、為2,焦點(diǎn)與橢圓 V2 + % =1的焦點(diǎn)相同，那么雙曲線的 2 2 25 9 a b 焦點(diǎn)坐標(biāo)為，漸近線方程為 — 答案：(_4 0) 、,3x_y=0 2 2 解析：橢圓 黑=1的焦點(diǎn)坐標(biāo)為(4 0) .所以雙曲線的焦點(diǎn)坐標(biāo)為 (4.0).在雙曲線 25 9 x2 y2 x- --- =1 中,c=4,e=2, a2 b2 _ ??. a =2 b =2、3 . ??.漸近線方程為 3x-y = 0. 2 2 _ 4.直線l:ax-y-1=0 與雙曲線C：x -2y =1相交于點(diǎn)P、Q. (1)當(dāng)實(shí)數(shù)a為何值時(shí)，|PQ| =2\/1+a2 ； (2)是否存在

4、實(shí)數(shù)a,使得以P勤直徑的圓經(jīng)過(guò)坐標(biāo)原點(diǎn) ？若存在，求出a的值；若不存在，說(shuō)明 理由I 解：設(shè) P(x1 ,y1) ,Q(x2 ,y2) . ax - y T = 0 2 2 x -2y =1 2 2 得(1 -2a )x 4ax-3-0. 從而 x1 x2 - x x1x2 = q 2a2 -1 2a2 -1 |PQ| = 1 a、(x1 x2) —4x1x2 = 2 1a2 . 4a )2 -4x-3一 =4.整理得：2a4 — a2 —1=0，解得 a2 =1. 2a2 -1 2a2 -1 即a-I 2 ，、, (2) y1y2 =(ax[「

5、1)(ax2 -1) = a x1x2 f a(x1 x2) 1 3a2 2a2 —1 2a2 —] 由題意得OP _OQ, ?? /x2 y〔y2 =0 即一3一 . a2」 2a2 -1 2a2 -1 4aL 1= a2-1 2 a2 -1 =0= a2 = -2(舍去).故不存在. 見(jiàn)課后作業(yè)B 1. A. C. 題組一雙曲線的離心率 下列曲線中離心率為手的是() 必上=1 2 4 居上二1 4 6 B. D. x2 4 x2 ~4 2 匕=1 2 y2 匕=1 10 答案:B 解析：由e =46 2 b2 =3 2.過(guò)

6、雙曲線居 a2 a 2 y b2 a2 2 a2 2 .選B. =1(a >0.b>0)的右頂點(diǎn)A乍斜率為-1的直線,該直線與雙曲線的兩條漸近 線的交點(diǎn)分別為B,C.若AB =2 BC ,則雙曲線的離心 率是() A. 2 答案：C 解析：對(duì) a2 B(廣 a b B. \3 c」5 D. .. 10 于A(a,0),則直線方程為x+y-a=0,直線與兩漸近線的交點(diǎn)為 忠)? Ceb ?-雪)?則有 BC ( 2a2b— 」a2 二b2 a 77t K 2 ? -2 AB =BC , 4a2 2a2b 2—b2 =b21 )AB 二 (一居 3.

7、設(shè)Fi和F2為雙曲線 a2 b2 = 1(a>0.b>0)的兩個(gè)焦點(diǎn)，若Fi尸2 .P(0 .2b)是正三角形的三 個(gè)頂點(diǎn)，則雙曲線的離心率為() A. 3 B.2 C. 5 D.3 2 2 答案:B 解析：由tan 鼻=裊=更得3c2 =4b2 =4(c2 —a2),則 e =c = 2.故選 B. 6 2b 3 a 2 V2 —

8、4.設(shè)雙曲線 %—、=1代>0/>0)的虛軸長(zhǎng)為2,焦距為2J3.則雙曲線的漸近線方程為 a2 b2 () D. y = - x 了 2 A. y = 2x B. y = 2x cy = —g 答案：c 解析：由已知得到b=-c = J3.a= Jc2 — b2 =J2 .因?yàn)殡p曲線的焦點(diǎn)在 x軸上，故漸近線方程 為丫= _bx = -T2x. a 2 2 2 5.若雙曲線 口―=1(b A0)的漸近線方程為丫=-*孤心等于 . 4 b2 2 答案：1 2 y2 解析：橢圓x「J = 1的漸近線方程為y = b x .又漸近線方程為 y = - x.故b=i.

9、 4 .2 2 2 b 6.已知雙曲線x2 a2 y = J3x.它的一個(gè)焦點(diǎn)在拋物線 題組二雙曲線的綜合應(yīng)用 I =1(a > 0.b>0)的一條漸近線方程是 b2 y2 =24x的準(zhǔn)線上，則雙曲線的方程為() A.是上=1 36 108 B. C. 108 36 答案:B D. x2 9 x2 27 y2 27 上 9 二1 二1 解析：二?雙曲線 x2 a2 與?)的漸近線方程為 b2 y=N b =幣.① a ?.?拋物線y2=24x的準(zhǔn)線方程為x=-6, -c=-6. ② p 2 2 . 2 又c = a +b

10、 . ③ 由①②③得a = 3b = 3、3. , a 二 9 b = 27 . ??.雙曲線方程為正-/ 9 7.方程 x2 +(k -1)y2 27 =1. = k+1表示焦點(diǎn)在x軸上的雙曲線 ,則k的取值范圍是 答案:-1

