（天津?qū)Ｓ茫?020版高考數(shù)學(xué)大一輪復(fù)習(xí) 5.1 平面向量的概念及線性運(yùn)算、平面向量基本定理及坐標(biāo)表示精練.docx

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5.1　平面向量的概念及線性運(yùn)算、平面向量基本定理及坐標(biāo)表示 【真題典例】 挖命題 【考情探究】 考點(diǎn) 內(nèi)容解讀 5年考情 預(yù)測(cè)熱度 考題示例 考向 關(guān)聯(lián)考點(diǎn) 1.平面向量的基本概念與線性運(yùn)算 1.了解向量的實(shí)際背景 2.理解平面向量的概念,理解兩個(gè)向量相等的含義 3.理解向量的幾何表示 4.掌握向量加法、減法的運(yùn)算,并理解其幾何意義 2017天津,13 向量的線性運(yùn)算和幾何意義 平面向量的數(shù)量積 ★★☆ 2009天津,15 兩個(gè)向量相等的含義 利用數(shù)量積求兩向量的夾角 2.向量共線問題 掌握向量數(shù)乘的運(yùn)算及其幾何意義,理解兩個(gè)向量共線的含義 2016課標(biāo)Ⅱ,13 向量平行 向量的坐標(biāo)運(yùn)算 ★☆☆ 3.平面向量基本定理 了解平面向量基本定理及其意義 2014福建,8 平面向量基本定理 平面向量的坐標(biāo)表示 ★★☆ 4.平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算 1.掌握平面向量的正交分解及其坐標(biāo)表示 2.會(huì)用坐標(biāo)表示平面向量的加法、減法和數(shù)乘運(yùn)算 3.理解用坐標(biāo)表示的平面向量共線的條件 2012天津,8 平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算 利用坐標(biāo)表示向量的模 ★★★ 分析解讀　　高考對(duì)本節(jié)內(nèi)容的考查以選擇題和填空題為主,重點(diǎn)考查向量的概念、幾何表示、向量的加減法、實(shí)數(shù)與向量的積、兩個(gè)向量共線的充要條件和向量的坐標(biāo)運(yùn)算,此類問題一般難度不大.向量的有關(guān)概念、向量的線性運(yùn)算、平面向量基本定理、向量的坐標(biāo)運(yùn)算等知識(shí)是平面向量的基礎(chǔ),高考主要考查基礎(chǔ)運(yùn)用,其中線性運(yùn)算、坐標(biāo)運(yùn)算、平面向量基本定理是高考的重點(diǎn)與熱點(diǎn),要熟練掌握. 破考點(diǎn) 【考點(diǎn)集訓(xùn)】 考點(diǎn)一　平面向量的基本概念與線性運(yùn)算 1.向量a=(2,-9),b=(-3,3),則與a-b同向的單位向量為(　　) A.513,-1213　　　　B.-513,1213　　　　C.1213,-513　　　　D.-1213,513 答案　A　 2.在△ABC中,G為重心,記a=AB,b=AC,則CG=(　　) A.13a-23b　　　　B.13a+23b　　　　C.23a-13b　　　　D.23a+13b 答案　A　 3.M是△ABC所在平面內(nèi)一點(diǎn),23MB+MA+MC=0,D為AC中點(diǎn),則|MD||BM|的值為(　　) A.12　　　　B.13　　　　C.1　　　　D.2 答案　B　 考點(diǎn)二　向量共線問題 4.已知向量a=(1,1),點(diǎn)A(3,0),點(diǎn)B在直線y=2x上,若AB∥a,則點(diǎn)B的坐標(biāo)為　　　　. 答案　(-3,-6) 考點(diǎn)三　平面向量基本定理 5.D是△ABC所在平面內(nèi)一點(diǎn),AD=λAB+μAC(λ,μ∈R),則“0<λ<1,0<μ<1”是“點(diǎn)D在△ABC內(nèi)部(不含邊界)”的(　　) A.充分不必要條件 B.必要不充分條件　　　　C.充要條件 D.既不充分也不必要條件 答案　B　 6.已知△OAB,若點(diǎn)C滿足AC=2CB,OC=λOA+μOB(λ,μ∈R),則1λ+1μ=(　　) A.13　　　　B.23　　　　　　　　C.29　　　　D.92 答案　D　 7.