2020版高中數(shù)學 第三章 變化率與導數(shù) 4 導數(shù)的四則運算法則學案（含解析）北師大版選修1 -1.docx

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4　導數(shù)的四則運算法則 學習目標　1.了解導數(shù)的加法、減法、乘法、除法法則的推導過程.2.會運用導數(shù)公式和導數(shù)的加法、減法、乘法、除法法則求一些函數(shù)的導數(shù)． 知識點一　導數(shù)的加法與減法法則 兩個函數(shù)和(差)的導數(shù)等于這兩個函數(shù)導數(shù)的和(差)，即[f(x)＋g(x)]′＝f′(x)＋g′(x)， [f(x)－g(x)]′＝f′(x)－g′(x)． 特別提醒：(1)兩個導數(shù)的和差運算只可推廣到有限個函數(shù)的和差的導數(shù)運算． (2)對于較復雜的函數(shù)式，應先進行適當?shù)幕喿冃危癁檩^簡單的函數(shù)式后再求導，可簡化求導過程． 知識點二　導數(shù)的乘法與除法法則 1．若兩個函數(shù)f(x)和g(x)的導數(shù)分別是f′(x)和g′(x)，則(1)[f(x)g(x)]′＝f′(x)g(x)＋f(x)g′(x)． (2)′＝. 2．[kf(x)]′＝kf′(x)． 1．若f(x)＝a2＋2ax＋x2，則f′(a)＝2a＋2x.(　　) 2．運用法則求導時，不用考慮f′(x)，g′(x)是否存在．(　　) 3．[f(x)g(x)]′＝f′(x)g′(x)．(　　) 題型一　利用導數(shù)四則運算法則求導 例1　求下列函數(shù)的導數(shù)： (1)y＝； (2)y＝； (3)y＝(x＋1)(x＋3)(x＋5)； (4)y＝xsinx－. 考點　導數(shù)的運算法則 題點　導數(shù)乘除法則的混合運用 解　(1)∵y＝－＋x－1＋， ∴y′＝＋－x－2－. (2)方法一　y′＝ ＝＝. 方法二　y＝＝＝1－， y′＝′＝′ ＝ ＝. (3)方法一　y′＝[(x＋1)(x＋3)]′(x＋5)＋(x＋1)(x＋3)(x＋5)′＝[(x＋1)′(x＋3)＋(x＋1)(x＋3)′](x＋5)＋(x＋1)(x＋3)＝(2x＋4)(x＋5)＋(x＋1)(x＋3)＝3x2＋18x＋23. 方法二　∵y＝(x＋1)(x＋3)(x＋5)＝(x2＋4x＋3)(x＋5) ＝x3＋9x2＋23x＋15， ∴y′＝(x3＋9x2＋23x＋15)′＝3x2＋18x＋23. (4)y′＝(xsinx)′－′ ＝x′sinx＋x(sinx)′－ ＝sinx＋xcosx－. 反思感悟　1.解答利用導數(shù)四則運算法則求導問題時常因導數(shù)的四則運算法則不熟而失分． 2．對一個函數(shù)求導時，要緊扣導數(shù)運算法則，聯(lián)系基本初等函數(shù)的導數(shù)公式，當不易直接應用導數(shù)公式時，應先對函數(shù)進行化簡(恒等變換)，然后求導．這樣可以減少運算量，優(yōu)化解題過程． 3．利用導數(shù)法則求導的原則是盡可能化為和、差，利用和、差的求導法則求導，盡量少用積、商的求導法則求導． 跟蹤訓練1　求下列函數(shù)的導數(shù)： (1)f(x)＝xlnx； (2)y＝； (3)y＝2x3＋log3x； (4)y＝x－sincos. 解　(1)f′(x)＝(xlnx)′＝lnx＋x＝lnx＋1. (2)方法一　y′＝′＝＝. 方法二　y＝＝1－， ∴y′＝′＝′ ＝－＝. (3)y′＝(2x3＋log3x)′＝(2x3)′＋(log3x)′＝6x2＋. (4)y＝x－sincos＝x－sinx， ∴y′＝′＝1－cosx. 