11、= 答案：b2 2 2 _ 9.已知雙曲線 x--^-=1(a>0. b>U)的一條漸近線方程是 y= J3x.它的一個(gè)焦點(diǎn)與拋 a2 b2 物線y2 =16x的焦點(diǎn)相同，則雙曲線的方程為 ^ 答案：x2 _y2 =1 4 12 解析：由條件知雙曲線的焦點(diǎn)為(4,0), a2 b2 =16 . _ 所以h 「 解得a=2b=2j3. b =、.3. ,a 故雙曲線方程為g-[=1. 4 12 10.過(guò)雙曲線C：幺2—]=1(a >0.b>0)的一個(gè)焦點(diǎn)作圓x2+y2 =a2的兩條切線，切點(diǎn)分別為 a b A,B,若/AOB=120 (O是坐標(biāo)原點(diǎn)),則雙曲線C勺離心

12、率為 . 答案：2 解析：??? /AOB=120 = /AOF =60 = ZAFO =30 3 c = 2a .. . e =C = 2 a 11.已知以原點(diǎn)的中心"f(J5。 (1)求雙曲線C的標(biāo)準(zhǔn)方程及其漸近線方程 為右焦點(diǎn)的雙曲線C的離心率e=、5. 2 (2)如圖，已知過(guò)點(diǎn) M(x-y1) 的直線hxx十 4y〔y=4 與過(guò)點(diǎn)N(X2 . y2)(其中 x2 #x1 )的直線i2: x2x了丫2y =.的交點(diǎn)E在雙曲線C上，直線MNf雙曲線的兩條漸近 線分別交于G、H兩點(diǎn).求OG ? OH的值.求^ OGHJ面積.  解:(1)設(shè)C勺標(biāo)準(zhǔn)方程為 由題意c

13、 = J5 .又e = c a x2 y2 xy-2y =1(a >0.b>0),則 a2 b2 =5^ -a2 =1. - y2 =1. __2" 因此 a = 2 b = c2 C勺標(biāo)準(zhǔn)方程為x- 4 C勺漸近線方程為y = 2x .即x-2y=0和x+2y=0. (2)方法一：如圖，由題意點(diǎn)E(xE .yE)在直線l1 ： x)x+4y1y = 4和 l2: x2x + 4y2y = 4 上，因 止匕有 x,xE 4ylyE =4 x2xE - 4y2yE = 4. G A 故點(diǎn)M、N均在直線xEx+4yEy =4上，因此直線MN勺方程為xE

14、x+4yEy = 4. 設(shè)G、H分別是直線MN與漸近線x-2y = 0及x+2y =0的交點(diǎn). 由方程組［xEx+4yEy = 4?及 x-2y =0 xg 二 解得《 Vg 4 xe 2yE 2 xe 2Ve L xH ixEx 4yEy =4 x 2y = 0 - 4 yH = 故 OG OH xE 一2注 -2 xE 一2九 _ 2 12 xE 2yE xe -2yE xE 2yE xE -2yE xE -4y2 因?yàn)辄c(diǎn)E在雙曲線 T 所以O(shè)G OH = x2 2 _ y 4 y 12 2 , xE -4y 2 2 =1

15、 上，有 xe — 4yE =4. 2:3. E 方法二：設(shè)E(xe Je).由方程組 的 4y1 Ve =4 x?xe 4y2Ve -4 4(丫八 一 y.) x fc 解得 xE = 2 1— yE = 1 21 x1y2-x2y1 x1y2 -x2y1 E 七一八 因X2 #X1則直線MN勺斜率k =上——1 x2 — XE 4yE x 故直線MN勺方程為y - y1 = 一―E- (X - X1 ). 4yE 注意到x1xE +4y1yE =4.因此直線MN勺方程為xEx+4yEy=4. 下同方法一. 12.已知斜率為1的 2 y2

16、直線l與雙曲線C：=1(a>0. b>0)相交于b a2 b2 、D兩點(diǎn) gBD的中點(diǎn)為 ⑴求C的離心率； (2)設(shè)C的右頂點(diǎn) M (1 3). 為A,右焦點(diǎn)為 F，|DF| 、B、D三點(diǎn)的圓與x軸相切, 解:(1)由題設(shè)知，1的方程為y=x+2. 代入C勺方程，并化簡(jiǎn)，得 2 2、 2 2 2 2, 2 (b -a )x -4a x -4a -a b =0 設(shè) B(X1 .%)、D(x 2 .y2) . 2 則X1 ”2 =方\ b2 -a2 X1X2 4a2 a2b2 b2-a2 X/ Xc 由M(1,3)為BM中點(diǎn)知 =1 .故 1 2 2

17、 ,2 1 ^40— =1 2 .2 2. b - a 2 2 即b =3a .② 故 c = a2 b2 = 2a 所以C勺離心率e =點(diǎn)=2. (2)由①②知，C的方程為3x2 A(a,0),F (2 a 0) x1 x2 = 2 x1 x2 = 4 3a2 2 <0, 故不妨設(shè) x1 一 -a x2 -a . |BF| = (X1 -2a)2 y； = .(X1 -2a)2 3x2 -3a2 =a-2x1. |FD| =.(x2 -2a)2 y| 二,(x2 -2a)2 3x| -3a2 =2x2 - a. |BF| |FD| =(a -2X1)(2X2 - a) 2 --4x1x2 2a(x1 x2) -a 2 . =5a 4a 8. 又 |DF| |BF|=17, 故 5a2 4a 8 =17 解得a=1或a =_9(舍去). 5 故|BD| = . 2 | %-X21 = 2 . (X1 X2)2 - 4X1X2 = 6 . 連結(jié)MA則由A(1,0),M(1,3) 知|MA|=3,從而MA=MB=M[^ MA _L X軸，因此以 泌圓心，MA為半 徑的圓經(jīng)過(guò)A、B、D三點(diǎn)只在點(diǎn)A處于X軸相切, 所以過(guò)A、B、D三點(diǎn)的圓與X軸相切,