湖南省新田一中高中數(shù)學 2.1.1 指數(shù)與指數(shù)冪的運算課件 新人教A版必修1

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1、一、整數(shù)指數(shù)冪的運算性質(zhì)一、整數(shù)指數(shù)冪的運算性質(zhì)二、根式的概念二、根式的概念 如果一個數(shù)的如果一個數(shù)的 n 次方等于次方等于 a( (n1 且且 nN*) ), 那么這個數(shù)叫那么這個數(shù)叫做做 a 的的 n 次方根次方根. 即即: 若若 xn=a, 則則 x 叫做叫做 a 的的 n 次方根次方根, 其中其中 n1且且 nN*. 式子式子 a 叫做根式叫做根式, 這里這里 n 叫做叫做根指數(shù)根指數(shù), a 叫做叫做被開方被開方數(shù)數(shù). n(1)aman=am+n (m, nZ); (2)aman=am- -n (a 0, m, nZ); (3)(am)n=amn (m, nZ); (4)(ab)n=a

2、nbn (nZ). 三、根式的三、根式的性質(zhì)性質(zhì)5.負數(shù)沒有偶次方根負數(shù)沒有偶次方根.6.零的任何次方根都是零零的任何次方根都是零. 1.當當 n 為奇數(shù)時為奇數(shù)時, 正數(shù)的正數(shù)的 n 次方根是一個正數(shù)次方根是一個正數(shù), 負數(shù)的負數(shù)的 n 次次方根是一個負數(shù)方根是一個負數(shù), a 的的 n 次方根用符號次方根用符號 a 表示表示.n 2.當當 n 為偶數(shù)時為偶數(shù)時, 正數(shù)的正數(shù)的 n 次方根有兩個次方根有兩個, 它們互為相反數(shù)它們互為相反數(shù), 這時這時, 正數(shù)的正的正數(shù)的正的 n 次方根用符號次方根用符號 a 表示表示, 負的負的 n 次方根用符次方根用符號號 - - a 表示表示. 正負兩個正

3、負兩個 n 次方根可以合寫為次方根可以合寫為 a (a0).nnn3.( a )n=a. n4.當當 n 為奇數(shù)時為奇數(shù)時, an =a; n當當 n 為偶數(shù)時為偶數(shù)時, an =|a|= na (a0), - -a (a0, 且且a 1)叫做叫做指數(shù)函數(shù)指數(shù)函數(shù), 其中其中 x 是自變量是自變量, 函函數(shù)的定義域是數(shù)的定義域是 R.六、指數(shù)函數(shù)六、指數(shù)函數(shù)a = am , a- - = (a0, m, nN*, 且且 n1).nmnnmnma1(1)aras=ar+s (a0, r, sQ); (2)aras=ar- -s (a0, r, sQ); (3)(ar)s=ars (a0, r,

4、sQ); (4)(ab)r=arbr (a0, b0, rQ). 圖圖象象性性質(zhì)質(zhì)yox(0, 1)y=1 y=ax (a1)a1yox(0, 1)y=1 y=ax (0a1) 0a0, a 1) 圖象經(jīng)過第二、三、四象限圖象經(jīng)過第二、三、四象限, 則一定則一定有有( ) A. 0a0 B. a1, b0 C. 0a1, b1, b0 2.若若 0a1, bab B. bac C. abc D. acb 12 4.若若 0ab(1- -a)b B. (1+a)a(1+b)b C. (1- -a)b(1- -a) D. (1- -a)a(1- -b)bb12bCADDC 5.設(shè)設(shè) a=60.7,

5、 b=0.76, c=log0.76, 則則( ) A. cab B. bac C. abc D. acb 典型例題典型例題1.化簡下列各式化簡下列各式:(1) (1- -a) ;(a- -1)3 14 (2) xy2 xy- -1 xy ;34=- - a- -1 . =xy. 解解: (1)原式原式=(1- -a)(a- -1)- - 43=- -(a- -1)(a- -1)- - 43=- -(a- -1) 41(2)原式原式=xy2(xy- -1) (xy) 213121=(xy2x y- - ) x y 3121212121=(x y ) x y 2323312121=x y x y

6、 21212121(3) (1- -a)(a- -1)- -2(- -a) . 2121a- -11), 求求 的值的值.a1x- - x2- -1 x2- -1 解解: 以以 x+ x2- -1、 x- - x2- -1 為根構(gòu)造方程為根構(gòu)造方程: t2- -2xt+1=0, 即即: t2- -( a + )t+ a =0, a1a1a1t= a 或或 . x+ x2- -1 x- - x2- -1 , a1,x- - x2- -1 = . x+ x2- -1 = a , a1 x2- -1 = ( a - - ), 12a1原式原式=( a - - ) 12a1a1= (a- -1). 1

