新課標高中數(shù)學理第一輪總復習拋物線

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1、會計學1新課標高中數(shù)學理第一輪總復習新課標高中數(shù)學理第一輪總復習 拋物線拋物線第1頁/共42頁1822816yxyx 或2.21yaxya若拋物線的準線方程是，則 的值為211 112.48xyaaa 拋物線的標準方程為，于是有，得解析：22(03.)1ymx mx拋物線的準線與直線的距離為 ，則拋物線的方程為第2頁/共42頁2210224.4131()38.48016 .pmmpmmxxmmyxmyx 方法 ：當時，由，得，這時拋物線的準線方程是因為拋物線的準線與直線的距離為 ， 所以，解得這時拋物線的方程是； 同理，當時，拋物線的方程是解析：第3頁/共42頁2224|1| 3816.481

2、6mxmmyxyx 方法 ：依題意得準線方程為， 所以，解得或所以拋物線的方程是或第4頁/共42頁2288yxxy 或2.3xy已知拋物線頂點在原點，對稱軸為坐標軸，焦點在直線上，則拋物線的方程是第5頁/共42頁22222,0(02)2,02,2828(02)2,2828 .88 .ppyxppxyyxxy 焦點為或 ，若焦點為，則，所以拋物線方程為；若焦點為 ，則，所以拋物線的方程為故解析所求拋物線方程為：或第6頁/共42頁8 21122124.4()()6.yxA xyB xyxxAB過拋物線的焦點作直線交拋物線于，、，兩點若，則12628.ABxxp由拋物線義解的定知析：第7頁/共42頁

3、432.380.54yxxy 拋物線上的點到直線的距離的最小值是222()4380|438|.524.33yxmmxymmdmd 設拋物線上一點為，該點到直線的距離為故當時， 取得最小值，為解析：第8頁/共42頁求拋物線的標準方程求拋物線的標準方程 【例1】求定點在原點，對稱軸為坐標軸，且過點(3,2)的拋物線的標準方程，并求對應拋物線的準線方程 第9頁/共42頁2222220(3,2)42(3)922293449321938ypxxpy pppppyxxyxy設所求的拋物線方程為 或 因為拋物線過點 ，所以 或 ，解得 或 所以所求拋物線的方程為 或 ，對應的準線方程分別是 ，解析【】第10

4、頁/共42頁 求拋物線的標準方程僅需確定一個待定系數(shù)p.從實際分析，一般需確定p和開口方向兩個條件，有時需要相應的討論 第11頁/共42頁【變式練習1】求頂點在原點，對稱軸為坐標軸，且焦點在直線x2y40上的拋物線的標準方程，并求對應拋物線的準線方程 第12頁/共42頁220204.4,0(02)4,0482164(02)24282.xyyxppyxxppxyy令 ，得 ；令 ，得 所以拋物線的焦點為或 ， 當焦點為時， ，所以 ，此時拋物線的方程為 ，準線方程為 ；當焦點為 ， 時， ，所以 ，此【時拋物線的方程為 ，準線方程為】解析第13頁/共42頁拋物線的幾何性質(zhì)拋物線的幾何性質(zhì) 【例2

5、】已知A、B是拋物線y22px(p0)上的兩點，且OAOB(O為坐標原點)，(1)求證：A、B這兩點的橫坐標之積為定值，縱坐標之積也是定值；(2)求證：直線AB過定點；(3)求線段AB中點M的軌跡方程第14頁/共42頁 112222112212121212222212121212212212121() ()220224444ABxyxyypxypxOAOBx xy yx xy yy ypxpxp x xp y yy ypx xy yp證明：設 、 坐標分別為， ，則 ， ，因為，所以 ，即，所以，所以為定值；【解析】也是定值g第15頁/共42頁 221212121212211221122111

