高中數(shù)學《抽樣方法》素材1-蘇教版必修3

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1、精品 細說“三種橢機抽樣” 一、簡單隨機抽樣 從個體數(shù)為 N 的總體中不重復地取出 n 個個體（ n N ），每個個體都有相同的機會被 取到．這樣的抽樣方法稱為簡單隨機抽樣． 1．簡單隨機抽樣的特點 （ 1）適用于被抽取的樣本總體的個數(shù)不多，否則較難“攪拌均勻”． （ 2）每個個體被抽到的機會都是均等的； （ 3）從總體中不放回地逐個抽?。? （ 4）做到了抽樣的客觀性和公平性，抽樣方法簡便易行，是其他較為復雜抽樣方法的 基礎(chǔ)． 2．常用的

2、簡單隨機抽樣方法 （ 1）抽簽法 一般地，用抽簽法從個體數(shù)為 N 的總體中抽取一個容量為 k 的樣本的步驟為：①將總 體中的所有個體編號（號碼可以從 1 到 N ）；②將 1 到 N 這 N 個號碼寫在形狀、大小相同 的號簽上（號簽可以用小球、卡片、紙條等制作） ；③將號簽放在同一箱中，并攪拌均勻； ④從箱中每次抽出 1 個號簽，并記錄其編號，連續(xù)抽取 k 次；⑤從總體中將與抽到的簽的 編號相一致的個體取出． 抽簽法的優(yōu)點是簡便易行，缺點是當總體的容量非常大時，費時、費力，又不方便，如

3、 果標號的簽攪拌得不均勻，會導致抽樣不公平． （ 2）隨機數(shù)表法 按一定的規(guī)則到隨機數(shù)表中選取號碼，這樣的抽樣方法叫做隨機數(shù)表法． 隨機數(shù)表是人們根據(jù)需要編制出來的，由0， 1 ， 2 ， 3 ， 4 ， 5， 6， 7 ， 8 ， 9 十個數(shù)字 - 可編輯 - 精品 組成，表中每一個數(shù)字都是用隨機方法產(chǎn)生的（稱為“隨機數(shù)”） ．隨機數(shù)的產(chǎn)生方法主要 有抽簽法、拋擲骰子法和計算機生成法． 用隨機數(shù)表法抽樣的步驟：①將總體的個體編號（每個號碼位數(shù)一致） ；②在隨機數(shù)表

4、 中選擇開始數(shù)字；③從選定的數(shù)開始，確定一個讀取方向（向左、向右、向上、向下均可） ， 讀數(shù)獲取樣本號碼，如果有重復的或已取出的數(shù)要舍去，直到取滿為止． 隨機數(shù)表法的優(yōu)點與抽簽法相同， 缺點是當總體容量較大時， 仍然不是很方便， 但是比 抽簽法公平，這兩種方法都只適用于總體容量較少的抽樣類型． 二、系統(tǒng)抽樣 1．定義：當總體的個數(shù)較多時，采用簡單隨機抽樣太麻煩，這時可將總體分成均衡的 部分， 然后按照預先定出的規(guī)則，從每一部分中抽取一個個體，得到所需要的樣本，這種抽 樣稱為系統(tǒng)抽樣，又叫等距抽樣． 2．

5、步驟：①采用隨機的方式將總體中的 N 個個體編號；②將整體按編號均衡分段，確 定分段間隔 k，當 N 是整數(shù)時， k N ；當不是整數(shù)時，從 N 中剔除一些個體，使其為整 n n 數(shù)，將剩下的總體重新編號；③在第一段用簡單隨機抽樣確定起始個體的編號 l (l ≤ k) ；④ 按照一定的規(guī)則抽取樣本，通常是將起始編號 l 加上間隔 k 得到第 2 個個體編號 l k ，再 加上 k 得到第 3 個個體編號 l 2k ，這樣繼續(xù)下去，直到獲取整個樣本． 例 1 從 N 103的總體中采用系統(tǒng)抽樣，抽取一個容量 n 10 的樣本，寫出抽取過

