高三數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí) 第4章4.2平面向量基本定理及向量坐標(biāo)表示課件 文 北師大版

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1、4.2平面向量基本定理平面向量基本定理及向量坐標(biāo)表示及向量坐標(biāo)表示考點(diǎn)探究考點(diǎn)探究挑戰(zhàn)高考挑戰(zhàn)高考考向瞭望考向瞭望把脈高考把脈高考4.2平平面面向向量量基基本本定定理理及及向向量量坐坐標(biāo)標(biāo)表表示示雙基研習(xí)雙基研習(xí)面對(duì)高考面對(duì)高考雙基研習(xí)雙基研習(xí)面對(duì)高考面對(duì)高考1平面向量基本定理及坐標(biāo)表示平面向量基本定理及坐標(biāo)表示(1)平面向量基本定理平面向量基本定理定理：如果定理：如果e1，e2是同一平面內(nèi)的兩個(gè)是同一平面內(nèi)的兩個(gè)_向向量，那么對(duì)于這一平面內(nèi)的任一向量量，那么對(duì)于這一平面內(nèi)的任一向量a，_一對(duì)實(shí)數(shù)一對(duì)實(shí)數(shù)1，2，使，使a_.其中，不共線的向量其中，不共線的向量e1，e2叫作表示這一平面內(nèi)所叫作

2、表示這一平面內(nèi)所有向量的一組有向量的一組_不平行不平行存在唯一存在唯一基底基底1e12e2(2)平面向量的坐標(biāo)表示平面向量的坐標(biāo)表示在平面直角坐標(biāo)系中，分別取與在平面直角坐標(biāo)系中，分別取與x軸、軸、y軸方向軸方向相同的兩個(gè)單位向量相同的兩個(gè)單位向量i，j作為基底，對(duì)于平面內(nèi)作為基底，對(duì)于平面內(nèi)的一個(gè)向量的一個(gè)向量a，有且只有一對(duì)實(shí)數(shù)，有且只有一對(duì)實(shí)數(shù)x，y，使，使axiyj，把有序數(shù)對(duì)，把有序數(shù)對(duì)_叫作向量叫作向量a的坐標(biāo)，記的坐標(biāo)，記作作a_，其中，其中_叫作叫作a在在x軸上的坐標(biāo)，軸上的坐標(biāo)，_叫作叫作a在在y軸上的坐標(biāo)軸上的坐標(biāo)設(shè)設(shè)xiyj，則向量的坐標(biāo)，則向量的坐標(biāo)(x，y)就是就是_

3、的的坐標(biāo)，即若坐標(biāo)，即若(x，y)，則，則A點(diǎn)坐標(biāo)為點(diǎn)坐標(biāo)為_，反，反之亦成立之亦成立(O是坐標(biāo)原點(diǎn)是坐標(biāo)原點(diǎn))(x，y)(x，y)(x，y)y點(diǎn)點(diǎn)Ax2平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算(1)加法、減法、數(shù)乘的運(yùn)算加法、減法、數(shù)乘的運(yùn)算向量向量abababa坐標(biāo)坐標(biāo)(x1，y1)(x2，y2)(x1x2，y1y2)(x1x2，y1y2)(x1，y1)(x2x1，y2y1)該向量終點(diǎn)的坐標(biāo)減去始點(diǎn)的坐標(biāo)該向量終點(diǎn)的坐標(biāo)減去始點(diǎn)的坐標(biāo)bx1y2x2y10提示：提示：不能，因?yàn)椴荒埽驗(yàn)閤2，y2有可能為有可能為0，故應(yīng)表示，故應(yīng)表示成成x1y2x2y10.思考感悟思考感悟1(2009年高考廣東

4、卷年高考廣東卷)已知平面向量已知平面向量a(x,1)，b(x，x2)，則向量，則向量ab()A平行于平行于x軸軸B平行于第一、三象限的角平分線平行于第一、三象限的角平分線C平行于平行于y軸軸D平行于第二、四象限的角平分線平行于第二、四象限的角平分線 解析：解析：選選C.ab(0,1x2)，平行于平行于y軸軸課前熱身課前熱身2(2009年高考重慶卷年高考重慶卷)已知向量已知向量a(1,1)，b(2，x)，若，若ab與與4b2a平行，則實(shí)數(shù)平行，則實(shí)數(shù)x的值是的值是()A2B0C1 D2答案：答案：D答案：答案：C答案：答案：2或或11考點(diǎn)探究考點(diǎn)探究挑戰(zhàn)高考挑戰(zhàn)高考平面向量基本定理及其應(yīng)用平面向

