2020數學文高考二輪專題復習與測試：第二部分 專題五第3講 圓錐曲線中的熱點問題 Word版含解析

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1、A 級級基礎通關基礎通關一、選擇題一、選擇題1 (2017全國卷全國卷改編改編)橢圓橢圓 C：x23y2m1 的焦點在的焦點在 x 軸上軸上， 點點 A，B 是長軸的兩端點是長軸的兩端點，若曲線若曲線 C 上存在點上存在點 M 滿足滿足AMB120，則實則實數數m 的取值范圍是的取值范圍是()A(3，)B1，3)C(0， 3)D(0，1解析：解析：依題意，當依題意，當 0m3 時，焦點在時，焦點在 x 軸上，軸上，要在曲線要在曲線 C 上存在點上存在點 M 滿足滿足AMB120，則則abtan 60，即，即3m 3，解得，解得 0m1.答案：答案：D2(2019全國卷全國卷)雙曲線雙曲線 C：

2、x2a2y2b21(a0，b0)的一條漸近的一條漸近線的傾斜角為線的傾斜角為 130，則，則 C 的離心率為的離心率為()A2sin 40B2cos 40C.1sin 50D.1cos 50解析：解析：由題意可得由題意可得batan 130，所以所以 e1b2a2 1tan21301sin2130cos21301|cos 130|1cos 50.答案：答案：D3若點若點 P 為拋物線為拋物線 y2x2上的動點上的動點，F 為拋物線的焦點為拋物線的焦點，則則|PF|的最小值為的最小值為()A2B.12C.14D.18解析：解析：根據題意，拋物線根據題意，拋物線 y2x2上，設上，設 P 到準線的

3、距離為到準線的距離為 d，則，則有有|PF|d， 拋物線的方程為拋物線的方程為 y2x2， 即即 x212y， 其準線方程為其準線方程為 y18，所以當點所以當點 P 在拋物線的頂點時，在拋物線的頂點時，d 有最小值有最小值18，即，即|PF|min18.答案：答案：D4(2019天津卷天津卷)已知拋物線已知拋物線 y24x 的焦點為的焦點為 F，準線為，準線為 l.若若 l 與與雙曲線雙曲線x2a2y2b21(a0，b0)的兩條漸近線分別交于點的兩條漸近線分別交于點 A 和點和點 B，且，且|AB|4|OF|(O 為原點為原點)，則雙曲線的離心率為，則雙曲線的離心率為()A. 2B. 3C2

4、D. 5解析：解析：由已知易得，拋物線由已知易得，拋物線 y24x 的焦點為的焦點為 F(1，0)，準線，準線 l：x1，所以，所以|OF|1.又雙曲線的兩條漸近線的方程為又雙曲線的兩條漸近線的方程為 ybax，不妨設點，不妨設點 A1，ba ，B1，ba ，所以，所以|AB|2ba4|OF|4，所以，所以ba2，即，即 b2a，所，所以以b24a2.又因為又因為 c2a2b2，所以，所以 c25a2，所以，所以 eca 5.答案：答案：D5(2019安徽六安一中模擬安徽六安一中模擬)點點 P 在橢圓在橢圓 C1：x24y231 上上，C1的的右焦點為右焦點為 F2，點點 Q 在圓在圓 C2：

5、x2y26x8y210 上上，則則|PQ|PF2|的最小值為的最小值為()A4 24B44 2C62 5D2 56解析：解析：設橢圓的左焦點為設橢圓的左焦點為 F1(1，0)則則|PQ|PF2|PQ|(2a|PF1|)|PQ|PF1|4，故要求故要求|PQ|PF2|的最小值即求的最小值即求|PQ|PF1|的最小值的最小值又圓又圓 C2的半徑的半徑 r2，圓心，圓心 C2(3，4)，所以所以(|PQ|PF1|)min|C2F1|r 22（4）222 52.故故|PQ|PF2|的最小值為的最小值為 2 56.答案：答案：D二、填空題二、填空題6已知點已知點(1，2)是雙曲線是雙曲線x2a2y2b2