題型二　導數(shù)運算法則的綜合應用 命題角度1　利用導數(shù)求函數(shù)解析式 例2　(1)已知函數(shù)f(x)＝＋2xf′(1)，試比較f(e)與f(1)的大小關系； (2)設f(x)＝(ax＋b)sinx＋(cx＋d)cosx，試確定常數(shù)a，b，c，d，使得f′(x)＝xcosx. 考點　導數(shù)的應用 題點　導數(shù)的應用 解　(1)由題意得f′(x)＝＋2f′(1)， 令x＝1，得f′(1)＝＋2f′(1)，即f′(1)＝－1. 所以f(x)＝－2x，得f(e)＝－2e＝－2e， f(1)＝－2， 由f(e)－f(1)＝－2e＋2<0，得f(e)0)在x＝x0處的導數(shù)為0，那么x0等于(　　) A．a(chǎn)B．a(chǎn)C．－aD．a(chǎn)2 考點　導數(shù)的運算法則 題點　導數(shù)除法法則及運算 答案　B 解析　∵y′＝1－，在x＝x0處，函數(shù)y＝的導數(shù)是1－＝0，∴x0＝a. 3．已知物體的運動方程為s＝t2＋(t是時間，s是位移)，則物體在時刻t＝2時的速度為(　　) A. B. C. D. 考點　導數(shù)的應用 題點　導數(shù)的應用 答案　D 解析　∵s′＝2t－，∴在t＝2處，函數(shù)s＝t2＋的導數(shù)是4－＝.即物體在時刻t＝2時的速度為. 4．若曲線f(x)＝xsinx＋1在x＝處的切線與直線ax＋2y＋1＝0互相垂直，則實數(shù)a等于(　　) A．－2B．－1C．1D．2 考點　導數(shù)的應用 題點　導數(shù)的應用 答案　D 解析　∵f′(x)＝sinx＋xcosx， 由題意知f′＝－1， ∴a＝2. 5．若函數(shù)f(x)＝在x＝x0處的導數(shù)值與函數(shù)值互為相反數(shù)，則x0的值等于(　　) A．0 B．1 C. D．不存在 考點　導數(shù)的應用 題點　導數(shù)的應用 答案　C 解析　f′(x)＝， 由題意知f′(x0)＋f(x0)＝0， 即＋＝0，解得x0＝. 6．函數(shù)y＝f(x)＝sinx＋ex的圖像上一點(0,1)處的切線的斜率為(　　) A．1B．2C．3D．0 答案　B 解析　因為函數(shù)y＝f(x)＝sinx＋ex的導數(shù)為y′＝cosx＋ex，所以f′(0)＝cos0＋e0＝2. 所以函數(shù)y＝sinx＋ex的圖像上一點(0,1)處的切線的斜率為2. 7．函數(shù)f(x)＝x3的斜率等于1的切線有(　　 ) A．1條 B．2條 C．3條 D．不確定 答案　B 解析　∵f′(x)＝3x2，設切點為(x0，y0)，則3x＝1，得x0＝，即在點和點處有斜率為1的切線． 8．在下面的四個圖像中，其中一個圖像是函數(shù)f(x)＝x3＋ax2＋(a2－1)x＋1(a≠0)的導函數(shù)y＝f′(x)的圖像，則f(－1)等于(　　) A.B．－C.D．－或 考點　導數(shù)的應用 題點　導數(shù)的應用 答案　B 解析　∵f′(x)＝x2＋2ax＋(a2－1)， ∴導函數(shù)f′(x)的圖像開口向上． 又∵a≠0，∴f′(x)不是偶函數(shù)， 其圖像不關于y軸對稱， 故其圖像必為③. 由圖像特征知f′(0)＝0，且對稱軸－a>0， ∴a＝－1，則f(－1)＝－－1＋1＝－，故選B. 二、填空題 9．已知函數(shù)f(x)＝f′cosx＋sinx，則f的值為________． 