高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí) 第十三章 第5講 直線、平面垂直的判定與性質(zhì)課件

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1、考綱要求考綱研讀1.以空間直線、平面的位置關(guān)系及四個(gè)公理為出發(fā)點(diǎn)認(rèn)識(shí)和理解空間中的垂直關(guān)系2理解直線和平面垂直、平面和平面垂直的判定定理3理解并能證明直線和平面垂直、平面和平面垂直的性質(zhì)定理4能用公理、定理和已獲得的結(jié)論證明一些空間位置關(guān)系的簡(jiǎn)單命題.1.從立體幾何的有關(guān)定義、定理和公理出發(fā)，通過直觀感知、操作確認(rèn)、思辨論證，認(rèn)識(shí)和理解空間中線面垂直的有關(guān)性質(zhì)和判定2正確使用線面垂直判定的關(guān)鍵是在平面內(nèi)找到兩條相交直線與已知直線垂直；要證面面垂直可轉(zhuǎn)化為線面垂直明確線線、線面及面面垂直的判定方法及相互轉(zhuǎn)化是正確解答有關(guān)垂直問題的關(guān)鍵.第5講 直線、平面垂直的判定與性質(zhì)1直線與平面垂直任意垂直(

2、1)直線與平面垂直定義：如果一條直線和一個(gè)平面相交，并且和這個(gè)平面內(nèi)的_一條直線都_，那么這條直線和這個(gè)平面垂直(2)直線與平面垂直判定定理：如果一條直線和一個(gè)平面內(nèi)的兩條_直線都垂直，那么這條直線垂直于這個(gè)平面(3)直線與平面垂直性質(zhì)定理：垂直于同一個(gè)平面的兩條直線_平行相交2平面與平面垂直(1)平面與平面垂直的定義：相交成直二面角的兩個(gè)平面，叫做互相垂直的平面(2)平面與平面垂直的判定定理：如果一個(gè)平面經(jīng)過另一個(gè)平面的_，那么這兩個(gè)平面互相垂直垂線(3)平面與平面垂直的性質(zhì)定理：如果兩個(gè)平面互相垂直，那么在一個(gè)平面內(nèi)垂直于它們_的直線垂直于另一個(gè)平面3直線與平面所成的角(1)如果直線與平面

3、平行或者在平面內(nèi)，則直線與平面所成的角等于 0.交線(2)如果直線和平面垂直，則直線與平面所成的角等于 90.(3)平面的斜線與它在平面上的射影所成的銳角叫做這條斜線與平面所成的角，其范圍是(0，90)斜線與平面所成的_是這條斜線和平面內(nèi)經(jīng)過斜足的直線所成的一切角中最_的角4二面角線面角小從一條直線出發(fā)的兩個(gè)半平面組成的圖象叫做二面角從二面角的棱上任意一點(diǎn)為端點(diǎn)，在兩個(gè)面內(nèi)分別作垂直于棱的兩條射線，這兩條射線所成的角叫做二面角的平面角平面角是直角的二面角叫做_直二面角1垂直于同一條直線的兩條直線一定()DA平行C異面B相交D以上都有可能2A，B 為空間兩點(diǎn)，l 為一條直線，則過 A，B 且垂直

4、于 l的平面()BA不存在C有且只有 1 個(gè)B至多 1 個(gè)D有無數(shù)個(gè)4如圖 1351，在正方體 ABCDA1B1C1D1中，下列結(jié)論D圖 1351中正確的個(gè)數(shù)是( )BD1AC；BD1A1C1；BD1B1C.A0 個(gè)B1 個(gè)C2 個(gè)D3 個(gè)3設(shè)直線m與平面相交但不垂直，則下列說法中正確的是( )A在平面內(nèi)有且只有一條直線與直線m垂直B過直線m有且只有一個(gè)平面與平面垂直C與直線m垂直的直線不可能與平面平行D與直線m平行的平面不可能與平面垂直B5給定下列四個(gè)命題：若一個(gè)平面內(nèi)的兩條直線與另一個(gè)平面都平行，那么這兩個(gè)平面相互平行；若一個(gè)平面經(jīng)過另一個(gè)平面的垂線，那么這兩個(gè)平面相互垂直；垂直于同一直線

