高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí) 第10單元第62講 直線與圓錐曲線的位置關(guān)系課件 理 湘教版

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1、121能用坐標(biāo)法解決簡(jiǎn)單的直線與圓錐 曲線的位置關(guān)系等問(wèn)題2理解數(shù)形結(jié)合思想、方程思想的應(yīng)用321 2.8 ,4yx過(guò)點(diǎn)作直線與拋物線只有一個(gè)公共點(diǎn)，這樣的直線有( )1 .2.3 .4ABCD 條條條 條B42.若ab且ab0,則直線ax-y+b=0和二次曲線bx2+ay2=ab的位置關(guān)系可能是( )C522xyaa 由已知，直線方程可化為y=ax+b,其中a為斜率,b為縱截距，二次曲線方程可化為 =1，應(yīng)用淘汰法可知A、B、D均自相矛盾.故選C.解析622 13.194xyykxk直線與橢圓的位置關(guān)系為( ) ABCD相交相切相離不確定A722 248024. ykxxyPQPQPQ 直線

2、與橢圓相交于不同的兩點(diǎn) 、 ，若的中點(diǎn)的橫坐標(biāo)為 ，則弦長(zhǎng)等于解析22221122122121222122212122,4801416640.16()()22141644322141 6 5. 14ykxyxykxkxkP xyQ xyxxkkxxx xkPQkxxkxxx x 由于消去 整理得，設(shè)，則，得，從而，因此6 58222244()15. 54mxnyOxyxymn 若直線和圓 ：沒(méi)有公共點(diǎn)， 則過(guò)點(diǎn)， 的直線與橢圓的交點(diǎn)個(gè)數(shù) 為2291直線與圓錐曲線的位置關(guān)系的判定(1)直線與橢圓的位置關(guān)系的判定方法 將直線方程與橢圓方程聯(lián)立，消去一個(gè)未知數(shù)，得到一個(gè)一元二次方程，若 0，則直線與

3、橢圓_；若 =0，則直線與橢圓_；若 b0)的一條弦，M(x0，y0)是AB的中點(diǎn)，則 =_， =_.點(diǎn)差法求弦的斜率的步驟是：()將端點(diǎn)坐標(biāo)代入方程： ；()兩等式對(duì)應(yīng)相減： .()分解因式整理： 2222xyabABkABOMkk22221122222211xyxyabab，2222121222220 xxyyaabb22012122212120.ABb xyybxxkxxayya y 2020b xa y22ba13(2)運(yùn)用類比的方法可以推出：已知AB是雙曲線 - =1的弦，弦AB的中點(diǎn)為M( ， )，則 =_.已知拋物線 =2px(p0)的弦AB的中點(diǎn)為M( )，則 =_. 22xa

4、22yb0 x0yABk2y00 xy，ABk2020b xa y0py143弦長(zhǎng)公式15題型一 直線與圓錐曲線的位置關(guān)系例1 22222212 (201130330)1lyk xxyaaABxCOkak設(shè)直線 ：與橢圓相交于 、 兩個(gè)不同的點(diǎn)，與 軸相交于點(diǎn)棗莊模擬，記 為坐標(biāo)原點(diǎn)證明：；若OAB求的面積的最大值分析 120(1)2OABSOC yy聯(lián)立方程、消元、利用易證結(jié)合條件分析出易求16解析 22222222222220001011.11312(3)10. 21()4(3) 103 .13 1kaakyk xxykxyxyaxkyyakklakkkak 證明：依題意，當(dāng)時(shí)，由知，顯然

5、成立當(dāng)時(shí)，可化為將代入，消去 ，得由直線 與橢圓相交于兩個(gè)不同的點(diǎn)，得，化簡(jiǎn)整理得原命題得證17 1122122112212()()1,02 13( 1)(1)22. 2 A xyB xyCkyykACxyCBxyACCByy 設(shè)，由題意知 由得， 因?yàn)椋?由，得 由聯(lián)立，解得2212222213133| 22133|3 .22 3 |3132.OABkykkOABSOCyyykkkkS，的面積上式取等號(hào)的條件是，所以的最大值為18 評(píng)析 在討論直線和圓錐曲線的位置關(guān)系時(shí)，先聯(lián)立方程組，再消去x(或y)，得到關(guān)于y(或x)的方程，如果是直線與圓或橢圓，則所得方程一定為一元二次方程；如果是直線與