如圖所示,矩形ABCD的對(duì)角線相交于點(diǎn)O,E為AO的中點(diǎn),若DE=λAB+μAD(λ,μ為實(shí)數(shù)),則λ2+μ2=(　　) A.58　　　　B.14　　　　　　　　C.1　　　　D.516 答案　A　 考點(diǎn)四　平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算 8.已知向量a=(2,m),b=(1,1),若ab=|a-b|,則實(shí)數(shù)m=(　　) A.12　　　　B.-12　　　　C.13　　　　D.-13 答案　D　 9.已知向量a=(1,t),b=(t,9),若a∥b,則t=　　　　. 答案　3 煉技法 【方法集訓(xùn)】 方法1　平面向量的線性運(yùn)算技巧 1.在△ABC中,點(diǎn)D滿足AD=2AB-AC,則(　　) A.點(diǎn)D不在直線BC上　　　　B.點(diǎn)D在BC的延長(zhǎng)線上　　　　 C.點(diǎn)D在線段BC上　　　　D.點(diǎn)D在CB的延長(zhǎng)線上 答案　D　 2.(2013四川,12,5分)在平行四邊形ABCD中,對(duì)角線AC與BD交于點(diǎn)O,AB+AD=λAO,則λ=　　　　. 答案　2 方法2　向量共線問題的解決方法 3.已知向量a=(x,1),b=(3,-2),若a∥b,則x=(　　) A.-3　　　　B.-32　　　　C.23　　　　D.32 答案　B　 4.向量a,b,c在正方形網(wǎng)格中的位置如圖所示.若向量λa+b與c共線,則實(shí)數(shù)λ=(　　) A.-2　　　　B.-1　　　　C.1　　　　D.2 答案　D　 5.在△ABC中,過中線AD的中點(diǎn)E作一條直線分別交AB,AC于M,N兩點(diǎn),若AM=xAB,AN=yAC(x>0,y>0),則4x+y的最小值為　　　　. 答案　94 方法3　平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算的解題策略 6.已知向量a=(1,2),b=(0,-2),c=(-1,λ),若(2a-b)∥c,則實(shí)數(shù)λ=(　　) A.-3　　　　B.13　　　　C.1　　　　D.3 答案　A　 7.已知O為坐標(biāo)原點(diǎn),向量OA=(2,3),OB=(4,-1),且AP=3PB,則|OP|=　　　　. 答案　72 過專題 【五年高考】 A組　自主命題天津卷題組 1.(2017天津,13,5分)在△ABC中,∠A=60,AB=3,AC=2.若BD=2DC,AE=λAC-AB(λ∈R),且ADAE=-4,則λ的值為　　　　. 答案　311 2.(2012天津,8,5分)已知直角梯形ABCD中,AD∥BC,∠ADC=90,AD=2,BC=1,P是腰DC上的動(dòng)點(diǎn),則|PA+3PB|的最小值為　　　　. 答案　5 3.(2009天津,15,4分)在四邊形ABCD中,AB=DC=(1,1),1|BA|BA+1|BC|BC=3|BD|BD,則四邊形ABCD的面積為　　　　. 答案　3 B組　統(tǒng)一命題、省(區(qū)、市)卷題組 考點(diǎn)一　平面向量的基本概念與線性運(yùn)算 1.(2018課標(biāo)Ⅰ,6,5分)在△ABC中,AD為BC邊上的中線,E為AD的中點(diǎn),則EB=(　　) A.34AB-14AC　　　　B.14AB-34AC　　　　C.34AB+14AC　　　　D.14AB+34AC 答案　A　 2.(2015課標(biāo)Ⅰ,7,5分)設(shè)D為△ABC所在平面內(nèi)一點(diǎn),BC=3CD,則(　　) A.AD=-13AB+43AC　　　　B.AD=13AB-43AC　　　　C.AD=43AB+13AC　　　　D.AD=43AB-13AC 答案　A　 3.(2014課標(biāo)Ⅰ,15,5分)已知A,B,C為圓O上的三點(diǎn),若AO=12(AB+AC),則AB與AC的夾角為　　　　. 答案　90 考點(diǎn)二　向量共線問題 1.(2015四川,2,5分)設(shè)向量a=(2,4)與向量b=(x,6)共線,則實(shí)數(shù)x=(　　) A.2　　　　B.3　　　　C.4　　　　D.6 答案　B　 2.(2017山東,11,5分)已知向量a=(2,6),b=(-1,λ).若a∥b,則λ=　　　　. 答案　-3 3.(2016課標(biāo)Ⅱ,13,5分)已知向量a=(m,4),b=(3,-2),且a∥b,則m=　　　　. 