7、2解法二解法二: 將已知式整理得將已知式整理得: ( a )2- -2x a +1=0 或或 ( )2- -2x( )+1=0. a1a1 a , a1 a =x+ x2- -1 , =x- - x2- -1 , a1以下同上以下同上. 6.已知函數(shù)已知函數(shù) f(x)=3x 且且 f- -1(18)=a+2, g(x)=3ax- -4x 的定義域為的定義域為 0, 1. (1)求求 g(x) 的的解析式解析式; (2)求求 g(x) 的單調(diào)區(qū)間的單調(diào)區(qū)間, 確定其增減性并用定義證明確定其增減性并用定義證明; (3)求求 g(x) 的值域的值域.f(a+2)=3a+2=18. 解解: (1)f(

8、x)=3x 且且 f- -1(18)=a+2, 3a=2. g(x)=(3a)x- -4x=2x- -4x. 即即 g(x)=2x- -4x. (2)令令 t=2x, 則則函數(shù)函數(shù) g(x) 由由 y=t- -t2 及及 t=2x 復合而得復合而得. 由已知由已知 x 0, 1, 則則 t 1, 2, t=2x 在在 0, 1 上單調(diào)遞增上單調(diào)遞增, y=t- -t2 在在 1, 2 上單調(diào)遞減上單調(diào)遞減, g(x) 在在 0, 1 上單調(diào)遞減上單調(diào)遞減, 證明如下證明如下: g(x) 的定義域區(qū)間的定義域區(qū)間 0, 1 為函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間為函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間. 對于任意的對于任意的 x1,

9、 x2 0, 1, 且且 x1x2, g(x1)- -g(x2) 0 x1x21, 2x1- -2x20 且且 1- -2x1- -2x2g(x2). 故函數(shù)故函數(shù) g(x) 在在 0, 1 上單調(diào)遞減上單調(diào)遞減. =(2x1- -4x1)- -(2x2- -4x2) =(2x1- -2x2)- -(2x1- -2x2)(2x1+2x2) =(2x1- -2x2)(1- -2x1- -2x2) =(2x1- -2x2)(1- -2x1- -2x2)0. x 0, 1 時有時有: 解解: (3)g(x) 在在 0, 1 上單調(diào)遞減上單調(diào)遞減, g(1)g(x)g(0). g(1)=21- -41

10、=- -2, g(0)=20- -40=0, - -2g(x)0 . 故故函數(shù)函數(shù) g(x) 的值域為的值域為 - -2, 0. 6.已知函數(shù)已知函數(shù) f(x)=3x 且且 f- -1(18)=a+2, g(x)=3ax- -4x 的定義域為的定義域為 0, 1. (1)求求 g(x) 的解析式的解析式; (2)求求 g(x) 的單調(diào)區(qū)間的單調(diào)區(qū)間, 確定其增減確定其增減性并用定義證明性并用定義證明; (3)求求 g(x) 的值域的值域. 7.設(shè)設(shè) a0, f(x)= - - 是是 R 上的奇函數(shù)上的奇函數(shù). (1)求求 a 的值的值; (2)試判試判斷斷 f(x) 的反函數(shù)的反函數(shù) f- -

11、1(x) 的奇偶性與單調(diào)性的奇偶性與單調(diào)性.aexaex解解: (1) f(x) 是是 R 上的奇函數(shù)上的奇函數(shù), f(0)=0, 即即- -a=0. 1aa2=1. a0, a=1. (2)由由 (1) 知知 f(x)=ex- -e- -x, x R, f(x) R. f(x) 是奇函數(shù)是奇函數(shù), f(x) 的反函數(shù)的反函數(shù) f- -1(x) 也是奇函數(shù)也是奇函數(shù). y=e- -x 是是 R 上的減函數(shù)上的減函數(shù), y=- -e- -x 是是 R 上的增函數(shù)上的增函數(shù). 又又 y=ex 是是 R 上的增函數(shù)上的增函數(shù), y=ex - -e- -x 是是 R 上的增函數(shù)上的增函數(shù). f(x) 的反函數(shù)的反函數(shù) f- -1(x) 也是也是 R 上的增函數(shù)上的增函數(shù). 綜上所述綜上所述, f- -1(x) 是奇函數(shù)是奇函數(shù), 且是且是 R 上的增函數(shù)上的增函數(shù).此時此時, f(x)=ex-e- -x是是 R 上的奇函數(shù)上的奇函數(shù). a=1 即為所求即為所求.