5、量基本定理及其應(yīng)用利用平面向量基本定理表示向量時(shí)，要選擇一利用平面向量基本定理表示向量時(shí)，要選擇一組恰當(dāng)?shù)幕讈肀硎酒渌蛄浚从锰厥庀蛄拷M恰當(dāng)?shù)幕讈肀硎酒渌蛄?，即用特殊向量表示一般向量表示一般向量【答案答案】x0且且0 xy1【規(guī)律小結(jié)規(guī)律小結(jié)】用已知向量來表示另外一些向量用已知向量來表示另外一些向量是用向量解題的基本功，除利用向量的加減法、是用向量解題的基本功，除利用向量的加減法、數(shù)乘運(yùn)算外，還應(yīng)充分利用平面幾何的一些定理，數(shù)乘運(yùn)算外，還應(yīng)充分利用平面幾何的一些定理，因此在求向量時(shí)要盡可能轉(zhuǎn)化到平行四邊形或三因此在求向量時(shí)要盡可能轉(zhuǎn)化到平行四邊形或三角形中，選用從同一頂點(diǎn)出發(fā)的基本向量

6、或首尾角形中，選用從同一頂點(diǎn)出發(fā)的基本向量或首尾相連的向量，運(yùn)用向量加減法運(yùn)算及數(shù)乘運(yùn)算來相連的向量，運(yùn)用向量加減法運(yùn)算及數(shù)乘運(yùn)算來求解，即充分利用相等向量、相反向量和線段的求解，即充分利用相等向量、相反向量和線段的比例關(guān)系，運(yùn)用加法的三角形法則、平行四邊形比例關(guān)系，運(yùn)用加法的三角形法則、平行四邊形法則、減法的三角形法則、三角形中位線定理、法則、減法的三角形法則、三角形中位線定理、相似三角形對(duì)應(yīng)邊成比例等平面幾何的性質(zhì)，把相似三角形對(duì)應(yīng)邊成比例等平面幾何的性質(zhì)，把已知向量轉(zhuǎn)化為與未知向量有直接關(guān)系的向量來已知向量轉(zhuǎn)化為與未知向量有直接關(guān)系的向量來求解求解變式訓(xùn)練變式訓(xùn)練1利用向量的坐標(biāo)運(yùn)算解題

7、，主要就是根據(jù)相等的利用向量的坐標(biāo)運(yùn)算解題，主要就是根據(jù)相等的向量坐標(biāo)相同這一原則，通過列方程向量坐標(biāo)相同這一原則，通過列方程(組組)進(jìn)行求進(jìn)行求解在將向量用坐標(biāo)表示時(shí)，要分清向量的起點(diǎn)解在將向量用坐標(biāo)表示時(shí)，要分清向量的起點(diǎn)和終點(diǎn)坐標(biāo)，也就是要注意向量的方向，不要寫和終點(diǎn)坐標(biāo)，也就是要注意向量的方向，不要寫錯(cuò)坐標(biāo)錯(cuò)坐標(biāo)向量的坐標(biāo)運(yùn)算向量的坐標(biāo)運(yùn)算【思路點(diǎn)撥思路點(diǎn)撥】建立直角坐標(biāo)系，利用向量的坐建立直角坐標(biāo)系，利用向量的坐標(biāo)運(yùn)算解答標(biāo)運(yùn)算解答【答案答案】 2【思維總結(jié)思維總結(jié)】向量的坐標(biāo)運(yùn)算主要是利用加、向量的坐標(biāo)運(yùn)算主要是利用加、減、數(shù)乘運(yùn)算法則進(jìn)行若已知有向線段兩端點(diǎn)減、數(shù)乘運(yùn)算法則進(jìn)行若