6、1212211211212121221212122()()222 ()222()()222242(2 )yyyyyypxpxp xxyypxxxxyyyppAByyxxxyyyypyy yppyxyxyyyyyyyypppxxpyyyyyy證明：因為，又，所以所以的方程為： ，所以 所以直線2 ,0ABp過定點第16頁/共42頁221122221212121222222(3)2,22 ()()224842(2 )ypx ypxyyp xxM xyyyyxxxyppxypxpyp xp因為所以，設， ，則 ， ，所以第17頁/共42頁 p的規(guī)律性結(jié)論很多，我們都可圍繞定義，同時適時運用點差法即可

7、求得設AB為過拋物線y22px(p0)焦點的弦，設A(x1，y1)，B(x2，y2)，直線AB的傾斜角為，則2212121222,42;2112|AOBppx xy ypABxxpsinABpSsinFAFBp ； ；以為直徑的圓與準線相切；弦兩端點與頂點所成三角形的面積第18頁/共42頁【變式練習2】設拋物線y22px(p0)的焦點為F，經(jīng)過點F的直線交拋物線于A、B兩點，點C在拋物線的準線上，且BCx軸證明：直線AC經(jīng)過原點O.第19頁/共42頁2222212220.2()22.2.ABBABBAOCOAAApABxmyypxypmyppy ypyypBCxCxpCyyypkkpyxACO

8、方法 ：設直線的方程為 ，將其代入 ，得 由韋達定理，得 ，即 因為軸，且點 在準線 上，所以，則故直線經(jīng)過【證】原點明P第20頁/共42頁2.| | | | |.lxEAADlDADEFBCACEFNENCNBFNFAFADACABBCABAFADBFBCADBFAFBCENNFABABNEFNOACO方法 ：如右圖，記準線 與 軸的交點為 ，過 作，垂足為 ，則連結(jié)交于點 ，則，因為，所以，即 是的中點，從而點 與點 重合故直線經(jīng)過原點PPgg第21頁/共42頁拋物線的應用拋物線的應用 【例3】已知點A(1,0)，F(xiàn)(1,0)和拋物線C：y24x，O為坐標原點，過點A的動直線l交拋物線C于

9、M、P兩點，直線MF交拋物線C于另一點Q，如圖第22頁/共42頁 5122POMOMOPPQy 若的面積為 ，求向量與的夾角；判斷直線與 軸的位置關系，并說明理由 11221()()2MOPM xyP xyAMPOP OMSPQ 設，利用 、三點共線及與的【分關系求解求出點 、 坐標的關系，析】可判斷結(jié)論第23頁/共42頁 2212122211212122221121()()445441444cos55sin52tan1(0)45AMPMPOMyyMyPyPMAkkyyyyyOP OMy yyyyPOMOP OMSOP OM設點，、，因為 、 三點共線，所以，即，所以 ，設 ，則 ，因為 ，所

10、以 ，由此可得 ，又，所以 ，故向量【解析】Vuuu r uuurgguuu r uuuruuu r uuur45 .OMOP與的夾角為uuuruuu r第24頁/共42頁 121222111111111212(2)(1)144(1)0444(1)() 1.44414QPQyMFyxyyyyxxyyyyyyyyyyyQyyy yyyxxPQy直線的方程為 ，聯(lián)立拋物線方程 ，消去 得： ，即 ，所以 或 從而知道點 的縱坐標 ，又由知， ，所以 故得 ，所以直線與 軸平行第25頁/共42頁【變式練習3】如圖，設拋物線方程為x22py(p0)，M為直線y2p上任意一點，過M引拋物線的切線，切點分

11、別為A，B.求證：A，M，B三點的橫坐標成等差數(shù)列；第26頁/共42頁221212120221210()()22(2 )222()MAMBxxA xB xppxxM xpxxxpyyyppxxkkppxMAypxxp由題意設， ，由 得 ，則 ，所以，因此直線的方程為 【證明】，第27頁/共42頁202111022220121201200122()2()22()222.2xMBypxxpxxpxxppxxpxxppxxxxxxxxxxxAMB直線的方程為 所以，由、得 ，因此 ，即 所以 、 三點的橫坐標成等差數(shù)列第28頁/共42頁1(0)16，214.yx拋物線的焦點坐標是2112441(0

