高考數(shù)學(xué) 三輪講練測(cè)核心熱點(diǎn)總動(dòng)員新課標(biāo)版 專(zhuān)題16 三角函數(shù)的圖象與性質(zhì) Word版含解析

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1、 【名師精講指南篇】 【高考真題再現(xiàn)】 1.【20xx新課標(biāo)全國(guó)】設(shè)當(dāng)x=θ時(shí),函數(shù)f(x)=sinx-2cosx取得最大值,則cosθ=______ 【答案】; 【解析】. 2.【20xx新課標(biāo)全國(guó)】函數(shù)在的圖像大致為( ) 【答案】C; 3.【20xx全國(guó)1高考理】如圖,圖O的半徑為1,A是圓上的定點(diǎn),P是圓上的動(dòng)點(diǎn),角x的始邊為射線(xiàn)OA,終邊為射線(xiàn)OP,過(guò)點(diǎn)P作直線(xiàn)OA的垂線(xiàn),垂足為M,將點(diǎn)M到直線(xiàn)OP的距離表示成x的函數(shù),則的圖像大致為( ) A B

2、 C D 【答案】C 4.【20xx高考全國(guó)1卷文】在函數(shù)①,② ,③,④中,最小正周期為的所有函數(shù)為( ) A.①②③ B. ①③④ C. ②④ D. ①③ 【答案】A 【解析】①中函數(shù)是一個(gè)偶函數(shù),其周期與相同,;②中函數(shù)的周期是函數(shù)周期的一半,即; ③; ④,則選A. 5.【20xx全國(guó)1理問(wèn)】函數(shù)的部分圖像如圖所示,則的單調(diào)遞減區(qū)間為( ). A., B., C., D., 【答案】D 【熱點(diǎn)深度剖析】 從近幾年的高考試題來(lái)看,三角函數(shù)的

3、周期性、單調(diào)性、最值,三角函數(shù)圖像變換等是高考的熱點(diǎn),每年文理均涉及到一道三角函數(shù)性質(zhì)與圖像的題目,題型既有選擇題、填空題,又有解答題,難度屬于中、低檔;常與三角恒等變換交匯命題,在考查三角函數(shù)性質(zhì)的同時(shí),又考查三角恒等變換的方法與技巧,注重考查函數(shù)與方程、轉(zhuǎn)化與化歸等思想方法. 20xx年文理試題一樣考查了三角最值問(wèn)題,文科又與導(dǎo)數(shù)結(jié)合,考查三角函數(shù)的奇偶性,20xx年理科高考考查了三角函數(shù)的圖像,文科考查了三角函數(shù)的周期性,難度中等.20xx年全國(guó)卷1文理試題相同,考查三角函數(shù)的圖像與性質(zhì).都從近幾年的高考試題來(lái)看,三角函數(shù)的周期性,單調(diào)性,對(duì)稱(chēng)性,最值,圖像變換等是高考的熱點(diǎn),常與三角恒

4、等變換交匯命題,在考查三角函數(shù)性質(zhì)的同時(shí),又考查三角恒等變換的方法與技巧,注重考查函數(shù)與方程、轉(zhuǎn)化與化歸等思想方法.其特點(diǎn)如下:(1)考小題,重基礎(chǔ):小題其考查重點(diǎn)在于基礎(chǔ)知識(shí):解析式;圖象與圖象變換;兩域(定義域、值域);四性(單調(diào)性、奇偶性、對(duì)稱(chēng)性、周期性).(2)考大題,難度明顯降低:有關(guān)三角函數(shù)的大題即解答題,通過(guò)公式變形轉(zhuǎn)換來(lái)考查思維能力的題目已經(jīng)很少,而著重考查基礎(chǔ)知識(shí)和基本技能與方法的題目卻在增加.在復(fù)習(xí)時(shí)要充分運(yùn)用數(shù)形結(jié)合的思想,把圖象與性質(zhì)結(jié)合起來(lái),即利用圖象的直觀性得出函數(shù)的性質(zhì),或由單位圓上線(xiàn)段表示的三角函數(shù)值來(lái)獲得函數(shù)的性質(zhì),同時(shí)也要能利用函數(shù)的性質(zhì)來(lái)描繪函數(shù)的圖象,這