6、雙曲線或拋物線，則需討論二次項(xiàng)系數(shù)等于零和不等于零兩種情況，只有二次方程才有判別式，另外還應(yīng)注意斜率不存在的情形22221,21,2C xyPPllC 已知雙曲線 ：與點(diǎn)，求過(guò)點(diǎn)的直線 的斜率的取值范圍，使 與 分別有一個(gè)交點(diǎn)，兩個(gè)交點(diǎn)，沒(méi)有交點(diǎn)19素材1解析 2222221222460. *22*lxlxlyk xCkxkk xkkkk 當(dāng) 垂直 軸時(shí)，此時(shí)直線與雙曲線相切當(dāng) 不與 軸垂直時(shí)，設(shè)直線 的方程為，代入雙曲線 的方程中，并整理得：當(dāng)，即時(shí)為一次方程，顯然只有一解；202222232232222424 2464832 .3023048320230483222320.2kkklCkk

7、klCkkkkkkkkkkkkklC 當(dāng)時(shí)，令，可解得；令 ，即 ，此時(shí) ；令 ，即所以當(dāng)或或 不存在時(shí)， 與 只有一個(gè)公共點(diǎn)當(dāng) 或 或 時(shí)，此時(shí)與 有兩個(gè)交點(diǎn)當(dāng) 時(shí)， 與 沒(méi)；有交點(diǎn)21題型二 弦長(zhǎng)及中點(diǎn)弦問(wèn)題例2 21.142lyxABABFlAB 設(shè)過(guò)原點(diǎn)的直線 與拋物線交于 、兩點(diǎn)，且以為直徑的圓恰好過(guò)拋物線的焦點(diǎn)求：直線 的方程；的長(zhǎng)分析 .102k要注意討論斜率 是否為利用弦長(zhǎng)公式22 222112212122211222,04(1)440.00.44()().0(1)(2)(12)AFBFlykxFyxk xxykxklxkA xyB xyxxx xkkAFBFAF BFkkAF

8、xyBFxy 設(shè) ：，拋物線的焦點(diǎn)， 由 當(dāng)時(shí)， 與 軸重合，不合題意，所以 設(shè)，則， 因?yàn)椋曰蛴茫?又，2121212240222.2k x xx xxxyklx 得， 代入得，所以 ：解析23 1212221212188144 3 4 3 .2xxx xABkxxBxxA 由得，弦以的長(zhǎng)為 所評(píng)析()xy 求直線被二次曲線截得的弦長(zhǎng)，通常是將直線與二次曲線方程聯(lián)立，得到關(guān)于 或 的一元二次方程，然后利用韋達(dá)定理及弦長(zhǎng)公式求解“”“2,3 ABFABl 本例中將 以為直徑的圓恰好過(guò)拋物線的焦點(diǎn)改為的中點(diǎn)為，求 的方程24素材2解析1122211222121212121212()()4(1

9、)4(1) 423232.3lA xyB xyyxyxyyyyxxyyyykxxlyx設(shè)，則，得，因?yàn)椋?，故直線 的方程為25評(píng)析 1122112212 ()“”)(lCABA xyB xyxyxy有關(guān)弦中點(diǎn)的軌跡、中點(diǎn)弦所在直線的方程、中點(diǎn)坐標(biāo)問(wèn)題，一般采用如下兩種方法：若直線 與圓錐曲線 有兩個(gè)交點(diǎn)和 ，一般地，首先設(shè)出交點(diǎn)坐標(biāo)，其中有四個(gè)參數(shù) ， ， ， ，它們只是過(guò)渡性符號(hào)，通常是不需要具體求出的，但有利于用韋達(dá)定理等解決問(wèn)題，是直線與圓錐曲線位置關(guān)系中常用的設(shè)而不求 的方法作方法在差法給定的圓錐1122112212121212()0()()()()0()022ABf xymnAB