答案　-6 考點(diǎn)三　平面向量基本定理 1.(2014福建,8,5分)在下列向量組中,可以把向量a=(3,2)表示出來的是(　　) A.e1=(0,0),e2=(1,2)　　　　B.e1=(-1,2),e2=(5,-2)　　　 C.e1=(3,5),e2=(6,10)　　　D.e1=(2,-3),e2=(-2,3) 答案　B　 2.(2015課標(biāo)Ⅱ,13,5分)設(shè)向量a,b不平行,向量λa+b與a+2b平行,則實(shí)數(shù)λ=　　　　. 答案　12 考點(diǎn)四　平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算 1.(2017課標(biāo)Ⅲ,12,5分)在矩形ABCD中,AB=1,AD=2,動(dòng)點(diǎn)P在以點(diǎn)C為圓心且與BD相切的圓上.若AP=λAB+μAD,則λ+μ的最大值為(　　) A.3　　　　B.22　　　　C.5　　　　D.2 答案　A　 2.(2016課標(biāo)Ⅱ,3,5分)已知向量a=(1,m),b=(3,-2),且(a+b)⊥b,則m=(　　) A.-8　　　　B.-6　　　　C.6　　　　D.8 答案　D　 3.(2014廣東,3,5分)已知向量a=(1,2),b=(3,1),則b-a=(　　) A.(-2,1)　　　　B.(2,-1)　　　　C.(2,0)　　　　D.(4,3) 答案　B　 4.(2018課標(biāo)Ⅲ,13,5分)已知向量a=(1,2),b=(2,-2),c=(1,λ).若c∥(2a+b),則λ=　　　　. 答案　12 5.(2015江蘇,6,5分)已知向量a=(2,1),b=(1,-2),若ma+nb=(9,-8)(m,n∈R),則m-n的值為　　　　. 答案　-3 C組　教師專用題組 1.(2015安徽,8,5分)△ABC是邊長(zhǎng)為2的等邊三角形,已知向量a,b滿足AB=2a,AC=2a+b,則下列結(jié)論正確的是(　　) A.|b|=1　　　　B.a⊥b　　　　C.ab=1　　　　D.(4a+b)⊥BC 答案　D　 2.(2015陜西,7,5分)對(duì)任意向量a,b,下列關(guān)系式中不恒成立的是(　　) A.|ab|≤|a||b|　　　　B.|a-b|≤||a|-|b||　　　　C.(a+b)2=|a+b|2　　　　D.(a+b)(a-b)=a2-b2 答案　B　 3.(2014課標(biāo)Ⅰ,6,5分)設(shè)D,E,F分別為△ABC的三邊BC,CA,AB的中點(diǎn),則EB+FC=(　　) A.AD　　　　B.12AD C.BC　　　　D.12BC 答案　A　 4.(2014福建文,10,5分)設(shè)M為平行四邊形ABCD對(duì)角線的交點(diǎn),O為平行四邊形ABCD所在平面內(nèi)任意一點(diǎn),則OA+OB+OC+OD等于(　　) A.OM　　　　B.2OM　　　　C.3OM　　　　D.4OM 答案　D　 【三年模擬】 一、選擇題(每小題5分,共25分) 1.(2019屆天津耀華中學(xué)統(tǒng)練(2),2)已知A、B、C、D是平面內(nèi)任意四點(diǎn),現(xiàn)給出下列式子: ①AB+CD=BC+DA;②AC+BD=BC+AD;③AC-BD=DC+AB.其中正確的有(　　) A.0個(gè)　　　　B.1個(gè)　　　　C.2個(gè)　　　　D.3個(gè) 答案　C　 2.(2017天津河北一模,7)若O為△ABC所在平面內(nèi)的任一點(diǎn),且滿足(OB-OC)(OB+OC-2OA)=0,則△ABC的形狀為(　　) A.直角三角形　　　　B.等腰三角形　　　　C.等腰直角三角形　　　　D.等邊三角形 答案　B　 3.(2018天津和平一模,7)如圖,在直角梯形ABCD中,AB∥DC,AD⊥DC,AD=DC=2AB,E為AD的中點(diǎn),若CA=λCE+μDB(λ,μ∈R),則λ+μ的值為(　　) A.65　　　　B.85　　　　C.2　　　　D.83 答案　B　 4.(2018天津河?xùn)|一模,7)設(shè)P是△ABC邊BC上的任意一點(diǎn),Q為AP的中點(diǎn),若AQ=λAB+μAC(λ,μ∈R),則λ+μ=(　　) A.14　　　　B.13　　　　C.12　　　　D.1 答案　C　 5.