5、樣既有利于掌握函數(shù)的圖象與性質(zhì),又能熟練地運(yùn)用數(shù)形結(jié)合的思想方法.預(yù)測(cè)20xx年高考很有可能出一道三角變換與三角函數(shù)性質(zhì)的交匯題,重點(diǎn)考查運(yùn)算與恒等變換能力,文理科都也可能出一個(gè)大題. 【重點(diǎn)知識(shí)整合】 1三角函數(shù)的定義域: (1) 正弦函數(shù)、余弦函數(shù)的定義域都是R; (2) 正切函數(shù)定義域. 2三角函數(shù)的值域: (1)正弦、余弦函數(shù)值域都是. 對(duì),當(dāng)時(shí),取最大值1;當(dāng)時(shí),取最小值-1; 對(duì),當(dāng)時(shí),取最大值1,當(dāng) 時(shí),取最小值-1. (2)正切函數(shù)值域是R,在上面定義域上無(wú)最大值也無(wú)最小值. 3.三角函數(shù)的單調(diào)區(qū)間: (1)上單調(diào)遞增,在單調(diào)遞減; (2)在上單調(diào)遞減,

6、在上單調(diào)遞增; (3) 在開(kāi)區(qū)間內(nèi)都是增函數(shù).注意在整個(gè)定義域上不具有單調(diào)性. 4.型單調(diào)區(qū)間的確定 (A、>0)的單調(diào)性,把看作一個(gè)整體,放在正弦函數(shù)的遞增區(qū)間內(nèi)解出,為上增函數(shù);放在正弦函數(shù)的遞減區(qū)間內(nèi)解出為上減函數(shù)() 對(duì)與的單調(diào)區(qū)間的求解和上述類(lèi)似. 5.三角函數(shù)的周期性 (1)正弦函數(shù)、余弦函數(shù)的最小正周期都是2;正切函數(shù)的最小正周期是,它與直線(xiàn)的兩個(gè)相鄰交點(diǎn)之間的距離是一個(gè)周期.   (2)函數(shù)圖象在其對(duì)稱(chēng)軸處取得最大值或最小值,且相鄰的最大值與最小值間的距離為其函數(shù)的半個(gè)周期;函數(shù)圖象與x軸的交點(diǎn)是其對(duì)稱(chēng)中心,相鄰兩對(duì)稱(chēng)中心間的距離也是其函數(shù)的半個(gè)周期;函數(shù)取最值的

7、點(diǎn)與相鄰的與x軸的交點(diǎn)間的距離為其函數(shù)的個(gè)周期. 6.型周期 和的最小正周期都是; 最小正周期. 7.三角函數(shù)的對(duì)稱(chēng)性 (1)正弦函數(shù)是奇函數(shù),對(duì)稱(chēng)中心是,對(duì)稱(chēng)軸是直線(xiàn); (2)余弦函數(shù)是偶函數(shù),對(duì)稱(chēng)中心是,對(duì)稱(chēng)軸是直線(xiàn). 注意:正(余)弦型函數(shù)的對(duì)稱(chēng)軸為過(guò)最高點(diǎn)或最低點(diǎn)且垂直于軸的直線(xiàn),對(duì)稱(chēng)中心為圖象與軸的交點(diǎn). (3)正切函數(shù)是奇函數(shù),對(duì)稱(chēng)中心是. 注意:正(余)切型函數(shù)的對(duì)稱(chēng)中心有兩類(lèi):一類(lèi)是圖象與軸的交點(diǎn),另一類(lèi)是漸近線(xiàn)與軸的交點(diǎn),但無(wú)對(duì)稱(chēng)軸,這是與正弦、余弦函數(shù)的不同之處. 8.三角函數(shù)的最值 求三角函數(shù)的最值,主要利用正、余弦函數(shù)的有界性,一般通過(guò)三角變換化為

