【材料力學課件】05-扭轉要點

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1、第五章也轉 Chapter Five Torsion 背景材料 4 本章基本要求 6 5.1 圓軸扭轉的應力與強度 7 5.2 圓軸扭轉的變形與剛度 26 5.3 圓軸扭轉的超靜定問題 35 5.4 非圓截面軸扭轉的應力 39 U 本章作業(yè) 53 本章內容小結 54  本章基本要求 理解導出受扭圓軸橫截面上切應力公式的方法. 掌握圓鋪扭轉時橫截面上的切應力分布規(guī)律，并 能熟練她進行圓軸扭轉的強度和剛度的計算, 能進行筒單的扭轉超靜定問題的分析計算. 了解非圓截而桿件和薄壁桿件扭轉時最大切應力 和變形的計算. 軸扭轉的應力與強度 5.1.1

2、傳動軸的外力偶矩 傳動軸傳遞的功率 P = --=則^ =加〃) 3——角速度，rad/s dr dr 0 = 2n衛(wèi) n 轉速y rm hi 60 傳動軸傳遞的轉矩 =-=9549c ,"(N m) = 9549 2/皿鼻 3 Tin n n (r min) 注意 式中,〃人匕和〃的單位是固定的. 動胭又動邕 畫出以下結構的拉矩圖(單位：kN rn ). 3 kN m X kK m 6 kN in  分析與討論 從軸的扭轉強度考慮，哪一種布比最合理？（單位：kN m ） 3 5 2 （T 5 2 3 一"1E 5.1.2 圓軸扭轉的平截面假

3、設 *圓如橫板面在扭勢時始終保勢是平面C *國軸橫極而上的半徑在扭轉時始終保持是克戰(zhàn) 5.1.3 圓軸扭轉時橫截面上的應力 推導思路 兒何關系（平截面假設） 切應變與相對轉角之間的關系 物理關系（Hooke定律） 切應力與相對轉角之間的關系 力學關系（切應力對軸的合力矩即截面上的扭矩） 相對轉角表達式及切應力表達式 切應力公式推導 幾何關系（平截面假設） d0是前后兩彳、端而的相對轉角. 7是外衣而沿循線方向上的切應變. 在外表而處的切應變 7 =lanr =—= dv dx 在高軸心廠處的切應變 z（r） = r d.K 物理關系（Hooke

4、定律） t（i ） = Gy（r） = Gr* (切應力對軸的合力矩即截而上的扭矩) ~ ■ "JR ■ ? 重要公式 切應力在 橫截面上 分布規(guī)律 切應力公式推導 r(r) = Gr- dr 力學關系 分析與討論國軸扭轉時 貓我面上切應力方向為什么總是 垂克于半役的？ 5.1.4圓軸扭轉的強度計算 強度條件 抗扭截面系數(shù) (section modulus in torsion ) 重要數(shù)據(jù) 實心圓板而 空心圓板而 Wr^-nDl 16 |匕=/。，(1-優(yōu) (a = d//)) 如圖

5、的軸的許川切應力為60 MPa ,核核強度 若將實 心面軸改為內外柱之比為0.7的空心僚1軸,在強度相等的條 件下?求空心囿軸外徑, 并求兩帚的市貪比 j/hlkNm F.n =叫一町=2 kN-ni 利安全七 nd,； 16 47.2 MPa < [t] 扭知圖： / 也 3kN m "，—0 IkN in mi 3kN m 空心軸 Wn= 1兀-優(yōu))=% 16 如圖的物的許用切應力為60 MPa,核核強度：若將實 心圓軸改為內外行之比為0.7的空心圓軸，在強度

6、相等的條 件下，求空心圓軸外在，并求兩者的空量化。 實心軸 ％ = k TtlV = 42400 mm D =，」6Wp =65.74 mm 取。1 為 66 mm r 兩者重量比 動腦又動邕 匕知軸的[r],在只考 虎如停的情況下設計如圖結 構中的軸徑 T = ；P, 嗚 PR n("曠二小加E 分析與討論軸卷如何設計更為合理？ 次計本題中的纖役還應考慮什么因素? 力I ft 直徑的確定必須 滿足強度條件. 例 圖中結構由兩段等板而圓軸構 成,圓軸總長度為L,全長上作用 著均布力偶矩/.材料許用切應力 為［zL要使圓軸重量為最輕，確 定兩段軸的長度白和小，以及直