6、程． 解：抽樣過程具體如下： 第一步：將總體的 103 個個體按隨機方式編號 001 ， 002 ， 003 ，?， 103 ； 第二步：抽取容量為 10 的樣本，因為 103 不是整數(shù)，所以應從總體中剔除 3 個（剔除 10 方法可用隨機數(shù)表法： 如以隨機數(shù)表的第 20 行第 9 列的 4 開始向右連續(xù)取表數(shù)字． 在讀取 時，以 3 個數(shù)為一組，遇到大于 103 的數(shù)時，將它舍去） ； - 可編輯 - 精品 第三步：將余下的 100 個重新編號 00 ， 01 ， 02 ， 03 ，?，

7、99 ；分成 10 段，每段 10 個 ； 在 第 一 段 00 ， 01 ， ? ， 09 這 十 個 編 號 中 ， 隨 機 定 一 起 始 數(shù) i0 ， 則 i 0，i0 10， i0 20，L ， i0 90 為所抽取的樣本號碼．如 i 0 3 ，則被抽取的樣本號碼為： 3 ， 13 ， 23 ， 33 ， 43 ， 53 ， 63 ， 73 ， 83 ，93 ． 三、分層抽樣 1．定義：一般地，當總體由差異明顯的幾個部分組成時，為了使樣本更客觀地反映總 體情況， 我們常常將總體中的個體按不同的特點分成層次比較分明

8、的幾部分， 然后按各部分 在總體中所占的比實施抽樣，這種抽樣方法叫分層抽樣（ stratified sampling ），其中所分 成的各個部分稱為“層” ． 分層抽樣的步驟是： ①將總體按一定標準分層； ②計算各層的個體數(shù)與總體的個體數(shù)的 比；③按各層個體數(shù)占總體的個體數(shù)的比確定各層應抽取的樣本容量； ④在每一層進行抽樣 （可用簡單隨機抽樣或系統(tǒng)抽樣） ． 2．關(guān)于分層抽樣的幾點說明： （ 1）適用于總體由差異明顯的幾部分組成的情況； （ 2）在每一層抽樣時，采用簡單隨機抽樣或系統(tǒng)抽樣； （

9、 3）分層抽樣要充分利用樣本特征，合理分層，分多少層要視具體情況而定，總的原則是層內(nèi)樣本的差異要小，而層與層之間的差異盡可能地大，否則將失去分層的意義． 例 2 某校有在校高中生共 1600 人，其中高一學生 520 人，高二學生 500 人，高三 學生 580 人．如果想通過抽查其中的 80 人來調(diào)查學生的消費情況， 考慮到學生因年級不同， 消費情況有明顯差別， 而同一年級內(nèi)消費情況差異較小， 問應當采用怎樣的抽樣方法？高三 學生中應抽查多少人？ 解：因為不同年級的學生消費情況有明顯的差別，所以應采用分層抽樣．

10、 - 可編輯 - 精品 由于 520:500:580 26: 25: 29 ，于是將 80 分成比例為 26: 25: 29的三部分，設(shè)三部分 抽取的個體數(shù)分別為 26x，25x，29x ，由 26x 25x 29x 80，解得 x 1，故高三年級中應抽 查 29 1=29 人． 生活中的抽樣方法 在現(xiàn)實生活中，由于資金、時間有限，人力、物力不足，再加上不斷變化的環(huán)境條件， 做普查往往是不可能的， 因此，我們一般是把數(shù)據(jù)的收集限制在總體的一個樣本上． 由于總 體

11、的復雜性，在實際操作中，為了使樣本具有代表性，通常要同時使用幾種抽樣方法． 例 1 某學校有職工 140 人，其中教師 91 人，教輔行政人員 28 人，總務后勤人員 21 人．為了解職工的某種情況，要從中抽取一個容量為 20 的樣本．試分別用簡單隨機抽樣、 系統(tǒng)抽樣、分層抽樣三種方法抽取樣本． 分析：結(jié)合簡單隨機抽樣、系統(tǒng)抽樣、分層抽樣的含義和特點求解． 解：三種抽樣方法依次如下： （ 1）將 140 人從 1～ 140 編號， 然后制作出有編號 1～ 140 的形狀、 大小相同的號簽， 并將號