8、已知有向線段兩端點(diǎn)的坐標(biāo)，則應(yīng)先求出向量的坐標(biāo)，解題過程中要的坐標(biāo)，則應(yīng)先求出向量的坐標(biāo)，解題過程中要注意方程思想的運(yùn)用及正確使用運(yùn)算法則注意方程思想的運(yùn)用及正確使用運(yùn)算法則1凡遇到與平行有關(guān)的問題時(shí)，一般要考慮運(yùn)凡遇到與平行有關(guān)的問題時(shí)，一般要考慮運(yùn)用向量平行的充要條件用向量平行的充要條件2向量共線的坐標(biāo)表示提供了通過代數(shù)運(yùn)算來向量共線的坐標(biāo)表示提供了通過代數(shù)運(yùn)算來解決向量共線的方法，也為點(diǎn)共線、線平行問題解決向量共線的方法，也為點(diǎn)共線、線平行問題的處理提供了容易操作的方法解題時(shí)要注意共的處理提供了容易操作的方法解題時(shí)要注意共線向量定理的坐標(biāo)表示本身具有公式特征，應(yīng)學(xué)線向量定理的坐標(biāo)表示本身

9、具有公式特征，應(yīng)學(xué)會(huì)利用這一點(diǎn)來構(gòu)造函數(shù)和方程，以便用函數(shù)與會(huì)利用這一點(diǎn)來構(gòu)造函數(shù)和方程，以便用函數(shù)與方程的思想解題方程的思想解題向量共線向量共線(平行平行)的坐標(biāo)表示的坐標(biāo)表示 (2010年高考陜西卷年高考陜西卷)已知向量已知向量a(2，1)，b(1，m)，c(1,2)，若，若(ab)c，則則m_.【思路點(diǎn)撥思路點(diǎn)撥】由向量平行的充要條件列出關(guān)于由向量平行的充要條件列出關(guān)于m的方程，然后求解的方程，然后求解【解析解析】a(2，1)，b(1，m)，ab(1，m1)(ab)c，c(1,2)，12(1)(m1)0，m1.【答案答案】m1【誤區(qū)警示誤區(qū)警示】解答本題過程中，易將方程列成解答本題過程中

10、，易將方程列成(1)12(m1)0即即x1x2y1y20而出錯(cuò)，而出錯(cuò)，導(dǎo)致此種錯(cuò)誤的原因是：沒有準(zhǔn)確記憶兩個(gè)向量導(dǎo)致此種錯(cuò)誤的原因是：沒有準(zhǔn)確記憶兩個(gè)向量平行的充要條件，將其與向量垂直的條件混淆平行的充要條件，將其與向量垂直的條件混淆向量的坐標(biāo)運(yùn)算常在三角函數(shù)、解析幾何等知識(shí)向量的坐標(biāo)運(yùn)算常在三角函數(shù)、解析幾何等知識(shí)交匯點(diǎn)處命題，解答這類問題的關(guān)鍵是認(rèn)真領(lǐng)會(huì)交匯點(diǎn)處命題，解答這類問題的關(guān)鍵是認(rèn)真領(lǐng)會(huì)題中所給信息，并將所得的信息應(yīng)用于題目中去，題中所給信息，并將所得的信息應(yīng)用于題目中去，以解決實(shí)際問題以解決實(shí)際問題向量的綜合問題向量的綜合問題 已知向量已知向量u(x，y)與向量與向量v(y,2

11、yx)的對(duì)應(yīng)關(guān)系用的對(duì)應(yīng)關(guān)系用vf(u)表示表示(1)設(shè)設(shè)a(1,1)，b(1,0)，求向量，求向量f(a)與與f(b)的的坐標(biāo)；坐標(biāo)；(2)求使求使f(c)(p，q)(p、q為常數(shù)為常數(shù))的向量的向量c的坐的坐標(biāo)；標(biāo)；(3)證明：對(duì)任意的向量證明：對(duì)任意的向量a、b及常數(shù)及常數(shù)m、n，恒有，恒有f(manb)mf(a)nf(b)成立成立【思路點(diǎn)撥思路點(diǎn)撥】本題關(guān)鍵是找出本題關(guān)鍵是找出“函數(shù)函數(shù)”vf(u)的的對(duì)應(yīng)關(guān)系，此處的變量為向量的坐標(biāo)，因此，可對(duì)應(yīng)關(guān)系，此處的變量為向量的坐標(biāo)，因此，可通過坐標(biāo)運(yùn)算來解決問題通過坐標(biāo)運(yùn)算來解決問題【解解】(1)a(1,1)，f(a)(1,211)(1,1