8、下列基本類(lèi)型處理: (1),設(shè)化為一次函數(shù)在閉區(qū)間上的最值求之; (2),引入輔助角,化為求解方法同類(lèi)型(1); (3),設(shè),化為二次函數(shù)在上的最值求之; (4),設(shè)化為二次函數(shù)在閉區(qū)間上的最值求之; (5),設(shè)化為用法求值;當(dāng)時(shí),還可用平均值定理求最值; (6)根據(jù)正弦函數(shù)的有界性,可轉(zhuǎn)換為解決; (7)的最值,可轉(zhuǎn)化為討論點(diǎn)與動(dòng)點(diǎn)連線(xiàn)的斜率,而動(dòng)點(diǎn)在單位圓上運(yùn)動(dòng),利用幾何方法易得所求三角函數(shù)的最值. 9.函數(shù)圖像的變換(平移變換和上下變換) 平移變換:左加右減,上加下減 把函數(shù)向左平移個(gè)單位,得到函數(shù)的圖像; 把函數(shù)向右平移個(gè)單位,得到函數(shù)的圖像; 把函數(shù)向上平移個(gè)

9、單位,得到函數(shù)的圖像; 把函數(shù)向下平移個(gè)單位,得到函數(shù)的圖像. 伸縮變換: 把函數(shù)圖像的縱坐標(biāo)不變,橫坐標(biāo)伸長(zhǎng)到原來(lái)的,得到函數(shù)的圖像; 把函數(shù)圖像的縱坐標(biāo)不變,橫坐標(biāo)縮短到原來(lái)的,得到函數(shù)的圖像; 把函數(shù)圖像的橫坐標(biāo)不變,縱坐標(biāo)伸長(zhǎng)到原來(lái)的,得到函數(shù)的圖像; 把函數(shù)圖像的橫坐標(biāo)不變,縱坐標(biāo)縮短到原來(lái)的,得到函數(shù)的圖像. 10.由的圖象變換出的圖象一般有兩個(gè)途徑,只有區(qū)別開(kāi)這兩個(gè)途徑,才能靈活進(jìn)行圖象變換.利用圖象的變換作圖象時(shí),提倡先平移后伸縮,但先伸縮后平移也經(jīng)常出現(xiàn)無(wú)論哪種變形,請(qǐng)切記每一個(gè)變換總是對(duì)字母x而言,即圖象變換要看“變量”起多大變化,而不是“角變化”多少. 途

10、徑一:先平移變換再周期變換(伸縮變換)先將的圖象向左或向右平移個(gè)單位,再將圖象上各點(diǎn)的橫坐標(biāo)變?yōu)樵瓉?lái)的倍(),便得的圖象 途徑二:先周期變換(伸縮變換)再平移變換:先將的圖象上各點(diǎn)的橫坐標(biāo)變?yōu)樵瓉?lái)的倍(),再沿軸向左()或向右()平移個(gè)單位,便得的圖象. 注意:函數(shù)的圖象,可以看作把曲線(xiàn)上所有點(diǎn)向左(當(dāng)時(shí))或向右(當(dāng)時(shí))平行移動(dòng)個(gè)單位長(zhǎng)度而得到. 【應(yīng)試技巧點(diǎn)撥】 1.如何判斷函數(shù)的奇偶性 根據(jù)三角函數(shù)的奇偶性,利用誘導(dǎo)公式可推得函數(shù)的奇偶性,常見(jiàn)的結(jié)論如下: (1)若為偶函數(shù),則有;若為奇函數(shù)則有; (2)若為偶函數(shù),則有;若為奇函數(shù)則有; (3)若為奇函數(shù)則有. 2.如何