12、簽放入同一箱子里攪拌均勻，然后從中抽出 20 個號簽，編號與號簽相同的 20 個人 被選出． （ 2）將 140 人分成 20 組，每組 7 人，并將每組 7 人按 1 ～ 7 編號，在第一組采用抽簽法抽出 k 號（ 1 ≤k ≤7 ），其余各組 k 號也被抽出， 20 個人被選出． （ 3）按 20:140 1: 7 的比例，從教師中抽出 13 人，從教輔行政人員中抽出 4 人，從 總務后勤人員中抽出 3 人．從各類人員中抽出所需要人員時，均采用隨機數(shù)表法，可抽到 20 人． 評注：該例中用簡單隨機抽樣抽取樣本

13、時采用了抽簽法， 同學們可試著用隨機數(shù)表法抽 - 可編輯 - 精品 取樣本，本例主要考查對三個抽樣概念的理解以及靈活運用的能力． 例 2 選擇合適的抽樣方法，寫出抽樣過程． （ 1）有 30 個籃球，其中甲廠生產(chǎn)的有 21 個，乙廠生產(chǎn)的有 9 個，抽取 10 個入樣． （ 2）有甲廠生產(chǎn)的 30 個籃球，其中一箱 21 個，另一箱 9 個，抽取 3 個入樣． （ 3）有甲廠生產(chǎn)的 300 個籃球，抽取 10 個入樣． （ 4）有甲廠生產(chǎn)的 300 個籃

14、球，抽取 30 個入樣． 分析：應結(jié)合三種抽樣方法的使用范圍和實際情況，靈活使用各種抽樣方法解決問題． 解：（1 ）總體由差異明顯的幾個層次組成，需選用分層抽樣法． 第一步：確定抽取個數(shù)，由于 30 3 ，所以應抽取甲廠生產(chǎn)的籃球 21 （個），乙廠 10 7 3 生產(chǎn)的籃球 9 3 （個）； 3 第二步：用抽簽法分別抽取甲廠生產(chǎn)的籃球7 個，乙廠生產(chǎn)的籃球 3 個，這些籃球便 組成了我們要抽取的樣本．

15、 （ 2）總體容量較小，可以采用抽簽法，具體步驟如下： 第一步：將 30 個籃球編號，編號為 00 ， 01 ，02 ， L ， 29 ； 第二步：將以上 30 個編號分別寫在一張小紙條上，揉成小球，制成號簽； 第三步：把號簽放入一個不透明的袋子中，充分攪勻； 第四步：從袋子中逐個抽取 3 個號簽，并記錄上面的號碼； 第五步：找出和所得號碼對應的籃球． （ 3）總體容量較大，樣本容量較小宜用隨機數(shù)表法． 第一步：將 300 個籃球用隨機方式編號，編號為

16、 001 ，002 ， L ， 300 ； 第二步：在隨機數(shù)表中隨機地確定一個數(shù)作為開始，如第 8 行第 29 列的數(shù)“ 7 ”開始， 任選一個方向作為讀數(shù)的方向，比如向右讀； - 可編輯 - 精品 第三步：從數(shù)“ 7 ”開始向右讀，每次讀三位，凡不在 001 ～ 300 中的數(shù)跳過去不讀， 遇到已經(jīng)讀過的數(shù)也跳過去不讀，便可依次得到 10 個號碼，這就是所要抽取的 10 個樣本 個體的號碼． （ 4）總體容量較大，樣本容量也較大宜用系統(tǒng)抽樣法．

17、 第一步：將 300 個籃球用隨機方式編號，編號為 000 ，001 ，002 ， L ，299 ，并分成 30 段； 第二步：在第一段 000 ， 001 ， 002 ， L ， 009 這 10 個編號中用簡單隨機抽樣抽出一 個（如 002 ）作為起始號碼； 第三步：將編號為 002 ， 012 ， 022 ， L ， 292 的個體抽取，組成樣本． 評注：三種抽樣方法的共同特點就是總體中每個個體被抽到的可能性相等， 這樣樣本的 抽取體現(xiàn)了公平性和客觀性． - 可編輯 -