12、)又又b(1,0)，f(b)(0,201)(0，1)(3)證明：設(shè)證明：設(shè)a(a1，a2)，b(b1，b2)，則則manb(ma1nb1，ma2nb2)，f(manb)(ma2nb2,2ma22nb2ma1nb1)mf(a)m(a2,2a2a1)，nf(b)n(b2,2b2b1)，mf(a)nf(b)(ma2nb2,2ma22nb2ma1nb1)，f(manb)mf(a)nf(b)成立成立方法技巧方法技巧1用向量解答幾何問題的一般思路是：選擇一用向量解答幾何問題的一般思路是：選擇一組基底，運(yùn)用平面向量基本定理將條件和結(jié)論表組基底，運(yùn)用平面向量基本定理將條件和結(jié)論表示成向量形式，再通過向量的運(yùn)算

13、來解答示成向量形式，再通過向量的運(yùn)算來解答(如如例例1)2向量的坐標(biāo)運(yùn)算，使得向量的線性運(yùn)算都可向量的坐標(biāo)運(yùn)算，使得向量的線性運(yùn)算都可用坐標(biāo)來進(jìn)行，實(shí)現(xiàn)了向量運(yùn)算完全代數(shù)化，將用坐標(biāo)來進(jìn)行，實(shí)現(xiàn)了向量運(yùn)算完全代數(shù)化，將數(shù)與形緊密結(jié)合起來，就可以使很多幾何問題的數(shù)與形緊密結(jié)合起來，就可以使很多幾何問題的解答轉(zhuǎn)化為我們熟知的數(shù)量運(yùn)算解答轉(zhuǎn)化為我們熟知的數(shù)量運(yùn)算(如例如例2)方法感悟方法感悟3兩個(gè)向量共線的充要條件在解題中具有重要兩個(gè)向量共線的充要條件在解題中具有重要的應(yīng)用，一般地，如果已知兩向量共線，求某些的應(yīng)用，一般地，如果已知兩向量共線，求某些參數(shù)的值，則利用參數(shù)的值，則利用“若若a(x1，y

14、1)，b(x2，y2), 則則ab的充要條件是的充要條件是x1y2x2y10”比較簡比較簡捷捷(如例如例3)4對(duì)于向量坐標(biāo)的綜合應(yīng)用，關(guān)鍵是利用已知對(duì)于向量坐標(biāo)的綜合應(yīng)用，關(guān)鍵是利用已知條件轉(zhuǎn)化為方程或函數(shù)關(guān)系式解決條件轉(zhuǎn)化為方程或函數(shù)關(guān)系式解決(如例如例4)1數(shù)學(xué)上的向量是自由向量，向量數(shù)學(xué)上的向量是自由向量，向量a(x，y)經(jīng)經(jīng)過平移后得到的向量的坐標(biāo)仍是過平移后得到的向量的坐標(biāo)仍是(x，y)2若若a(x1，y1)，b(x2，y2)，則，則ab(b0)的充要條件是的充要條件是ab，這與，這與x1y2x2y10在本質(zhì)在本質(zhì)上是沒有差異的，只是形式上不同上是沒有差異的，只是形式上不同失誤防范失

15、誤防范考向瞭望考向瞭望把脈高考把脈高考向量的坐標(biāo)運(yùn)算和向量共線的坐標(biāo)表示是高考的熱向量的坐標(biāo)運(yùn)算和向量共線的坐標(biāo)表示是高考的熱點(diǎn)，題型既有選擇題、填空題，又涉及到解答題，點(diǎn)，題型既有選擇題、填空題，又涉及到解答題，屬于中低檔題目，常與向量數(shù)量積運(yùn)算交匯命題，屬于中低檔題目，常與向量數(shù)量積運(yùn)算交匯命題，主要考查向量的坐標(biāo)運(yùn)算及向量共線條件的應(yīng)主要考查向量的坐標(biāo)運(yùn)算及向量共線條件的應(yīng)用同時(shí)又注重對(duì)函數(shù)與方程、化歸與轉(zhuǎn)化等思想用同時(shí)又注重對(duì)函數(shù)與方程、化歸與轉(zhuǎn)化等思想方法的考查方法的考查預(yù)測(cè)預(yù)測(cè)2012年高考仍將以向量的坐標(biāo)運(yùn)算、向量共年高考仍將以向量的坐標(biāo)運(yùn)算、向量共線的坐標(biāo)表示為主要考點(diǎn)，重點(diǎn)考