10、A xyB xyABf xyf xyyyxxmyynkxxAB曲線，中，求中點(diǎn)為， 的弦所在直線方程時(shí)，一般可設(shè)，利用 ， 在曲線上，得，及，故可求出斜率，最后由點(diǎn)斜式寫出直線的方程262212 過(guò)點(diǎn)(1,0)的直線l與中心在原點(diǎn)，焦點(diǎn)在x軸上且離心率為 的橢圓C相交于A、B兩點(diǎn)，直線y= x過(guò)線段AB的中點(diǎn)，同時(shí)橢圓C上存在一點(diǎn)與右焦點(diǎn)關(guān)于直線l對(duì)稱，試求直線l與橢圓C的方程.題型三 直線與圓錐曲線的綜合問(wèn)題例3272212ca222aba121212yyxx12122()xxyy002xy1212 (方法一)由e= = ,得 = ,從而a2=2b2,c=b.設(shè)橢圓的方程為x2+2y2=2b

11、2,A(x1,y1),B(x2,y2)在橢圓上.則x12+2y12=2b2,x22+2y22=2b2,兩式相減得，(x12-x22)+2(y12-y22)=0,即 =- .設(shè)線段AB的中點(diǎn)為(x0,y0)，則kAB=- .又(x0,y0)在直線y= x上，所以 = x0，解析0y28于是- =-1,故kAB=-1,所以直線l的方程為y=-x+1.設(shè)右焦點(diǎn)(b,0)關(guān)于直線l的對(duì)稱點(diǎn)為(x,y), =1 x=1 y=1-b.由點(diǎn)(1,1-b)在橢圓上，得1+2(1-b)2=2b2,則b2= ,故a2= .所以所求橢圓C的方程為 =1,直線l的方程為y=-x+1.002xy則,解得yxb122yx

12、b 916982281699xy29(方法二)由e= = ，得 = ,從而a2=2b2,c=b.設(shè)橢圓C的方程為x2+2y2=2b2,直線l的方程為y=k(x-1).將直線l的方程代入橢圓C的方程，得(1+2k2)x2-4k2x+2k2-2b2=0,則x1+x2= ,故y1+y2=k(x1-1)+k(x2-1)=k(x1+x2)-2k=- .22ca222aba1222412kk2212kk30直線l:y= x過(guò)線段AB的中點(diǎn)( , ),則 = ,解得k=0或k=-1.若k=0,則直線l的方程為y=0,焦點(diǎn)F(c,0)關(guān)于直線l的對(duì)稱點(diǎn)就是F點(diǎn)本身，不可能在橢圓C上，所以k=0舍去，從而k=-

13、1，故直線l的方程為y=-(x-1),即y=-x+1,以下同方法一.122xx12212yy212kk2212212kk311212 由題設(shè)情境中點(diǎn)在直線y= x上，聯(lián)想“點(diǎn)差法”，從而應(yīng)用點(diǎn)差法及點(diǎn)在直線y= x上而求得直線l的方程，進(jìn)一步應(yīng)用對(duì)稱的幾何性質(zhì)求得“對(duì)稱點(diǎn)”，利用“對(duì)稱點(diǎn)”在橢圓上求得橢圓方程，同時(shí)應(yīng)注意，涉及弦的中點(diǎn)與弦的斜率問(wèn)題常?？蓱?yīng)用“點(diǎn)差法”求解.評(píng)析292yxMNykxk 在已知拋物線上存在兩個(gè)不同的點(diǎn)、關(guān)于直線對(duì)稱，求 的取值范圍32素材3分析92190.2920MNykxMNyxbkMNykxMNykxbk 拋物線上兩點(diǎn)、 關(guān)于直線對(duì)稱，則直線的方程可設(shè)為，代入

14、拋物線方程中，可知又線段的中點(diǎn)在直線上，由根與系數(shù)的關(guān)系可得線段的中點(diǎn)，代入可得 與 的關(guān)系式，結(jié)合求解33解析22112222121212221212222212122()()11.9194.222221()4()222111.164411()(44M xxN xxlxxMNlxxxxkkMNlxxxxkkkxxxxkkkkk 設(shè)，、，關(guān)于已知直線 對(duì)稱，所以，所以，即又的中點(diǎn)在 上，所以因?yàn)橹悬c(diǎn)必在拋物線開口內(nèi),所以，即，所實(shí)數(shù) 的取值以，則或故所是求范圍，) ，34 22 12.211lykxC xyABkkABCFk直線 ：與雙曲線 ：的右支交于不同的兩點(diǎn) 、求實(shí)數(shù) 的取值范圍；是否存