11、確定函數(shù)當(dāng)時(shí)函數(shù)的單調(diào)性 對(duì)于函數(shù)求其單調(diào)區(qū)間,要特別注意的正負(fù),若為負(fù)值,需要利用誘導(dǎo)公式把負(fù)號(hào)提出來(lái),轉(zhuǎn)化為的形式,然后求其單調(diào)遞增區(qū)間,應(yīng)把放在正弦函數(shù)的遞減區(qū)間之內(nèi);若求其遞減區(qū)間,應(yīng)把放在正弦函數(shù)的遞增區(qū)間之內(nèi). 3.求三角函數(shù)的周期的方法 (1)定義法:使得當(dāng)x取定義域內(nèi)的每一個(gè)值時(shí),都有f (x+T)=f (x).利用定義我們可采用取值進(jìn)行驗(yàn)證的思路,非常適合選擇題; (2)公式法:和的最小正周期都是,的周期為.要特別注意兩個(gè)公式不要弄混; (3)圖象法:可以畫(huà)出函數(shù)的圖象,利用圖象的重復(fù)的特征進(jìn)行確定,一般適應(yīng)于不易直接判斷,但是能夠容易畫(huà)出函數(shù)草圖的函數(shù); (4)

12、絕對(duì)值或平方對(duì)三角函數(shù)周期性的影響:一般說(shuō)來(lái),某一周期函數(shù)解析式加絕對(duì)值或平方,其周期性是:弦減半、切不變.既為周期函數(shù)又是偶函數(shù)的函數(shù)自變量加絕對(duì)值,其周期性不變,其它不定. 如的周期都是, 但的周期為,而,的周期不變. 4.掌握三種類(lèi)型,順利求解三角最值 三角函數(shù)的最值既是高考中的一個(gè)重點(diǎn),也是一個(gè)難點(diǎn),其類(lèi)型豐富,解決的方法比較多.但是歸納起來(lái)常見(jiàn)的有下面三種類(lèi)型: (1)可化為型函數(shù)值域: 利用三角公式對(duì)原函數(shù)進(jìn)行化簡(jiǎn)、整理,最終得到的形式,然后借助題目中給定的的范圍,確定的范圍,最后利用的圖象確定函數(shù)的值域. 如:、 等. (2)可化為型求函數(shù)的值域: 首先借助三角公

13、式,把函數(shù)化成型,然后采用換元法,即令,構(gòu)造關(guān)于的函數(shù),然后根據(jù)具體的結(jié)構(gòu),采取相應(yīng)的方法求解.如:、可轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)求值域;,可轉(zhuǎn)化為對(duì)號(hào)函數(shù)求值域. (3)利用數(shù)性結(jié)合思想求函數(shù)的值域: 此類(lèi)題目需分析函數(shù)的結(jié)構(gòu)特征,看能否轉(zhuǎn)化為有幾何含義的式子結(jié)構(gòu),有時(shí)也可以把函數(shù)圖象畫(huà)出來(lái),直接觀察確定函數(shù)的值域.如,常轉(zhuǎn)化為直線(xiàn)的斜率的幾何含義求解. 【考場(chǎng)經(jīng)驗(yàn)分享】 1.閉區(qū)間上最值或值域問(wèn)題,首先要在定義域基礎(chǔ)上分析單調(diào)性,含參數(shù)的最值問(wèn)題,要討論參數(shù)對(duì)最值的影響. 2.三角函數(shù)的性質(zhì)問(wèn)題,往往都要先化成f(x)=Asin(ωx+φ)的形式再求解.要正確理解三角函數(shù)的性質(zhì),關(guān)鍵是記住

14、三角函數(shù)的圖象,根據(jù)圖象并結(jié)合整體代入的基本思想即可求三角函數(shù)的單調(diào)性,最值與周期. 3. (1)在求三角函數(shù)的最值時(shí),要注意自變量x的范圍對(duì)最值的影響,往往結(jié)合圖象求解.(2)求函數(shù)f(x)=Asin(ωx+φ)的單調(diào)區(qū)間時(shí),只有當(dāng)ω>0時(shí),才可整體代入并求其解,當(dāng)ω<0時(shí),需把ω的符號(hào)化為正值后求解. 【名題精選練兵篇】 1.【20xx屆湖北省龍泉中學(xué)等校高三9月聯(lián)考】將函數(shù)的圖象向左平移個(gè)單位長(zhǎng)度后,所得函數(shù)的圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng),則函數(shù)在的最小值為( ) A. B. C. D. 【答案】C