16、查運(yùn)算能力與應(yīng)線的坐標(biāo)表示為主要考點(diǎn)，重點(diǎn)考查運(yùn)算能力與應(yīng)用能力用能力 (2009年高考廣東卷年高考廣東卷)若平面向量若平面向量a，b滿滿足足|ab|1，ab平行于平行于x軸，軸，b(2，1)，則則a_.【思路點(diǎn)撥思路點(diǎn)撥】利用利用ab平行于平行于x軸，設(shè)出軸，設(shè)出ab的坐標(biāo)利用向量的坐標(biāo)運(yùn)算并分類討論的坐標(biāo)利用向量的坐標(biāo)運(yùn)算并分類討論命題探源命題探源【解析解析】ab平行于平行于x軸，故可設(shè)軸，故可設(shè)ab(m,0)，由由|ab|1m21，故，故m1.當(dāng)當(dāng)m1時(shí)，時(shí)，a(1,0)b(1,0)(2，1)(1,1)；當(dāng)當(dāng)m1時(shí)，時(shí)，a(1,0)b(1,0)(2，1)(3,1)a(1,1)或或(3,1

17、)【答案答案】(1,1)或或(3,1)【名師點(diǎn)評(píng)名師點(diǎn)評(píng)】(1)本題易失誤的是：本題易失誤的是：模的坐模的坐標(biāo)運(yùn)算不知，不能將模的關(guān)系轉(zhuǎn)化為坐標(biāo)關(guān)系；標(biāo)運(yùn)算不知，不能將模的關(guān)系轉(zhuǎn)化為坐標(biāo)關(guān)系；不理解向量與不理解向量與x軸平行的含義軸平行的含義(2)在解決向量問題時(shí)，如果沒有向量的坐標(biāo)形在解決向量問題時(shí)，如果沒有向量的坐標(biāo)形式，可以引入坐標(biāo)使抽象問題具體化其實(shí)，向式，可以引入坐標(biāo)使抽象問題具體化其實(shí)，向量的坐標(biāo)運(yùn)算是一種把其他運(yùn)算轉(zhuǎn)化為純數(shù)字運(yùn)量的坐標(biāo)運(yùn)算是一種把其他運(yùn)算轉(zhuǎn)化為純數(shù)字運(yùn)算的有效途徑，尤其是碰到幾何問題時(shí)算的有效途徑，尤其是碰到幾何問題時(shí)(一些涉一些涉及幾何圖形的向量試題，由于幾何

18、性質(zhì)不能直接及幾何圖形的向量試題，由于幾何性質(zhì)不能直接應(yīng)用而使問題變得復(fù)雜難求，應(yīng)用而使問題變得復(fù)雜難求，如果能建立適當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系，用代數(shù)式表示圖形的如果能建立適當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系，用代數(shù)式表示圖形的性質(zhì)，即圖形數(shù)字化，以性質(zhì)，即圖形數(shù)字化，以“數(shù)數(shù)”解解“形形”，可使解題，可使解題思路清晰，便于問題順利解決思路清晰，便于問題順利解決)實(shí)際上，利用實(shí)際上，利用向量的坐標(biāo)運(yùn)算解題，主要就是根據(jù)相等的向量向量的坐標(biāo)運(yùn)算解題，主要就是根據(jù)相等的向量坐標(biāo)相同這一原則，通過列方程坐標(biāo)相同這一原則，通過列方程(組組)進(jìn)行求解；進(jìn)行求解；在將向量用坐標(biāo)表示時(shí)，要看準(zhǔn)向量的起點(diǎn)和終在將向量用坐標(biāo)表示時(shí)，要看準(zhǔn)向量的起點(diǎn)

19、和終點(diǎn)，也就是要注意向量的方向點(diǎn)，也就是要注意向量的方向名師預(yù)測(cè)名師預(yù)測(cè)2已知向量已知向量a(1,2)，b(2，m)且且ab，則則2a3b等于等于()A(2，4) B(3，6)C(4，8) D(5，10)解析：解析：選選C.ab，m40，m4，b(2，4)，2a3b2(1,2)3(2，4)(2,4)(6，12)(4，8)3已知已知a(1，1)，b(1,3)，c(3,5)，若若cxayb，則實(shí)數(shù)，則實(shí)數(shù)x_，y_.答案：答案：744若平面向量若平面向量a，b滿足滿足|ab|1，ab平行平行于于y軸，軸，a(2，1)，則，則b_.解析：解析：設(shè)設(shè)b(x，y)|ab|1，(x2)2(y1)21.又又ab平行于平行于y軸，軸，x2，代入上式，得代入上式，得y0或或2.b(2,0)或或b(2,2)答案：答案：(2,0)或或(2,2)