(2018天津和平二模,7)如圖,在平行四邊形ABCD中,已知DE=12EC,BF=2FC,G為線段EF上的一點(diǎn),且EG=12GF,AG=λAB+μAD(λ,μ∈R),則λμ的值為(　　) A.25　　　　B.12　　　　C.47　　　　D.58 答案　D　 二、填空題(每小題5分,共45分) 6.(2018天津河西二模,13)在△ABC中,∠A=60,|AC|=2,點(diǎn)D在邊AB上,點(diǎn)E在邊BC上,AD=12AB,BE=23BC,若DEBC=83,則|AB|=　　　　. 答案　5 7.(2019屆天津第二十中學(xué)第三次月考,7)已知正方形ABCD的邊長(zhǎng)為2,E為BC的中點(diǎn),DF=2FC,則AEBF=　　　　. 答案　23 8.(2018天津部分區(qū)縣二模,14)在△ABC中,AB=62,AC=6,∠BAC=π4,點(diǎn)D滿足BD=23BC,點(diǎn)E在線段AD上運(yùn)動(dòng)(不包括端點(diǎn)),若AE=λAB+μAC(λ,μ∈R),則3λ+13μ取得最小值時(shí),AE的模為　　　　. 答案　25 9.(2018天津南開中學(xué)第六次月考,13)在平行四邊形ABCD中,AB=3,AD=2,∠BAD=120,P是平行四邊形ABCD內(nèi)的一點(diǎn),且AP=1,若AP=xAB+yAD,則3x+2y的最大值為　　　　. 答案　2 10.(2018天津耀華中學(xué)一模,13)如圖,在等腰梯形ABCD中,AB∥CD,AD=DC=CB=12AB=1,F是BC的中點(diǎn),點(diǎn)P在以A為圓心,AD為半徑的圓弧DE上變動(dòng),E為圓弧DE與AB的交點(diǎn),若AP=λED+μAF,其中λ,μ∈R,則2λ+μ的取值范圍是　　　　. 答案　[0,2] 11.(2017天津河?xùn)|二模,14)如圖,在△ABC中,點(diǎn)M在線段AC上,點(diǎn)P在線段BM上,且滿足AMMC=MPPB=2,若|AB|=2,|AC|=3,∠BAC=120,則APBC的值為　　　　. 答案　-2 12.(2017天津?qū)嶒?yàn)中學(xué)熱身訓(xùn)練,13)已知△ABC的外接圓圓心為P,若點(diǎn)P滿足AP=25(AB+AC),則cos∠BAC=　　　. 答案　14 13.(2017天津新華中學(xué)模擬,14)在平面內(nèi),定點(diǎn)A,B,C,D滿足|DA|=|DB|=|DC|,DADB=DBDC=DCDA=-2,動(dòng)點(diǎn)P,M滿足|AP|=1,PM=MC,則|BM|2的最大值是　　　　. 答案　494 14.(2017天津耀華中學(xué)二模,14)已知函數(shù)f(x)=|MP-xMN|(x∈R),其中MN是半徑為4的圓O的一條弦,O為原點(diǎn),P為單位圓O上的點(diǎn),設(shè)函數(shù)f(x)的最小值為t,當(dāng)點(diǎn)P在單位圓上運(yùn)動(dòng)時(shí),t的最大值為3,則線段MN的長(zhǎng)度為　　　　. 答案　43 三、解答題(共10分) 15.(2019屆天津河西期中,19)設(shè)平面內(nèi)的向量OA=(-1,-3),OB=(5,3),OM=(2,2),點(diǎn)P在直線OM上,且PAPB=-16,其中O為坐標(biāo)原點(diǎn). (1)求OP的坐標(biāo); (2)求∠APB的余弦值; (3)設(shè)t∈R,求|OA+tOP|的最小值. 解析　(1)設(shè)P(x,y),由點(diǎn)P在直線OM上,可知OP與OM共線,而OM=(2,2), ∴2x-2y=0,即x=y,∴P(x,x). ∴PA=OA-OP=(-1-x,-3-x),PB=OB-OP=(5-x,3-x), ∴PAPB=(-1-x)(5-x)+(-3-x)(3-x) =2x2-4x-14=-16?x=1, ∴P(1,1),則OP=(1,1). (2)由(1)得P(1,1),PA=(-2,-4),PB=(4,2), ∴|PA|=(-2)2+(-4)2=25, |PB|=42+22=25, ∴cos=PAPB|PA||PB|=-45. ∴∠APB的余弦值為-45. (3)OA+tOP=(-1,-3)+(t,t)=(t-1,t-3), ∴|OA+tOP|=(t-1)2+(t-3)2=2t2-8t+10=2(t-2)2+2. 當(dāng)t=2時(shí),|OA+tOP|min=2.