15、在實(shí)數(shù) ，使得以線段為直徑的圓經(jīng)過(guò)雙曲線 的右焦點(diǎn) ？若存在，求出 的值；若不存在，說(shuō)明理由解析 2222 11212220. lykxCxykxkxlC將直線 的方程代入雙曲線 的方程后，整理得依題意，直線 與雙曲線 的右支交于不同兩點(diǎn)，35 112222() (2.)kABxyxyk 解得 的取值范圍是設(shè) 、 兩點(diǎn)的坐標(biāo)分別為，、 ， ， 則由式得36121212122212122,00.110110. 652 660.26666( 2)()56655kABCF cFAFBxcxcy yxcxckxkxkx xkcxxcckkkkACkB 假設(shè)存在實(shí)數(shù) ，使得以線段為直徑的圓經(jīng)過(guò)雙曲線 的

16、右焦點(diǎn)則由，得即，整理得把式及代入式化簡(jiǎn)得解得或， 舍去 可知使得以線段為直徑的圓經(jīng)過(guò)雙曲線的右焦點(diǎn)1(0)xkk本例主要涉及的知識(shí)有直線、雙曲線的方程和性質(zhì)，曲線與方程的關(guān)系，及其綜合應(yīng)用能力直線交雙曲線右支，聯(lián)立方程后得到的關(guān)于 的方程的根分布的區(qū)間 ，上，由一元二次方程根分布的區(qū)間的充要條件得到了關(guān)于 的不等式組，可求出 的取評(píng)析：值范圍 22kABCFFAFBkk問(wèn)題中，假設(shè)存在實(shí)數(shù) ，使得以線段為直徑的圓經(jīng)過(guò)雙曲線 的右焦點(diǎn) ，這時(shí)用了圓的幾何性質(zhì)，再轉(zhuǎn)化為坐標(biāo)之間的關(guān)系，結(jié)合韋達(dá)定理，得到的方程，求出 值391.直線與圓錐曲線位置關(guān)系探究方法.直線與圓錐曲線的位置關(guān)系，從幾何角度來(lái)

17、看有三種：相離、相交和相切.從代數(shù)角度一般通過(guò)他們的方程來(lái)研究：設(shè)直線l:Ax+By+C=0，二次曲線C:f(x,y)=0.聯(lián)立方程組 Ax+By+C=0 f(x,y)=0,消去y(或x)得到一個(gè)關(guān)于x(或y)的方程ax2+bx+c=0(或ay2+by+c=0)，然后利用方程根的個(gè)數(shù)判定，同時(shí)應(yīng)注意如下五種情況：40(1)對(duì)于橢圓來(lái)說(shuō)，a不可能為0，即直線與橢圓有一個(gè)公共點(diǎn)，直線與橢圓必相切；反之，直線與橢圓相切，則直線與橢圓必有一個(gè)公共點(diǎn).(2)對(duì)于雙曲線來(lái)說(shuō)，當(dāng)直線與雙曲線有一個(gè)公共點(diǎn)時(shí)，除了直線與雙曲線相切外，還有直線與雙曲線相交，此時(shí)直線與雙曲線的漸近線平行.(3)對(duì)于拋物線來(lái)說(shuō)，當(dāng)直

18、線與拋物線有一個(gè)公共點(diǎn)時(shí)，除了直線與拋物線相切外，還有直線與拋物線相交，此時(shí)直線與拋物線的對(duì)稱軸平行或重合.41(4)0直線與雙曲線相交，但直線與雙曲線相交不一定有0，當(dāng)直線與雙曲線的漸近線平行時(shí)，直線與雙曲線相交且只有一個(gè)交點(diǎn)，故0是直線與雙曲線相交的充分條件，但不是必要條件.(5)0直線與拋物線相交，但直線與拋物線相交不一定有0,當(dāng)直線與拋物線的對(duì)稱軸平行時(shí)，直線與拋物線相交且只有一個(gè)交點(diǎn)，故0也僅是直線與拋物線相交的充分條件，但不是必要條件.422.數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用.要注意數(shù)形結(jié)合思想的運(yùn)用.在做題時(shí)，最好先畫出草圖，注意觀察、分析圖形的特征，將形與數(shù)結(jié)合起來(lái).特別地：(1)過(guò)雙曲線