7、 徑4和4. 在AA段中.八根而的扭矩最大. tL I6/L 中］ 在〃。段中.〃我面的扭矩我大 l 軸的體積 v = A4十兒七 V畢(心+他］耳端％-小嚅" 蘭儒『小-加打 7；=( J =含=贏則 若密螺旋彈簧的平均半仔〃遠大于黃絲 直徑d,且簧絲傾向小于5。，當軸向壓力為/? 時，求簧絲中的最大切應力. MHi 忽略簧絲曲率和保角a的影響，黃絲中 的扭矩 T = RF rT =二=」R JGFR 2叫 7r / % 九/ 勢力所引起的切應力可認為是平均分布 在所而上 」6%|十4 加f nd1 nd- 4R 設圓軸橫裁而上的扭矩為T, 試求其14板面上

8、內力系的合力的 大小、方向及作用點. 網(wǎng)軸橫板而上只有切應力, 原則上切應力乘以微元而今并 在指定區(qū)域上的積分構成其合力. 由于切應力方向在各處并不一致，因此不能直接枳分「 應將切應力往兩個坐標軸方向分解，再分別求兩個分量 的積分. 設因軸橫板而上的扭矩為T, 垂直方向合力為 Q =1r,d< 二 j,8s祝 rdrdO T* 總合力為 2 = Q = 對。忠取矩 24。 試求其14板而上內力系的合力的 大小.方向及作用點. 24。 T(r 二 Jrjdr- Jcos/9d^ 水平方向和緊直方向分量為 r, =-r(r)sin<9 =-7sin。 7V

9、 = r(r)cos〃 = - - cos” 水平方向合力為 *T* / 2 -- Qt = j rdA =-j — sin/7rdrd^ =——Jr dr Jsin A A /p /p 0 e Td， 244 n_ J277/14,2T 0 =g+。"前=3/ c T T 3itd Qre = 4 7=石"77"^ 4 4。JJ2u 分析與討論 該區(qū)域是如何平衡的？ 前弱而上應力是如何 分布的？ 頂而上有應力嗎？ 頂而上的應力合力是怎樣的？ 前后端而上的應力合力是怎樣的？ 試對上述各部份合力進行定曷計算 . 一— II 52圓軸扭轉的變形與剛度 I

10、同軸扭轉的剛度用兩端面的 和對轉向來表示。 孚=二 d0=J dx yXr)=i7X0) + o.r GIr GIV 重要公式

11、N m 許用轉矩口〃] = 1 . 15 kN ? m 例 總長度為2h的鉆桿有一半在泥土中.方 泥土對于鉆桿的阻力知沿長度均勻分布，鉆桿 的抗扭剛度為G",求鉆桿的上下娉面之間的 相對轉角。 建立如圖的坐標系下半段的扭知7牛 故下半段的相對轉角降嬴”乳 上半段的扭矩為〃】,故上半段的相對轉角 6 =吧 Gfp 故上下端而之間的相對轉角 0 =q十%= 20/ri 例 如圖的空, u圓的兩花而問的 d = 3(1 ■相對弱角為0.40：彈性模量正 為21()3，，求材料為泊榜比。 ….40=7.0x10.」 Tf 由公式=或 可得G TL 八 32x

12、l.5yltrx200 =7 x IO_1 x3.14 x504 x{l -0,6*) =80.3 GPa 又有 G = — 2(12) 故有 p=-- 2G 圖示薄壁同他形管的40度很小. 厚度3不變，長為/.左右兩端平均 直徑分別為4和4試導出計算兩 端相對扭轉角的公式。 設距右端工處栽面的平均半徑和平均直徑分別為/?和d . 仆=J〃dA = j r1 -rZ>df? =2九廠"萬= -d^ o 4 4=割。;-，；)=部"+ 疔-J)[ =3 [(? + 力+ (d - )1 , + 打 - - 行] ^2(dl+^y 4d5 = ；