15、【解析】將函數(shù)的圖象向左平移個(gè)單位長(zhǎng)度后,所的函數(shù)解析式為,此函數(shù)關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng),即,將解析式代入其中,利用三角恒等變換可求得,則在的最小值為,所以本題的正確選項(xiàng)為C. 2.【20xx屆陜西省西北工大附中高三第四次適應(yīng)性考試】要得到函數(shù)的圖像,只需將函數(shù)的圖像沿軸( ) A.向左平移個(gè)單位 B.向左平移個(gè)單位 C.向右平移個(gè)單位 D.向右平移個(gè)單位 【答案】A 3.【20xx屆河南省洛陽(yáng)市一中高三下學(xué)期第二次模擬】已知函數(shù)的定義域?yàn)?值域?yàn)椋瑒t的值不可能是( ) A. B.π C. D.2π 【答案】D 【解析】當(dāng)時(shí),,所以

16、可令,又函數(shù)的最小值為,所以,所以,所以選項(xiàng)D不可能,故選D. 4.【20xx屆河南省洛陽(yáng)市一中高三下學(xué)期第二次模擬】已知函數(shù)①②,③,④的部分圖象如下,但順序被打亂,則按照?qǐng)D象從左到右的順序,對(duì)應(yīng)的函數(shù)序號(hào)正確的一組是( ) ①④②③ ①④③② ④①②③ ③④②① 【答案】A 【解析】函數(shù)是偶函數(shù),所以對(duì)應(yīng)圖象應(yīng)為第一個(gè)圖象;函數(shù)是奇函數(shù),且當(dāng)在區(qū)間函數(shù)值有正有負(fù),對(duì)應(yīng)圖象為第3個(gè)函數(shù)圖象;函數(shù)是奇函數(shù),且當(dāng)在區(qū)間函數(shù)值,所以對(duì)應(yīng)圖象為第4個(gè)圖象;當(dāng)時(shí),,當(dāng)時(shí),,所以函數(shù)的圖象為第2個(gè),故選A. 5.【20xx屆河北省邯鄲一中高三下第一次模擬】已知函數(shù),如果存在實(shí)數(shù)

17、,使得對(duì)任意的實(shí)數(shù),都有成立,則的最小值為( ) A. B. C. D. 【答案】C 【解析】因?yàn)?,設(shè)的最小正周期為,則,所以的最小值為,故選C. 6.【20xx屆四川省成都市七中高三考試】關(guān)于函數(shù)的性質(zhì),下列敘述不正確的是( ) A.的最小正周期為 B.是偶函數(shù) C.的圖象關(guān)于直線(xiàn)對(duì)稱(chēng) D.在每一個(gè)區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞增 【答案】A 7.【20xx屆河北省衡水中學(xué)高三下學(xué)期一模考試】若函數(shù),函數(shù),則的最小值為( ) A. B. C. D. 【答案】B 【解析

18、】設(shè),則的幾何意義是兩曲線(xiàn)動(dòng)點(diǎn)之間的距離的平方,取函數(shù)的導(dǎo)數(shù),直線(xiàn)的斜率為,由,即,解得,此時(shí),即函數(shù)在處的切線(xiàn)與平行,則最短距離為,所以的最小值為,故選B. 8.【20xx屆寧夏六盤(pán)山高中高三第二次模擬考試】已知函數(shù)的最小正周期為,且,則的一個(gè)對(duì)稱(chēng)中心是( ) A. B. C. D. 【答案】A 9.【20xx屆寧夏六盤(pán)山高中高三第二次模擬】已知的部分圖象如圖所示,則=( ) A. B. C. D. 【答案】C 【解析】由題意得,根據(jù)給定的圖象,可知,又,即,令,則,又,所以令,所以,

19、故選C. 10.【20xx屆福建省廈門(mén)一中高三下學(xué)期測(cè)試】已知函數(shù)的部分圖象,如圖所示,將函數(shù)的圖象向左平移個(gè)單位后,得到函數(shù)的圖象關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱(chēng),則的值可能是( ) A. B. C. D. 【答案】D 由函數(shù)的圖象關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱(chēng),可得 則當(dāng)時(shí),,選D 11. 【江西省九江市20xx年第一次高考模擬】已知函數(shù)的圖象向左平移個(gè)單位后得到的圖象,則的值為( ) A. B. C. D. 【答案】C. 【解析】由題意得,又∵, ∴,即,,∵,∴,故選C. 12.