12、)16xyp，因為，所以拋物線的焦點坐標是 ，解析：第29頁/共42頁4 2.45.2yxAAx拋物線上一點 到焦點的距離為 ，則點到 軸的距離是0002421.5154.4.ppxAxAxxAx 因為，所以，準線方程設點 的橫坐標為 ，則由拋物線定義可知，點到準線的距離為 ，則，即所以點 到 軸的解距離是析：第30頁/共42頁(12)，244.3.OFyxAOA AFA uur uuu r設 為坐標原點， 為拋物線的焦點，為拋物線上的一點，若，則點的坐標為200220000422000()2() (1)444y12y640y4(12)yAyyyOA AFyyA 設，所以，故，解析：uur u

13、uu r第31頁/共42頁4.已知點P(3,2)在拋物線y24x的內(nèi)部，F(xiàn)是拋物線的焦點，在拋物線上求一點M，使|MP|MF|最小，并求此最小值 【解析】過M作準線l的垂線MA，垂足為A，則由拋物線的定義有|MF|MA|.所以|MP|MF|MP|MA|，顯然當P，M，A三點共線時，|MP|MF|最小此時，M點的坐標為(1,2)，最小值為4.第32頁/共42頁5.如圖，拋物線關于x軸對稱，它的頂點在坐標原點，點P(1,2)，A(x1，y1)，B(x2，y2)均在拋物線上.(1)寫出該拋物線的方程及其焦點坐標；(2)當直線PA與直線PB的斜率存在且傾斜角互補時，求y1y2的值及直線AB的斜率 第3

14、3頁/共42頁【解析】(1)由已知條件可設拋物線的方程為y22px(p0) 因為點P(1,2)在拋物線上，所以222p1，得p2. 故所求拋物線的方程是y24x，焦點坐標為(1,0) (2)設直線PA的斜率為kPA，直線PB的斜率為kPB， 第34頁/共42頁121212112222221211221222(1)(1)11.()()44,44PAPBPAPByykxkxxxPAPBkkA xyB xyyyyxyxxx則，因為直線與直線的斜率存在且傾斜角互補，所以由，在拋物線上，得 ， ，即 第35頁/共42頁1222121212212121221221221111442(2)4.441.114

15、44AByyyyyyyyyyABkxxyyyyyy所以所以 ，所以 所以直線的斜率 第36頁/共42頁 1由于坐標系建立時，設坐標軸有四種不同的方向，因此拋物線的標準方程有四種形式，這四種標準方程的區(qū)別與聯(lián)系在于： (1)p的幾何意義：焦參數(shù)p是焦點到準線的距離，所以p恒為正數(shù)第37頁/共42頁 (2)方程右邊一次項的變量與所在坐標軸的名稱相同，一次項系數(shù)的符號決定拋物線開口方向、焦點的非零坐標是一次項系數(shù)的1/4 (3)在利用拋物線定義解題時應特別注意應用“斜直轉(zhuǎn)換”，即將拋物線上的點到焦點的距離與該點到準線的距離互相轉(zhuǎn)換第38頁/共42頁 21122212212122 212(0)()()

16、422Fypx pA xyB xyly yppx xppABxxpsin在解題中要注意： 焦點弦的性質(zhì)：設直線過焦點 ，與拋物線 相交于，兩點，直線 的傾斜角為 ，則有 ；通徑的長度為；焦點弦 第39頁/共42頁 (2)求拋物線的標準方程，需判斷焦點所在的坐標軸和確定p的值當根據(jù)已知條件不能判斷是拋物線時，用軌跡法過焦點的直線與拋物線的交點問題有時用焦半徑較簡單 (3)要重視拋物線定義的應用，“回歸定義”有時使問題變得簡捷明確利用坐標法求曲線方程并研究其性質(zhì)，體現(xiàn)了解析幾何研究數(shù)學問題的數(shù)學思想方法 第40頁/共42頁222, 320()222ypx pyyptptp依據(jù)拋物線標準方程形式的特點，在解題時直線方程可與拋物線方程聯(lián)立，求出交點坐標；也可以利用參數(shù)直接表示拋物線上動點的坐標，如拋物線 上的點可設為， 或形式第41頁/共42頁