19、外一點(diǎn)P(x0,y0)的直線與雙曲線只有一個(gè)公共點(diǎn)的情況如下：P點(diǎn)在兩條漸近線之間且不含雙曲線的區(qū)域內(nèi)時(shí),有兩條與漸近線平行的直線和分別與雙曲線兩支相切的兩條切線,共四條；22221xyab43P點(diǎn)在兩漸近線之間且包含雙曲線的區(qū)域內(nèi)時(shí)，有兩條與漸近線平行的直線和只與雙曲線一支相切的兩條切線，共四條；P在兩條漸近線上但非原點(diǎn)，只有兩條：一條是與另一漸近線平行的直線，一條是切線；P為原點(diǎn)時(shí)，不存在這樣的直線.(2)過(guò)拋物線外一點(diǎn)總有三條直線和拋物線有且只有一個(gè)公共點(diǎn)：兩條切線和一條平行于對(duì)稱軸的直線.443.特殊弦問(wèn)題探究方法.(1)若弦過(guò)焦點(diǎn)時(shí)（焦點(diǎn)弦問(wèn)題），焦點(diǎn)弦的弦長(zhǎng)的計(jì)算一般不用弦長(zhǎng)公式計(jì)

20、算，而是將焦點(diǎn)弦轉(zhuǎn)化為兩條焦半徑之和后，利用焦半徑公式求解.(2)若問(wèn)題涉及弦的中點(diǎn)及直線斜率問(wèn)題（即中點(diǎn)弦問(wèn)題），可考慮“點(diǎn)差法”（即把兩點(diǎn)坐標(biāo)代入圓錐曲線方程，然后兩式作差），同時(shí)常與根和系數(shù)的關(guān)系綜合應(yīng)用.4520,12Pyx 求過(guò)點(diǎn)且與拋物線有且只有一個(gè)公共點(diǎn)的直線方程錯(cuò)解1.Pykx設(shè)過(guò)點(diǎn) 的直線方程為x消去 ，化簡(jiǎn)整理，22222210.12240211211.2k xkxkkkyxyx 得由，解得，即直線與拋物線有且只有一個(gè)公共點(diǎn)，故所求直線方程為46錯(cuò)解分析PPPPPPP 一般地，點(diǎn) 在拋物線內(nèi)，則過(guò)點(diǎn) 且和拋物線有且只有一個(gè)公共點(diǎn)的直線有且只有一條；點(diǎn)在拋物線上，則過(guò)點(diǎn) 且和

21、拋物線只有一個(gè)公共點(diǎn)的直線有且只有兩條；點(diǎn) 在拋物線外，則過(guò)點(diǎn) 且和拋物線只有一個(gè)公共點(diǎn)的直線有且只有三條因此，在求過(guò)點(diǎn)且與拋物線有且只有一個(gè)公共點(diǎn)的直線方程時(shí)要考慮周全，不要出現(xiàn)漏解的情況另外，在求直線與拋物線的位置關(guān)系時(shí)，消元后的方程不要忘記討論二次項(xiàng)系數(shù)為零的情況47正解 10,10.Px 若直線斜率不存在，則過(guò)點(diǎn)的直線方程為 00,021.xPykx 即直線與拋物線有且只有一個(gè)公共點(diǎn)若直線斜率存在，則設(shè)過(guò)點(diǎn) 的直線方程為 222210.k xkx 得482211022402112101. 12xyyxykkkkyx即直線與拋物線有且只有一個(gè)公共點(diǎn)；當(dāng)時(shí)，由，解得，即直線與拋物線有且只有一個(gè)公共直線點(diǎn)綜上所述，所求方程為或或