20、 【湖北省黃岡市20xx屆高三上學(xué)期元月調(diào)研】將函數(shù)的圖象沿軸向右平移個(gè)單位后,得到一個(gè)偶函數(shù)的圖象,則的取值不可能是( ) A. B. C. D. 【答案】C 13. 【江蘇省蘇錫常鎮(zhèn)四市20xx屆高三調(diào)研】設(shè)函數(shù)的最小正周期為,且滿(mǎn)足,則函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間為 . 【答案】 【解析】因?yàn)椋杂?,由,因?yàn)?,所以,由,即函?shù)的單調(diào)增區(qū)間為 14. 【江蘇省啟東中學(xué)20xx屆高三下學(xué)期期初調(diào)研】設(shè)常數(shù)使方程 在閉區(qū)間上恰有三個(gè)解,則 ▲ . 【答案】; 【解析】,直線(xiàn)與三角函數(shù)圖象的交點(diǎn),在上,當(dāng)時(shí),直線(xiàn)與三角函數(shù)圖象恰有三個(gè)交點(diǎn),令或,即或,此時(shí)

21、,. 15.已知函數(shù)下列結(jié)論錯(cuò)誤的是(  ) A.函數(shù)的最小正周期為 B.函數(shù)是偶函數(shù) C.函數(shù)的圖象關(guān)于直線(xiàn)對(duì)稱(chēng) D.函數(shù)在區(qū)間上是增函數(shù) 【答案】C 16. 【遼寧省朝陽(yáng)市三校協(xié)作體20xx屆高三下學(xué)期開(kāi)學(xué)聯(lián)考】設(shè)函數(shù),且其圖像關(guān)于軸對(duì)稱(chēng),則函數(shù)的一個(gè)單調(diào)遞減區(qū)間是 ( ) 【答案】C 【名師原創(chuàng)測(cè)試篇】 1. 若函數(shù)的最小正周期為,若對(duì)任意,都有,則的值為 A. B. C. D. 【答案】A 【解析】由已知 ,此時(shí),,因最小

22、正周期為,故,又對(duì)任意,都有,所以應(yīng)為的最值,即,所以 2.已知函數(shù)的最小正周期是,若其圖像向右平移個(gè)單位后得到的函數(shù)為奇函數(shù),則函數(shù)的圖像 ( ) A.關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱(chēng) B.關(guān)于直線(xiàn)對(duì)稱(chēng) C.關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱(chēng) D.關(guān)于直線(xiàn)對(duì)稱(chēng) 【答案】C 【解析】根據(jù)最小正周期為,知:,將圖像向右平移個(gè)單位得到為奇函數(shù),所以,解得:,因?yàn)?,只有?dāng)時(shí),符合題意,所以,根據(jù)三角函數(shù)的性質(zhì)可知,所以C正確. 3.已知函數(shù)(其中),其部分圖像如下圖所示,將的圖像縱坐標(biāo)不變,橫坐標(biāo)變成原來(lái)的2倍,再向右平移1個(gè)單位得到的圖像,則函數(shù)的解析式為()

23、 A. B. C. D. 【答案】B 4.函數(shù)的值域?yàn)椋? ) A. B. C. D. 【答案】D 【解析】∵, ∴為周期函數(shù),其中一個(gè)周期為,故只需考慮在上的值域即可, 當(dāng)時(shí),,其中,, ∴,, 當(dāng)時(shí),,,, ∴,,∴的值域?yàn)? 5. 已知函數(shù)y=sinωx(ω>0)在區(qū)間上為增函數(shù),且圖象關(guān)于點(diǎn)(3π,0)對(duì)稱(chēng),則ω的取值集合為   ?。? 【答案】 【解析】由題意知,即,其中,則ω的取值集合為 6. 設(shè)偶函數(shù)的部分圖象如圖所示,, ,,則的值為( ) A. B. C. D. 【答案】D 6.已知函數(shù),求函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)( ) A.2 B. 3 C. 4 D.5 【解析】C

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