6、1(a0，b0)上一點，則雙曲上一點，則雙曲線離心率的取值范圍是線離心率的取值范圍是_解析：解析：由已知得由已知得1a24b21，所以，所以b2a2b24，則則 e2ca21b2a25b2，故，故 e 5.答案：答案：( 5，)7 已知拋物線已知拋物線 y24x， 過焦點過焦點 F 的直線與拋物線交于的直線與拋物線交于 A， B 兩點兩點，過過 A，B 分別作分別作 x 軸軸，y 軸垂線軸垂線，垂足分別為垂足分別為 C，D，則則|AC|BD|的最的最小值為小值為_解析：解析：不妨設不妨設 A(x1，y1)(y10)，B(x2，y2)(y20)則則|AC|BD|x2y1y224y1.又又 y1y

7、2p24，所以所以|AC|BD|y2244y2(y20)設設 g(x)x244x，g(x)x382x2，令令 g(x)0，得，得 x2，令令 g(x)0，得，得2x0.所以所以 g(x)在在(，2)上遞減，在上遞減，在(2，0)上遞增上遞增所以當所以當 x2，即，即 y22 時，時，|AC|BD|取最小值為取最小值為 3.答案：答案：38(2019浙江卷浙江卷)已知橢圓已知橢圓x29y251 的左焦點為的左焦點為 F，點，點 P 在橢圓在橢圓上且在上且在 x 軸的上方若線段軸的上方若線段 PF 的中點在以原點的中點在以原點 O 為圓心，為圓心，|OF|為半為半徑的圓上，則直線徑的圓上，則直線

8、PF 的斜率是的斜率是_解析：解析：如圖，左焦點如圖，左焦點 F(2，0)，右焦點，右焦點 F(2，0)線段線段 PF 的中點的中點 M 在以在以 O(0，0)為圓心，為圓心，2 為半徑的圓上，因為半徑的圓上，因此此OM2.在在FFP 中，中，OM12PF，所以所以 PF4.根據橢圓的定義，得根據橢圓的定義，得 PFPF6，所以所以 PF2.又因為又因為 FF4，所以在所以在 RtMFF中，中，tan PFFMFMFFF2MF2MF 15，故直線故直線 PF 的斜率是的斜率是 15.答案：答案： 15三、解答題三、解答題9已知曲線已知曲線 C：y24x，曲線，曲線 M：(x1)2y24(x1)

9、，直線，直線 l與曲線與曲線 C 交于交于 A，B 兩點，兩點，O 為坐標原點為坐標原點(1)若若OAOB4，求證：直線，求證：直線 l 恒過定點；恒過定點；(2)若直線若直線 l 與曲線與曲線 M 相切相切， 求求PAPB(點點 P 坐標為坐標為(1， 0)的最大值的最大值(1)證明：證明：設設 l：xmyn，A(x1，y1)，B(x2，y2)由由xmyn，y24x，得得 y24my4n0.所以所以 y1y24m，y1y24n.所以所以 x1x24m22n，x1x2n2.由由OAOB4，得得 x1x2y1y2n24n4，解得，解得 n2.所以直線所以直線 l 方程為方程為 xmy2，所以直線

10、所以直線 l 恒過定點恒過定點(2，0)(2)解：解：因為直線因為直線 l 與曲線與曲線 M：(x1)2y24(x1)相切，相切，所以所以|1n|1m22，且，且 n3，整理得整理得 4m2n22n3(n3)又點又點 P 坐標為坐標為(1，0)，所以由已知及，所以由已知及，得，得PAPB(x11，y1)(x21，y2)(x11)(x21)y1y2x1x2(x1x2)1y1y2n24m22n14nn24m26n144n.又又 y44n(n3)是減函數，是減函數，所以當所以當 n3 時，時，y44n 取得最大值取得最大值8.故故PAPB的最大值為的最大值為8.10 (2019惠州調研惠州調研)已知

11、橢圓已知橢圓 C：y2a2x2b21(ab0)的離心率為的離心率為12，短軸長為短軸長為 2 3.(1)求橢圓求橢圓 C 的方程；的方程；(2)設過點設過點 A(0，4)的直線的直線 l 與橢圓與橢圓 C 交于交于 M、N 兩點兩點，F 是橢圓是橢圓 C的上焦點問：是否存在直線的上焦點問：是否存在直線 l，使得，使得 SMAFSMNF？若存在，求出？若存在，求出直線直線 l 的方程；若不存在，請說明理由的方程；若不存在，請說明理由解：解：(1)由題意知由題意知ca12，b 3，且，且 a2b2c2，解之得解之得 a24，b23.所以橢圓所以橢圓 C 的方程為的方程為y24x231.(2)存在理