5、的兩條直線相互平行；若兩個(gè)平面垂直，那么一個(gè)平面內(nèi)與它們的交線不垂直的直線與另一個(gè)平面也不垂直其中，為真命題的是()DA和B和C和 D和考點(diǎn)1直線與平面垂直的判定與性質(zhì)例1：如圖 352，已知矩形 ABCD，過 A 作 SA平面 AC，再過 A 作 AESB 于 E 點(diǎn)，過 E 作 EFSC 交 SC 于 F 點(diǎn)(1)求證：AFSC(2)若平面 AEF 交 SD 于 G，求證：AGSD.圖 1352解析：(1)證明：因?yàn)锽C面 SAB，且 AE 在面 SAB 內(nèi)，所以 AEBC.又因?yàn)锳ESB，SBBCB，所以 AE面 SBC.而 SC 在面 SBC 內(nèi)，所以 AESC.又因?yàn)?EFSC，EF

6、AEE，所以 SC面 AEF.而 AF 在面 AEF 內(nèi)，所以 AFSC.直線與直線垂直直線與平面垂直平面與平面垂直直線與平面垂直直線與直線垂直，通過直線與平面位置關(guān)系的不斷轉(zhuǎn)化來處理有關(guān)垂直的問題出現(xiàn)中點(diǎn)時(shí)，平行要聯(lián)想到三角形中位線，垂直要聯(lián)想到三角形的高；出現(xiàn)圓周上的點(diǎn)時(shí)，聯(lián)想直徑所對(duì)圓周角為直角【互動(dòng)探究】1如圖 1353，PA O 所在的平面，AB 是O 的直徑，C 是O 上的一點(diǎn)，E，F(xiàn) 分別是 A 在 PB，PC 上的射影，給出下面結(jié)論，其中正確命題的個(gè)數(shù)是()B圖 1353AFPB；EFPB；AFBC；AE平面 PBC.A2 個(gè)C4 個(gè)B3 個(gè)D5 個(gè)解析：正確，又 AF平面 P

7、BC，錯(cuò)誤考點(diǎn)2平面與平面垂直的判定與性質(zhì)例 2：(2011 年江蘇)如圖 1354，在四棱錐 PABCD 中，平面 PAD平面ABCD，ABAD，BAD60，E，F(xiàn)分別是AP，AD 的中點(diǎn)求證：(1)直線 EF平面 PCD；(2)平面 BEF平面 PAD圖 1354BF AD BF面PAD( 因?yàn)槠矫鍼AD平面ABCD)平面BEF平面PAD(因?yàn)?BF平面BEF)前者利用面面垂直的性質(zhì)定理，后者利用面面垂直的判定定理證明：(1)E，F(xiàn) 分別是AP，AD 的中點(diǎn)，EFPD.又PD面PCD，EF 面 PCD，直線 EF平面 PCD.(2)ABAD，BAD60，F(xiàn) 是AD 的中點(diǎn)，BFAD.又平面

8、PAD平面ABCD，面PAD面 ABCDAD，BF面 PAD.平面BEF平面PAD.【互動(dòng)探究】2(2011 年浙江)下列命題中錯(cuò)誤的是()DA如果平面平面，那么平面內(nèi)一定存在直線平行于平面B如果平面不垂直于平面，那么平面內(nèi)一定不存在直線垂直于平面C如果平面平面，平面平面，l，那么 l平面D如果平面平面，那么平面內(nèi)所有直線都垂直于平面解析：因?yàn)槿暨@條線是平面和平面的交線l，則交線l 在平面內(nèi)，明顯可得交線l 在平面內(nèi)，所以交線l 不可能垂直于平面，平面內(nèi)所有直線都垂直于平面是錯(cuò)誤的考點(diǎn)3線面所成的角例 3：如圖 1355，在正方體 ABCDA1B1C1D1中，求A1B與平面A1B1CD所成的角

9、圖 1355求直線和平面所成的角時(shí)，應(yīng)注意的問題是：(1)先判斷直線和平面的位置關(guān)系(2)當(dāng)直線和平面斜交時(shí)，常有以下步驟：作作出或找到斜線與射影所成的角；證論證所作或找到的角為所求的角；算常用解三角形的方法求角；結(jié)論點(diǎn)明斜線和平面所成的角值【互動(dòng)探究】3如圖 1356，在長(zhǎng)方體 ABCDA1B1C1D1中，ABBC2，AA11，則 AC1 與平面 A1B1C1D1所成角的正弦值為()圖 1356答案：D圖 D27考點(diǎn)4立體幾何中的探索性問題例 4：(2011 年廣東茂名一模)如圖 1357，在四棱錐 PABCD 中，底面 ABCD 為菱形，BAD60，Q 為 AD 的中點(diǎn)(1)若 PA PD