考點　導數(shù)的應用 題點　導數(shù)的應用 答案　1 解析　∵f′(x)＝－f′sinx＋cosx， ∴f′＝－f′＋， 得f′＝－1. ∴f(x)＝(－1)cosx＋sinx， ∴f＝1. 10．曲線y＝f(x)＝xex＋2x＋1在點(0,1)處的切線方程為________． 考點　導數(shù)的應用 題點　導數(shù)的應用 答案　3x－y＋1＝0 解析　f′(x)＝ex＋xex＋2，k＝f′(0)＝e0＋0＋2＝3， 所以切線方程為y－1＝3(x－0)，即3x－y＋1＝0. 11．已知f(x)＝x(x＋1)(x＋2)(x＋3)(x＋4)(x＋5)＋6，則f′(0)＝________. 考點　導數(shù)的運算法則 題點　導數(shù)乘法法則及運算 答案　120 解析　因為f(x)＝x(x＋1)(x＋2)(x＋3)(x＋4)(x＋5)＋6， 所以f′(x)＝(x＋1)(x＋2)(x＋3)(x＋4)(x＋5)＋x[(x＋1)(x＋2)(x＋3)(x＋4)(x＋5)]′， 所以f′(0)＝12345＝120. 三、解答題 12．若曲線y＝x2－ax＋lnx存在垂直于y軸的切線，求實數(shù)a的取值范圍． 考點　導數(shù)的應用 題點　導數(shù)的應用 解　∵y＝x2－ax＋lnx，∴y′＝2x－a＋， 由題意可知存在實數(shù)x>0使得2x－a＋＝0， 即a＝2x＋成立， ∴a＝2x＋≥2 . ∴實數(shù)a的取值范圍是[2，＋∞)． 13．已知函數(shù)f(x)＝ax2＋bx＋3(a≠0)，其導函數(shù)f′(x)＝2x－8. (1)求a，b的值； (2)設函數(shù)g(x)＝exsinx＋f(x)，求曲線g(x)在x＝0處的切線方程． 考點　導數(shù)的應用 題點　導數(shù)的應用 解　(1)因為f(x)＝ax2＋bx＋3(a≠0)， 所以f′(x)＝2ax＋b， 又f′(x)＝2x－8，所以a＝1，b＝－8. (2)由(1)可知g(x)＝exsinx＋x2－8x＋3， 所以g′(x)＝exsinx＋excosx＋2x－8， 所以g′(0)＝e0sin0＋e0cos0＋20－8＝－7， 又g(0)＝3， 所以曲線g(x)在x＝0處的切線方程為y－3＝－7(x－0)， 即7x＋y－3＝0. 14．已知點P在曲線y＝上，α為曲線在點P處的切線的傾斜角，則α的取值范圍是________． 考點　導數(shù)的應用 題點　導數(shù)的應用 答案　 解析　y′＝－＝－， 設t＝ex∈(0，＋∞)，則y′＝－＝－， ∵t＋≥2(當且僅當t＝1時，等號成立)， ∴y′∈[－1,0)，α∈. 15．設函數(shù)f(x)＝ax－，曲線y＝f(x)在點(2，f(2))處的切線方程為7x－4y－12＝0. (1)求f(x)的解析式； (2)證明：曲線y＝f(x)上任一點處的切線與直線x＝0和直線y＝x所圍成的三角形的面積為定值，并求此定值． 考點　導數(shù)的應用 題點　導數(shù)的應用 解　(1)由7x－4y－12＝0，得y＝x－3. 當x＝2時，y＝，∴f(2)＝，① 又f′(x)＝a＋，∴f′(2)＝，② 由①②得解得 故f(x)＝x－. (2)設P(x0，y0)為曲線上任一點，由y′＝1＋知，曲線在點P(x0，y0)處的切線方程為 y－y0＝(x－x0)， 即y－＝(x－x0)． 令x＝0，得y＝－， 從而得切線與直線x＝0的交點坐標為. 令y＝x，得y＝x＝2x0，從而得切線與直線y＝x的交點坐標為(2x0,2x0)． 所以點P(x0，y0)處的切線與直線x＝0，y＝x所圍成的三角形面積為|2x0|＝6. 故曲線y＝f(x)上任一點處的切線與直線x＝0，y＝x所圍成的三角形的面積為定值， 此定值為6.