12、由如下：存在理由如下：由題意可知由題意可知 l 的斜率一定存在，的斜率一定存在，設設 l 為為 ykx4，M(x1，y1)，N(x2，y2)，聯(lián)立聯(lián)立ykx4，y24x231，(3k24)x224kx360，所以所以（24k）2144（3k24）0， x1x224k3k24，x1x2363k24，由由 SMAFSMNF，知，知 M 為線段為線段 AN 的中點，的中點，所以所以 x22x1，將將代入代入得得 x18k3k24；代入代入得得 x21183k24.從而可得從而可得 k2365，且滿足，且滿足式，式，所以所以 k6 55.因此存在直線因此存在直線 l 為為 6x 5y4 50 或或 6

13、x 5y4 50 滿足題滿足題意意B 級級能力提升能力提升11在平面直角坐標系在平面直角坐標系 xOy 中中，已知橢圓已知橢圓 C：x2a2y2b21(ab1)過點過點 P(2，1)，且離心率，且離心率 e32.(1)求橢圓求橢圓 C 的方程；的方程；(2)直線直線 l 的斜率為的斜率為12，直線，直線 l 與橢圓與橢圓 C 交于交于 A，B 兩點，求兩點，求PAB面積的最大值面積的最大值解：解：(1)因為因為 e2c2a2a2b2a234，所以，所以 a24b2.又又4a21b21，所以，所以 a28，b22.故所求橢圓故所求橢圓 C 的方程為的方程為x28y221.(2)設設 l 的方程為

14、的方程為 y12xm，A(x1，y1)，B(x2，y2)，聯(lián)立聯(lián)立y12xm，x28y221，消去消去 y 得得 x22mx2m240，判別式判別式164m20，即，即 m24.又又 x1x22m，x1x22m24，則則|AB|114（x1x2）24x1x25（4m2），點點 P 到直線到直線 l 的距離的距離 d|m|1142|m|5.因此因此 SPAB12d|AB|122|m|5 5（4m2） m2（4m2）m2（4m2）22.當且僅當當且僅當 m22 即即 m 2時上式等號成立，時上式等號成立，故故PAB 面積的最大值為面積的最大值為 2.12設橢圓設橢圓 M：x2a2y2b21(ab0

15、)的左、右焦點分別為的左、右焦點分別為 A(1，0)，B(1，0)，C 為橢圓為橢圓 M 上的點，且上的點，且ACB3，SABC33.(1)求橢圓求橢圓 M 的標準方程；的標準方程；(2)設過橢圓設過橢圓 M 右焦點且斜率為右焦點且斜率為 k 的動直線與橢圓的動直線與橢圓 M 相交于相交于 E， F兩點，探究在兩點，探究在 x 軸上是否存在定點軸上是否存在定點 D，使得，使得DEDF為定值？若存在，為定值？若存在，試求出定值和點試求出定值和點 D 的坐標；若不存在，請說明理由的坐標；若不存在，請說明理由解解： (1)在在ABC 中中， 由余弦定理得由余弦定理得 AB2CA2CB22CACBco

16、sC(CACB)23CACB4.又又 SABC12CACBsin C34CACB33，所以所以 CACB43，代入上式得，代入上式得 CACB2 2，所以橢圓長軸所以橢圓長軸 2a2 2，焦距，焦距 2cAB2，所以，所以 b1.所以橢圓所以橢圓 M 的標準方程為的標準方程為x22y21.(2)設直線方程設直線方程 yk(x1)，E(x1，y1)，F(x2，y2)，聯(lián)立聯(lián)立x22y21，yk（x1） ，消去消去 y 得得(12k2)x24k2x2k220，8k280，所以所以 x1x24k212k2，x1x22k2212k2.假設假設 x 軸上存在定點軸上存在定點 D(x0，0)使得使得DEDF為定值為定值所以所以DEDF(x1x0，y1)(x2x0，y2)x1x2x0(x1x2)x20y1y2x1x2x0(x1x2)x20k2(x11)(x21)(1k2)x1x2(x0k2)(x1x2)x20k2（2x204x01）k2（x202）12k2要使要使DEDF為定值，則為定值，則DEDF的值與的值與 k 無關，無關，所以所以 2x204x012(x202)，解得，解得 x054，此時此時DEDF716為定值，定點為為定值，定點為54，0.