10、，求證：平面 PQB平面 PAD；(2)點(diǎn) M 在線段 PC 上，PMtPC，試確定 t 的值，使 PA 平面 MQB.圖 1357解析：(1)如圖1358，連接BD，四邊形ABCD菱形，BAD60，ABD為正三角形又Q 為AD 中點(diǎn)，ADBQ.PA PD，Q 為AD 的中點(diǎn)，ADPQ.又BQPQQ，AD平面PQB.又AD平面PAD，平面PQB平面PAD.圖1358探索性問題是一種具有開放性和發(fā)散性的問題，此類題目的條件或結(jié)論不完備要求解答者自己去探索，結(jié)合已有條件，進(jìn)行觀察、分析、比較和概括它對(duì)學(xué)生的數(shù)學(xué)思想、數(shù)學(xué)意識(shí)及綜合運(yùn)用數(shù)學(xué)方法的能力提出了較高的要求它有利于培養(yǎng)學(xué)生探索、分析、歸納、

11、判斷、討論與證明等方面的能力，使學(xué)生經(jīng)歷一個(gè)發(fā)現(xiàn)問題、研究問題、解決問題的全過程【互動(dòng)探究】4(2011 年廣東深圳一模)如圖 1359，在四棱錐 SABCD中，ABAD，AB/CD，CD3AB，平面SAD平面ABCD，M 是線段 AD 上一點(diǎn)，AMAB，DMDC，SMAD.(1)證明：BM平面 SMC；圖 1359(1) 證明：平面SAD平面ABCD，平面SAD平面ABCDAD，SM平面 SAD，SMAD，SM平面 ABCD.BM平面 ABCD, SMBM.四邊形 ABCD 是直角梯形，AB/CD，AMAB，DMDC， MAB，MDC 都是等腰直角三角形，AMBCMD45，BMC90.BMC

12、M.SM平面 SMC，CM平面 SMC，SMCMM，BM平面 SMC.(2)解：三棱錐 CSBM 與三棱錐SCBM 的體積相等，由( 1 ) 知 SM平面 ABCD，1證明線面垂直的方法(1)用線面垂直的定義：若一直線垂直于平面內(nèi)任一直線，這條直線垂直于該平面(2)用線面垂直的判定定理：若一直線垂直于平面內(nèi)兩條相交直線，這條直線垂直于該平面(3)用線面垂直的性質(zhì)定理：若兩平行直線之一垂直于平面，則另一條直線也垂直于該平面(4)用面面垂直的性質(zhì)定理：若兩個(gè)平面垂直，在一個(gè)平面內(nèi)垂直于交線的直線必垂直于另一個(gè)平面(5)如果一條直線垂直于兩個(gè)平行平面中的一個(gè)，那么也垂直于另一個(gè)平面(6)如果兩個(gè)相交

13、平面都和第三個(gè)平面垂直，那么相交平面的交線也垂直于第三個(gè)平面2判定面面垂直的方法(1)定義法：首先找二面角的平面角，然后證明其為直角(2)用面面垂直的判定定理：一個(gè)平面經(jīng)過另一個(gè)平面的一條垂線3垂直于同一個(gè)平面的兩條直線平行，是判定兩條直線平行的又一重要方法，是實(shí)現(xiàn)空間中平行關(guān)系和垂直關(guān)系在一定條件下相互轉(zhuǎn)化的一種手段4本節(jié)教材中線面垂直的性質(zhì)定理的證明用到反證法，反證法屬邏輯方法范疇，它的嚴(yán)謹(jǐn)體現(xiàn)在它的原理上，即“否定之否定等于肯定”，其中第一個(gè)否定是指否定結(jié)論，第二個(gè)否定是指“邏輯推理結(jié)果否定了假設(shè)”5常用定理：(1)過一點(diǎn)有且只有一條直線與已知平面垂直(2)過一點(diǎn)有且只有一個(gè)平面與已知直線垂直；(3)如果兩個(gè)平面互相垂直，那么經(jīng)過第一個(gè)平面內(nèi)的一點(diǎn)垂直于第二個(gè)平面的直線必在第一個(gè)平面內(nèi)1面面垂直的性質(zhì)定理是證明線面垂直的依據(jù)和方法，在解決二面角的問題中，作其平面角經(jīng)常用到，應(yīng)用定理的關(guān)鍵是創(chuàng)設(shè)定理成立的條件：一是線在面內(nèi)，二是線垂直于交線兩個(gè)條件同時(shí)具備才能推出線面垂直2線線垂直、線面垂直、面面垂直的相互轉(zhuǎn)化是解決有關(guān)垂直證明題的指導(dǎo)思想，既要注意一般的轉(zhuǎn)化規(guī)律，又要看清題目的條件，選擇正確的轉(zhuǎn)化方向，不能過于模式化復(fù)雜的題目不是一次或兩次就能完成，而是不斷從某一垂直向另一垂直轉(zhuǎn)化，最終達(dá)到目的