13、/彳1+ %]=# 例圖示薄壁國錐形管的錐度很小， 厚度步不變，長為上左右兩端平均 直徑分別為4和4 .試導出計算兩 端相對扭轉加的公式. 設距右端A處低面的平均半徑和平均立住分別為，?和d , Ja 1P = l/＞；d4 =，產?廠5d〃 =2九「萬二”乏力 （1 該截面的平均直徑r/ = 4 +（4 -/）7 微段dx的扭轉角 d(p = 4 Um d( 傕管兩端面的相對扭轉角 0=NT

14、) ―碗(4-4)此一看廠 Gn5d：d： 力學家與材料力?學史 Charles-Augustin de Coulomb ( 1736-1806 ) 圓軸扭轉的切應力公 式是由Coulomb于1784 年首先建立的。 || Coul(iml)是法國物理 學家，力學家，他在摩擦 學、電磁學, 粘性流體等 方面有市要貢獻 5.3圓軸扭轉的超靜定問題 在圓軸扭轉的超錚定問題 中,仍然沿用平武而假設. 求解圓軸扭轉的超靜定問題的主要思路 II 平衡條件: 外力偶矩,不同區(qū)域的扭矩構成平衡關系. 物理條件: 扭比與轉向之間的線性關系一 協(xié)調條件: 不同區(qū)域的轉角關

15、系,. 9J1 協(xié)調條件?a二億 例圖中銅會與鋪軸緊一 密結合若G和G, 已知，求銅套與鈉軸中 的敬大切應力。 r mC1 = mG.Q r gl+gl 「gugl . J_ g J e % G」m 平衡條件 便+工=171 r J =「G . I 16d4+G人、 物理條件 6 =工. 「GJ1V 1十一匕. 1十五% 在如圖的結構中.求兩固定 就的支反力偶矩.

16、 設兩端的支反力偶矩分別為加4和"5 平衡條件 niA + mn = la 物理條件y畀=[*小金"刎 協(xié)調條件 %+慍=2 聯(lián)立解得 1 - 4 = 3 4 = 人 /77 分析與討淪 試畫由該注拘的扭矩圖. 轉角與扭矩之何走什么關系? 0.r) = 7)(O) + 如果沿用加矩的符號規(guī)定來定 義角位移的正負好號.試畫出角位 移的圖形. 結論 扭轉中的外力偶矩-扭矩-角位移的關系可以與旁 曲梁中的橫向力-勾力-彎矩關系相比瘋 5.4非圓截面軸扭轉 1 .自由扭轉和約束扭轉 圓軸自由扭轉 方軸自由扭轉

17、 矩形截面軸自由扭轉時不滿足平截面假定 但自由扭轉時無軸向應變和軸向應力， 可以利用兩端約束來強制滿足平截面假定,但由此會產 生軸向應力。 分析與討論 橫截面上角點處扭轉切應力的情況是怎樣的？ 如果角點處存在并切應力.將 會導致什么怦況產生？ 由此可得到什么結論？ 2 .矩形截面軸 角點上切應力必為零。 最大切應力出現(xiàn)在長邊中點 =T J = a hbl 。與/，/〃有關，見有關數(shù)表 軸兩端而相對扭角 II /，與。，有關，見有關數(shù)表 II 二一 一?- f 血 狹長矩形截面 T J= a而 最大切應力 兩個端面的 相對纖角 單位長

18、度上 的相對轉向 IT 例 立柱樵我而是長為2〃 .寬為〃的矩彩.兩 2h 端轉矩為3 kN ?n】，許用切應力為70 MPa,試 J 確定尺寸〃若材料G SO GPa,根據(jù)所選定 LM 的尺寸確定單位長度的相對轉角. 轉矩在長邊中點引起最大切應力.”短 由 h/b = 2 查表得 0.246 rron=n J <[r] ().246 ? 2〃 ?〃 力，二一 =13x =44.3 取力=45mm. \0,4<)2|r| , 0.492x70 由h/h = 2杳表得〃=0.229 n_ T _ 3xl()6 : =80xl0,x0Z229x2x454 =2xI0 m

19、例正方形版面軸兩端承受特矩而產生自由扭轉,在強度相同 長度相等的條件下計年同軸與正方形截面軸的重量比. 的矩T在矩形邊中點引起最火切應力。J” ahb1 由正方形力I 查表得夕=0.208 -<[r| 020昉」 膽軸，=翳初八儒 兩者史董比即才為我而積之比; _ _j I / ).2()X[r]y G - 4"一屋或麗 3.14 = x 4 卯 16x0.208 3.14  3.開口薄壁桿件 。J 二二 藥厚度開口蔣壁桿件 可展平為狹長矩形計算” 不同厚度開口薄壁桿 件可視為若干個狹長矩形 II 的紐臺. II 開口薄壁桿件的切應 力沿壁厚的

20、分布狀況 LA 3 .開口簿壁桿件 第，個狹長矩形長邊各點處 最大切應力發(fā)生在壁厚 最大的狹長矩形長邊上 LI J =377一 man iowt * ? / y 二 377"七之" 相對轉角 4 .閉口薄壁桿件 閉口薄壁桿件的切應力沿壁厚的分布狀況 o. O 在閉口薄壁桿件中，沿厚度方向上的扭轉切應力均 勻分布,并形成切應力流(shearing stress flow)。 閉口薄壁桿件切應力分析 Z = C 咽 dr - 丁代di = 0 *=* rS = Const r = J/7r(5d5 —苗 j/9ds 二行.2C 閉口薄壁桿件切應力 2c力 …2

21、m皿 口. Q 如圖的兩躊里桿件尺寸.材料■完全 2b 和同，左為開口,右為閉口，比枝兩者 在相同扭矩TO下的武大切應力和單 位長度樓角. 兩個端面的相對轉角 兩個明面的相對轉向 TL rd.v (f) = - - - fly 4G。*!萬 等厚度根而兩個靖面的相對轉角 (p = 曹 _ f II — — — 工 〃一 3T 3T T ? ti?！二百至二元不 f = 3丁 丁 GIF G4b* =2—， 用口件0 = 23 、=羽=2，4、尸硒 0 = T5 = T?6b = 3T 5_ =到 4 =也 - 4G05 -

22、 4G . (2/-).廠 8G〃% 三=萬 瓦=方 結論 若將開口件加工為閉口件,符極大地提商構件的扭轉 強度和剛度. 街壁圓的壁存中線近徑為壁厚為心 試 比皎薄壁件和空心圓筒兩種計算橫微面扭轉切應 力方法的結果, 薄型件： 切應力在壁厚方向上均布。 空心圓簡 Jef) 薄里件；廠硒 結論兩種計算方法6勺結果粕工一個小量. 本章作業(yè) 5.3, 5.1(), 5.11,

23、5.15 5.4, 5.8, 5.20 5.24(a), 5.25 5.29, 5.33, 5.37 本章內容小結 切應力在橫截面上的分布規(guī)律 最大切應力 = ^- <[r] 線彈性圓軸扭轉切應力 /安心 叱=1-加研1 一〃) 空心 16 16 當圓軸各段的軸行和扭矩互不相同時,應綜合考慮以 播定最大切應力所在的我而. 線彈性圓軸扭轉的相對轉角 0=1看5?適用于變極面或方?分布力偶矩作用的情況， TL 0 = G/r 適用于手機而且無分布力偶能作用的情況， 分段等極而ra軸應分段求出相對轉向再求和。 I 單位長度上的相對轉角 gJ || d 扭轉超靜定問題 平衡方程物理方程協(xié)調方程 （J 一 ? 矩形截面軸的扭轉切應力 最大切應力（長邊中點），二焉7 TL 軸兩端面相對扭角 《X 狹長矩形截面 丁皿=:; 373 兩個端面的相對轉角 今=7 而 年厚度開口萍壁桿件可展平為我長矩形計算? 不同厚度開口范壁桿件可視為若干個狹長矩形的組合. 閉口薄壁桿件